線性代數(shù)第五章特征值和特征向量矩陣的對角化.ppt

1,第五章特征值和特征向量矩陣的對角化,5.1矩陣特征值，特征向量，相似矩陣5.2矩陣可對角化的條件5.3實(shí)對稱矩陣的對角化,5.1特征值與特征向量相似矩陣,1.特征值和特征向量的概念2.特征值和特征向量的計(jì)算方法3.特征值和特征向量的性質(zhì)4.相似矩陣的概念和性質(zhì),一、特征值和特征向量的概念,定義設(shè)A為n階方陣,如果存在數(shù)及非零向量X,使得AX=X.則稱為A的特征值,非零向量X稱為A的對應(yīng)于特征值的特征向量.,注:特征向量非零.,AX=X,(IA)X=0,其有非零解的充要條件是:|IA|=0(1),方程|IA|=0稱為A的特征方程.,|IA|=n+k1n1+kn1+kn是的n次多項(xiàng)式,稱為A的特征多項(xiàng)式.,設(shè)n階方陣A=(aij)的特征值為1,2,n,則有,(1)1+2+n=a11+a22+ann,(2)12n=|A|,稱為A的特征矩陣.,226頁定理5.2,(1)為A的特征值為特征方程|IA|=0的根,二、特征值和特征向量的計(jì)算方法,AX=X(IA)X=0,(2)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),n階方陣有n個(gè)特征值.,(3)若=i為A的一個(gè)特征值,則由方程組(iIA)X=0的非零解X=Pi就是A的對應(yīng)于i的特征向量.,(4)若Pi為A的對應(yīng)于i的特征向量,則kPi(k0)也是對應(yīng)于i的特征向量.,求n階方陣A的特征值與特征向量的步驟:,(1)求A的特征方程|IA|=0的所有解1,2,n,即為A的全部特征值,(2)對每一個(gè)特征值i(i=1,2,n),求出齊次線性方程組(iIA)X=0的基礎(chǔ)解系,便是A的對應(yīng)于i的線性無關(guān)的特征向量,而對應(yīng)于i的全部特征向量就是此基礎(chǔ)解系的所有非零線性組合.,例1求對角方陣=的特征值.,解:,的特征多項(xiàng)式:,|I|=,=(1)(1)(n),的特征值為:1,2,n,例2求矩陣的特征值和特征向量.,解:,|IA|=,=(5)(+1)2,A的特征值為:1=5,2=3=1,5IA=,基礎(chǔ)解系:,對應(yīng)于1=5的全部特征向量為:k1P1(k10),1=5:,解方程組(5IA)X=0,IA=,基礎(chǔ)解系:,對應(yīng)于2=3=1的全部特征向量為:k2P2+k3P3(k2,k3不全為0),2=3=1:,解方程組(IA)X=0,11,定理：若是矩陣A的特征值,X是A的對應(yīng)于的特征向量,則(1)k是kA的特征值；(2)m是Am的特征值(m是正整數(shù));(3)是AT的特征值；(4)當(dāng)A可逆時(shí),1是A1的特征值,1|A|是A*的特征值；(5)若f(x)是x的多項(xiàng)式,則f()是f(A)的特征值,特征向量保持不變,m是矩陣Am的特征值,且X是Am的對應(yīng)于m的特征向量.,證：(2),再繼續(xù)施行上述步驟m2次,就得,AX=X,A(AX)=A(X),=(AX),=(X),A2X=2X,AmX=mX,(4)當(dāng)A可逆時(shí),0,AX=X,A1(AX)=A1(X),=A1X,X=A1X,1X=A1X,1是矩陣A1的特征值,且X是A1的對應(yīng)于1的特征向量.,定理設(shè)矩陣A,如果,是A的對應(yīng)于兩個(gè)不同特征值的特征向量,則與線性無關(guān).,三、特征值和特征向量的性質(zhì),證,設(shè),分別是特征值1,2(12)所對應(yīng)的特征向量,則有A=1,A=2,假設(shè)有數(shù)k1,k2,使得k1+k2=0(1),同時(shí)左乘A,得:,k1(A)+k2(A)=0,k11+k22=0(2),(2)2(1)k1(12)=0,12,0,k1=0,同理可得k2=0,與線性無關(guān),定理如果1,2,r是矩陣A的不同特征值,而i1,i2,是A的對應(yīng)于特征值i(i=1,2,r)的線性無關(guān)的特征向量,則向量組11,12,21,22,r1,r2,也線性無關(guān).,推廣設(shè)1,2,r是矩陣A的對應(yīng)于不同特征值1,2,r的特征向量,則1,2,r線性無關(guān).,注:,(1)對應(yīng)于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的,(2)對應(yīng)于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是對應(yīng)于這個(gè)特征值的特征向量.,(3)矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值而言的,一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一;一個(gè)特征向量不能對應(yīng)于不同的特征值,17,定義設(shè)A、B都是n階方陣,如果存在可逆矩陣P,使得P1AP=B,則稱B是A的相似矩陣,或者說A與B相似,記為AB.可逆矩陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣.,(2)對稱性:若AB,則BA,四、相似矩陣的概念和性質(zhì),相似滿足:,(1)反身性:AA,(3)傳遞性:若AB,BC,則AC,18,定理若A與B相似,則(1)A與B有相同的特征多項(xiàng)式;(2)A與B有相同的特征方程;(3)A與B有相同的特征值.,證:,若A與B相似,即存在可逆矩陣P,使得P1AP=B,B的特征多項(xiàng)式:,|IB|=,|IP1AP|,=|P1(I)PP1AP|,=|P1(IA)P|,=|P1|IA|P|,=|IA|P1|P|,=|IA|P1P|,=|IA|,19,(4)相似矩陣有相同的行列式.,P1AP=B,|P1AP|=|B|,|P1|A|P|=|B|,|A|P1|P|=|B|,|A|P1P|=|B|,|A|=|B|,換言之:若有可逆矩陣P,使得P1AP=,則1,2,n是A的特征值.,20,（5）相似矩陣有相同的秩,231頁性質(zhì),21,分析:,若P,|P|0,使得P1AP=,問題:對n階方陣A,如何求相似矩陣P,使得P1AP=?,記P=(P1,P2,Pn),5.2矩陣可對角化的條件,22,P1AP=,AP=P,A(P1,P2,Pn),(AP1,AP2,APn)=(1P1,2P2,nPn),APi=iPi(i=1,2,n),i為A的特征值,而Pi就是A的對應(yīng)于i的特征向量.,P可逆A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.,23,注:,(1)A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量P1,P2,Pn,從而有,定理n階方陣與對角矩陣相似A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.,推論設(shè)n階方陣A有n個(gè)不同的特征值,則A必與對角矩陣相似.,則P=(P1,P2,Pn)可逆.,24,定理:n階矩陣A與對角陣相似的充要條件是A的每個(gè)特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)的最大個(gè)數(shù)等于該特征值的重?cái)?shù).,25,(2)A未必能與相似.,如果A的特征方程有重根,此時(shí)A不一定有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量,從而矩陣A不一定能對角化,但如果能找到n個(gè)線性無關(guān)的特征向量,還是能對角化.,26,求可逆矩陣P,使得A與對角矩陣相似的步驟:,(1)由A求出特征值i(i=1,2,n),(2)求出對應(yīng)于i的特征向量Pi(i=1,2,n),(3)作出矩陣P=(P1,P2,Pn),則AP=P,(4)若P可逆,則P1AP=.,即A與相似.,27,例1判斷下列實(shí)矩陣能否化為對角陣?,A有三個(gè)不同的特征值,解:(1),|IA|=,=(+1)(9),A的特征值為:1=0,2=1,3=9,A可對角化.,28,(2),|IA|=,=(1)3,A的特征值為:1=2=3=1,解方程組(IA)X=0,基礎(chǔ)解系:,A不能對角化.,29,|IA|=,=(2)2(+7),A的特征值為:1=2=2,3=7,解方程組(2IA)X=0,基礎(chǔ)解系:,(3),解方程組(7IA)X=0,30,A有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量,A可對角化.,基礎(chǔ)解系:,31,例2設(shè),判斷A是否可以對角,A的特征值為:1=5,2=3=1,解:,化,若可以對角化,求出可逆陣P,使得P1AP為對角陣,并求A100.,32,A有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量,A可對角化.,令,則有P1AP=,33,(3),34,35,5.3實(shí)對稱矩陣的對角化,1.實(shí)對稱矩陣特征值的相關(guān)性質(zhì)2.求正交矩陣的方法,36,共軛矩陣,性質(zhì):,如果A=(aij)為復(fù)矩陣時(shí),用表示aij的共軛復(fù)數(shù),記.則稱為A的共軛矩陣.,(其中為復(fù)數(shù)),37,aij全為實(shí)數(shù),aij=aji,此時(shí)A稱為實(shí)對稱矩陣.,性質(zhì)1實(shí)對稱陣的特征值全為實(shí)數(shù).,一、實(shí)對稱矩陣特征值的相關(guān)性質(zhì),對稱陣,AT=A,38,性質(zhì)2設(shè)A是實(shí)對稱矩陣,則對應(yīng)于A的不同特征值的特征向量必正交.,證:,設(shè)1,2是實(shí)對稱矩陣A的兩個(gè)不同的特征值,是相應(yīng)的特征向量,A=1,A=2,1(,),=(1,),=(A,),=TAT,=(,A),=2(,),(12)(,)=0,12,(,)=0,即與正交,=(A)T,=TA,=(,2),39,定理設(shè)是實(shí)對稱矩陣A的k重特征值,那么對應(yīng)于的所有特征向量中,其極大線性無關(guān)組所包含的向量個(gè)數(shù)恰為k.,推論實(shí)對稱矩陣必與對角矩陣相似.,故n階實(shí)對稱矩陣必有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.,40,求正交矩陣的具體步驟為:,二、求正交矩陣的方法,(1)求出n階實(shí)對稱矩陣A的所有特征值1,2,n,(2)解齊次線性方程組(iIA)X=0,求出A的n個(gè)特征向量P1,P2,Pn,(3)將P1,P2,Pn正交標(biāo)準(zhǔn)化得e1,e2,en,(4)寫出正交矩陣T=(e1,e2,en),244頁總結(jié),41,例1設(shè),求一正交矩陣T,使T1AT=,解:,A的特征值為:1=5,2=3=1,42,將P2,P3正交化:,取2=P2,將P1,2,3單位化,得:,43,將e1,e2,e3構(gòu)成正交矩陣:,有:,