線性方程組的一般形式與直接法思想.ppt
第二章解線性方程組的直接法,數(shù)值分析,2.1線性方程組的一般形式與直接法思想,2.1線性方程組的直接法,實(shí)際問題中的線性方程組分類:,按系數(shù)矩陣中零元素的個(gè)數(shù):,稠密線性方程組,稀疏線性方程組,按未知量的個(gè)數(shù):,高階線性方程組,低階線性方程組,(如1000),(80%),按系數(shù)矩陣的形狀,對(duì)稱正定方程組,三角形方程組,三對(duì)角占優(yōu)方程組,一、直接法概述,直接法是將原方程組化為一個(gè)或若干個(gè)三角形方程組的方法,共有若干種,對(duì)于線性方程組,其中,系數(shù)矩陣,未知量向量,常數(shù)項(xiàng),-(1),根據(jù)Cramer(克萊姆)法則,若,(1)需要計(jì)算n+1個(gè)n階行列式并做n次除法運(yùn)算;,(2)每個(gè)n階行列式需要做n!次乘法運(yùn)算;(若采用行列式展開計(jì)算),(3)對(duì)于較大的n,計(jì)算量大到一般計(jì)算機(jī)難以接受;另外累積誤差也將不能接受;,需要尋找其他實(shí)際求解的辦法,這就是數(shù)值解法。,若用初等變換法求解,則對(duì)其增廣矩陣作行初等變換:,n-1次,同解,即,以上求解線性方程組的方法稱為Gauss消去法,則,都是三角形方程組,上述方法稱為直接三角形分解法,-(2),不論是Gauss消去法還是直接三角形分解法,都?xì)w結(jié)為解三角形方程組.,二、三角形線性方程組的解法,若記,下三角形線性方程組,上三角形線性方程組,即,其解為,其解為:,三角形方程組的解有顯示的計(jì)算公式(精確解)Gauss消去法和直接三角矩陣分解法都屬于直接法.所謂直接法就是直接通過方程組的已知數(shù)據(jù),用有限步的算式運(yùn)算公式,求出方程組的精確解(由于計(jì)算機(jī)的介入,存在舍入誤差,實(shí)際得到的還是近似解,即數(shù)值解.),