線性代數(shù)之第5章.特征值和特征向量矩陣的對角化.ppt

第5章特征值和特征向量、矩陣的對角化,第5章特征值和特征向量、矩陣的對角化,矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣可對角化的條件實對稱矩陣的對角化,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,矩陣的特征值和特征向量定義：設(shè)A為復數(shù)C上的n階矩陣，如果存在數(shù)C和非零的n維向量x，使得Ax=x，就稱是矩陣A的特征值，x是A的屬于（或?qū)?yīng)于）特征值的特征向量。注意：1)特征向量x0；2)特征值問題是對方陣而言的，本章的矩陣如不加說明，都是方陣。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,矩陣的特征值和特征向量根據(jù)定義，n階矩陣A的特征值，就是使齊次線性方程組(IA)x=0有非零解的值，即滿足方程det(IA)=0的都是矩陣A的特征值。因此，特征值是的多項式det(IA)的根。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,矩陣的特征值和特征向量定義：設(shè)n階矩陣A=(aij)，則：稱為矩陣A的特征多項式，IA稱為A的特征矩陣，det(IA)=0稱為A的特征方程。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,矩陣的特征值和特征向量顯然，n階矩陣A的特征多項式是的n次多項式。特征多項式的k重根也稱為k重特征值。當n5時，特征多項式?jīng)]有一般的求根公式，即使是三階矩陣的特征多項式，一般也難以求根，所以求矩陣的特征值一般要采用近似計算的方法，它是計算方法課中的一個專題。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,矩陣的特征值和特征向量舉例例1：求矩陣的特征值和特征向量。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,矩陣的特征值和特征向量舉例解：矩陣A的特征方程為該特征矩陣的行列式的每行之和均為-3，將各列加到第1列，并將第1行乘-1加到第2、3行得：,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,矩陣的特征值和特征向量舉例故A的特征值為13，22（二重特征值）。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,矩陣的特征值和特征向量舉例當13時，由(1IA)x=0，即：得其基礎(chǔ)解系為x1=(1,1,1)T，因此，k1x1（k1為非零任意常數(shù)）是A的對應(yīng)于13的全部特征向量。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,矩陣的特征值和特征向量舉例當22時，由(2IA)x=0，即：得其基礎(chǔ)解系為x2=(1,1,2)T，因此，k2x2（k2為非零任意常數(shù)）是A的對應(yīng)于22的全部特征向量。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,矩陣的特征值和特征向量舉例例2：主對角元為a11,a22,ann的對角矩陣A或上（下）三角矩陣B的特征多項式是：|IA|=|IB|=(a11)(a22)(ann)故A，B的n個特征值就是n個主對角元。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)定理：若x1和x2都是A的屬于特征值0的特征向量，則k1x1+k2x2也是A的屬于0的特征向量（其中k1，k2是任意常數(shù)，但k1x1+k2x20）。證：由于x1，x2是齊次線性方程組(0IA)x=0的解，因此k1x1+k2x2也是上式的解，故當k1x1+k2x20時，是A的屬于0的特征向量。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)在(0IA)x=0的解空間中，除零向量以外的全體解向量就是A的屬于特征值的全體特征向量，因此(IA)x=0的解空間也稱為矩陣A關(guān)于特征值的特征子空間，記作V。n階矩陣A的特征子空間是n維向量空間的子空間，它的維數(shù)為：dimV=nr(IA),5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)需要注意的是，n階矩陣的特征值可能是復數(shù)，所以特征子空間一般是n維復向量空間Cn（見附錄）的子空間。例1中矩陣A的兩個特征子空間為：,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)定理：設(shè)n階矩陣A=(aij)的n個特征值為1,2,n，則：證明過程見課本用*標注的部分。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)由前面定理的第2項可知：當detA0（即A為可逆矩陣）時，其特征值全為非零數(shù)；反之，奇異矩陣A至少有一個零特征值。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值而言的。一個特征向量不能屬于不同的特征值，這是因為，如果x同時是A的屬于特征值1,2(12)的特征向量，即有：Ax=1x且Ax=2x則：1x=2x即(1-2)x=0。由于1-20，則x=0，這與x0矛盾。矩陣的特征值和特征向量還有以下性質(zhì)：,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)性質(zhì)1：若是矩陣A的特征值，x是A的屬于的特征向量，則：1)k是kA的特征值（k是任意常數(shù)）2)m是Am的特征值（m是正整數(shù)）3)當A可逆時，-1是A-1的特征值且x仍是矩陣kA,Am,A-1的分別對應(yīng)于特征值k,m,1/的特征向量。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)證：1）省略。2）由已知條件Ax=x，可得：A(Ax)=A(x)=(Ax)=(x)即A2x=2x再繼續(xù)施行上述步驟m-2次，就得：Amx=mx故m是矩陣Am的特征值，且x也是Am對應(yīng)于m的特征向量。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)3)當A可逆時，0，由Ax=x可得：A-1(Ax)=A-1(x)=A-1x因此A-1x=-1x故-1是A-1的特征值，且x也是A-1對應(yīng)于-1的特征向量。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)性質(zhì)2：矩陣A和AT的特征值相同。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)證：因為(I-A)T=(I)T-AT=I-AT，所以det(I-A)=det(I-AT)因此，A和AT有完全相同的特征值。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)例3：設(shè)1）求A的特征值和特征向量；2）求可逆矩陣P，使P-1AP為對角陣。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)解：1）A的特征值為1=2=0（二重特征值）和3=-2。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)當1=0時，由(1I-A)x=0，即Ax=0得基礎(chǔ)解系x1=(1,1,0)T和x2=(-1,0,1)T故A對應(yīng)于1=0的全體特征向量為k1x1+k2x2=k1(1,1,0)T+k2(-1,0,1)T其中k1,k2為不全為零的任意常數(shù)。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)當3=-2時，由(3I-A)x=0，即：得基礎(chǔ)解系為x3=(-1,-2,1)T，A對應(yīng)于3=-2的全體特征向量為k3x3=k3(-1,-2,1)Tk3為非零任意常數(shù)。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)2）將Axi=ixi(i=1,2,3)排成矩陣等式取AP=P，且|P|=20，因此就得P-1AP=為對角陣。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,相似矩陣及其性質(zhì)定義：對于矩陣A和B，若存在可逆矩陣P，使P-1AP=B，就稱A相似于B，記作AB。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,相似矩陣及其性質(zhì)矩陣的相似關(guān)系也是一種等價關(guān)系，即也有以下三條性質(zhì)。1）反身性：AA2）對稱性：若AB，則BA3）傳遞性：若AB，BC，則AC證明略。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,相似矩陣及其性質(zhì)相似矩陣有以下性質(zhì)：1）P-1(k1A1+k2A2)P=k1P-1A1P+k2P-1A2P（其中k1,k2是任意常數(shù)）2）P-1(A1A2)P=(P-1A1P)(P-1A2P)3）若AB，則AmBm（m為正整數(shù)）,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,相似矩陣及其性質(zhì)證：因為AB，所以存在可逆矩陣P，使P-1AP=B于是Bm=(P-1AP)(P-1AP)(P-1AP)=P-1AmP故AmBm,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,相似矩陣及其性質(zhì)定理：相似矩陣的特征值相同。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,相似矩陣及其性質(zhì)證：只需證明相似矩陣有相同的特征多項式。設(shè)AB，則存在可逆矩陣P，使得：P-1AP=B于是|I-B|=|I-P-1AP|=|P-1(I-A)P|=|P-1|I-A|P|=|I-A|,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,相似矩陣及其性質(zhì)必須注意，該定理的逆命題不成立，例如：都以1為二重特征值，但對于任何可逆矩陣P，都有P-1IP=IA，故A和I不相似。,5.2矩陣可對角化的條件,矩陣可對角化的條件所謂矩陣可對角化指的是，矩陣與對角陣相似。本節(jié)討論矩陣可對角化的條件。其主要結(jié)論是：矩陣可對角化的充分必要條件是n階矩陣有n個線性無關(guān)的特征向量，或矩陣的每個特征值的（代數(shù)）重數(shù)等于對應(yīng)特征子空間的（幾何）維數(shù)。今后我們常將主對角元為a1,a2,an的對角陣記作diag(a1,a2,an)，或記作。,5.2矩陣可對角化的條件,矩陣可對角化的條件從5.1節(jié)例3可見，當三階矩陣A有三個線性無關(guān)的特征向量x1,x2,x3時，取P=(x1,x2,x3)就有：P-1AP=diag(1,2,3)其中1,2,3分別是特征向量x1,x2,x3所對應(yīng)的特征值，這表明，三階矩陣A有三個線性無關(guān)的特征向量是A與對角陣相似的充分條件。事實上它也是必要條件。下面給出一般結(jié)論。,5.2矩陣可對角化的條件,矩陣可對角化的條件定理：n階矩陣A與對角陣相似的充要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量。,5.2矩陣可對角化的條件,矩陣可對角化的條件證：必要性：設(shè)即：AP=P將P矩陣按列分塊，表示成P=(x1,x2,xn)則：,5.2矩陣可對角化的條件,矩陣可對角化的條件即：(Ax1,Ax2,Axn)=(1x1,2x2,nxn)于是：Axi=ixi(i=1,2,n)故x1,x2,xn是A分別對應(yīng)于特征值1,2,n的特征向量。由于P可逆，所以它們是線性無關(guān)的，必要性得證。上述步驟顯然可逆，所以充分性也成立。5.1節(jié)例1中的A只存在兩個線性無關(guān)的特征向量，所以不可對角化。,5.2矩陣可對角化的條件,矩陣可對角化的條件由相似矩陣的特征值相同的定理可知：若A與對角陣相似，則的主對角元都是A的特征值。若不計k的排列方式，則是唯一的，稱為A的相似標準型。,5.2矩陣可對角化的條件,矩陣可對角化的條件定理：矩陣A的屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的。,5.2矩陣可對角化的條件,矩陣可對角化的條件證：設(shè)A的m個互不相同的特征值為1,2,m，其相應(yīng)的特征向量分別為x1,x2,xm，對m作歸納法，證明x1,x2,xm線性無關(guān)。當m=1時，結(jié)論顯然成立（因為特征向量x10）。設(shè)k個不同特征值1,2,k的特征向量x1,x2,xk線性無關(guān)，下面考慮k+1個不同特征值的特征向量的情況。,5.2矩陣可對角化的條件,矩陣可對角化的條件設(shè)：a1x1+a2x2+akxk+ak+1xk+1=0則：A(a1x1+a2x2+akxk+ak+1xk+1)=0即：a11x1+a22x2+akkxk+ak+1k+1xk+1=0將第1式乘k+1，再減去第3式得：a1(k+1-1)x1+a2(k+1-2)x2+ak(k+1-k)xk=0,5.2矩陣可對角化的條件,矩陣可對角化的條件根據(jù)歸納假設(shè)x1,x2,xk線性無關(guān)，所以：ai(k+1-i)x1=0,i=1,2,k由于：k+1i，i=1,2,k所以：ai=0，i=1,2,k將上式代入第1式，得：ak+1xk+1=0由于特征向量xk+10，故ak+10，故x1,x2,xk+1線性無關(guān)。,5.2矩陣可對角化的條件,矩陣可對角化的條件推論：若n階矩陣A有n個互不相同的特征值，則A與對角陣相似。但必須注意，推論的逆不成立，如5.1節(jié)例3，A與對角陣相似，但特征值中0是二重特征根。,5.2矩陣可對角化的條件,矩陣可對角化的條件*定理：設(shè)1,2,m是n階矩陣A的m個互異特征值，對應(yīng)于i的線性無關(guān)的特征向量為x1,x2,xiri(i=1,2,m)，則由所有這些特征向量（共r1+r2+rm個）構(gòu)成的向量組xi1,xiri|i=1,2,m是線性無關(guān)的。,5.2矩陣可對角化的條件,矩陣可對角化的條件*定理：設(shè)0是n階矩陣A的一個k重特征值，對應(yīng)于0的線性無關(guān)的特征向量的最大個數(shù)為l，則kl。,5.2矩陣可對角化的條件,矩陣可對角化的條件例1：設(shè)實對稱矩陣問：A是否與對角陣相似？若與對角陣相似，求對角陣及可逆矩陣P，使得P-1AP=。再求Ak（k為正整數(shù)）。,5.2矩陣可對角化的條件,矩陣可對角化的條件解：A的特征多項式,5.2矩陣可對角化的條件,矩陣可對角化的條件所以A的特征值1=-2（單根），2=2（三重根）。由(I-A)x=0，即：得1對應(yīng)的特征向量為k1x1|x1=(1,1,1,1)T,k10。由(2I-A)x=0，即：x1+x2+x3+x4=0,5.2矩陣可對角化的條件,矩陣可對角化的條件得基礎(chǔ)解系為x21=(1,-1,0,0)Tx22=(1,0,-1,0)Tx23=(1,0,0,-1)TA有4個線性無關(guān)的特征向量，故A與對角陣相似。取：,5.2矩陣可對角化的條件,矩陣可對角化的條件則：的4個對角元依次是4個特征向量所對應(yīng)的特征值。由于特征向量（或(I-A)x=0的基礎(chǔ)解系）不唯一，所以P也不唯一。,5.2矩陣可對角化的條件,矩陣可對角化的條件由A=PP-1，可得：,5.2矩陣可對角化的條件,矩陣可對角化的條件例2：設(shè)A=(aij)nn是主對角元全為2的上三角矩陣，且存在aij0(ij)，問A是否與對角陣相似？,5.2矩陣可對角化的條件,矩陣可對角化的條件解：設(shè)其中*為不全為零的任意常數(shù)。則：|I-A|=(-2)n即=2是A的n重特征值，而r(2I-A)1，所以(2I-A)x=0的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)n-1個，即A的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)n-1個，因此，A不與對角陣相似。,5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的對角化上一節(jié)已指出，不是任何矩陣都與對角陣相似，然而實用中很重要的實對稱矩陣一定可對角化，其特征值全為實數(shù)。而且對于任一個實對稱矩陣A，存在正交矩陣T，使得T-1AT為對角陣，為了證明這些重要結(jié)論，先介紹復矩陣和復向量的有關(guān)概念和性質(zhì)。,5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的對角化定義：元素為復數(shù)的矩陣和向量，稱為復矩陣和復向量。,5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的對角化定義：,5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的對角化由此定義可知：,5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的對角化根據(jù)定義及共軛復數(shù)的運算性質(zhì)，容易證明共軛矩陣有以下性質(zhì)：,5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的對角化n維復向量（以列的形式表示）x滿足性質(zhì)：這是因為，若x=(x1,x2,xn)T,xiC(i=1,2,n)，則,5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的特征值和特征向量雖然一般實矩陣的特征多項式是實系數(shù)多項式，但其特征根可能是復數(shù)，相應(yīng)的特征向量也可能是復向量，然而實對稱矩陣的特征值全是實數(shù)，（在實數(shù)域上）相應(yīng)的特征向量是實向量，且不同特征值的特征向量是正交的。下面給以證明。,5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的特征值和特征向量定理：實對稱矩陣A的任一特征值都是實數(shù)。,5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的特征值和特征向量證：設(shè)是A的任一特征值。,5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的特征值和特征向量定理：實對稱矩陣A對應(yīng)于不同特征值的特征向量是正交的。,5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的特征值和特征向量證：設(shè)Axi=ixi,(xi0,i=1,2),12,AT=A，則：由于12，所以：故當x1,x2為實的特征向量時，x1與x2正交(x1,x2為復向量的情形，利用附錄A的知識，也可證明二者正交)。,5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的對角化定理：對于任一個n階實對稱矩陣A，存在n階正交矩陣T，使得：T-1AT=diag(1,2,n),5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的對角化證：用數(shù)學歸納法。n=1時，結(jié)論顯然成立。假設(shè)定理對任一個n-1階實對稱矩陣B成立，即存在n-1階正交矩陣Q，使得Q-1BQ=1。下面證明，對n階實對稱矩陣A也成立。設(shè)：Ax1=1x1，其中x1是長度為1的特征向量?，F(xiàn)將x1擴充為Rn的一組標準正交基x1,x2,xn其中x2,xn不一定是A的特征向量，于是就有：,5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的對角化記：P=(x1,x2,xn)（P為正交矩陣）并將上式右端矩陣用分塊矩陣表示，上式可寫為：,5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的對角化由于P-1=PT,(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=P-1AP，所以：因此，b=0,BT=B（即B為n-1階實對稱矩陣），代入得：,5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的對角化根據(jù)歸納假設(shè)，構(gòu)造一個正交矩陣：（不難驗證STS=In），便有：,5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的對角化取T=PS（兩個正交矩陣之積仍是正交矩陣），T-1=S-1P-1，則：T-1AT=diag(1,2,n)其中1,2,n是A的特征值。得證。,5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的對角化給定一個n階實對稱矩陣A，如何求正交矩陣T，使T-1AT=呢？首先由特征多項式：得到全部互異特征值1,m。由于A可對角化，根據(jù)前面定理，ri重特征值i對應(yīng)ri個線性無關(guān)的特征向量,5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的對角化利用施密特正交化方法得到個ri相互正交的單位向量由前面定理，不同特征值對應(yīng)的特征向量正交，得到為n個相互正交的單位特征向量，將其按列排成n階矩陣，就是所求的正交矩陣T。,5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的對角化例1：設(shè)求正交陣T，使T-1AT為對角陣。,5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的對角化解：,5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的對角化得1=2，由(1I-A)x=0，即：得線性無關(guān)的特征向量x1=(2,-1,0)T,x2=(2,0,1)T。,5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的對角化用施密特正交化方法，先正交化，得：,5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的對角化再將1,2單位化得：對于2=-7，由(2I-A)x=0，即：,5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的對角化得特征向量x3=(1,2,-2)T，單位化得y3=(1/3,2/3,-2/3)T，取正交矩陣則T-1AT=diag(1,2,3)=diag(2,2,-7)。,5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的對角化例2：設(shè)實對稱矩陣A和B是相似矩陣，證明：存在正交矩陣T，使得T-1AT=B。,5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的對角化證：由于AB，所以A和B有相同的特征值1,2,n，根據(jù)前面定理，對A和B分別存在正交矩陣T1和T2，使得：所以：T-1AT=B,5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的對角化例3：設(shè)n階實對稱矩陣A,B有完全相同的n個特征值，證明：存在正交矩陣T和n階矩陣Q使得A=QT和B=TQ同時成立。,5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的對角化證：由于實對稱矩陣與對角陣相似，的對角元為n個特征值，所以，AB，即AB。由例2知存在正交矩陣T1，使得：,5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的對角化例4：設(shè)A,B都是n階實對稱矩陣，若存在正交矩陣T使T-1AT，T-1BT都是對角陣，則AB是實對稱矩陣。,5.3實對稱矩陣的對角化,實對稱矩陣的對角化證：由(AB)T=BTAT=BA可知，此時AB對稱的充要條件是AB可交換。因此只需證明AB=BA。根據(jù)已知條件，有：T-1AT=diag(1,2,n)T-1BT=diag(1,2,n)于是(T-1AT)(T-1BT)=(T-1BT)(T-1AT)=diag(11,nn)，因此，AB=BA,(AB)T=BA=AB。,