線性方程組的求解過程分析.ppt

自強學院尹劍翀07120004指導老師顧傳青,線性方程組的求解過程分析,讓我們引入一個線性方程組的求解過程來開始我們的論述：,線性方程組的求解實例,對方程組,求解：,→,。,→,→,→,對增廣矩陣進行初等行變換，,,。,于是，原方程可以化為,取,得特解,;,分別設,，,，可得導出組的一個基礎解系,，,，方程組的通解是,，,為任意常數(shù)。,那么，為什么我們可以通過初等行變換來分析線性方程組，又為什么能夠通過“特解＋基礎解系”的向量方式得到方程組的通解呢？,線性方程組的解法，就是通過不斷的消元，最終化為克萊姆法則可以解決的方程組，并加以求解的過程。,對線性方程組,，去掉多余方程(不妨設,后面m-r個多余)而得保留,，再找出r個未知數(shù),使它們系數(shù)行列式不為,，于是把,零，在這里假設x1,x2,..…xr系數(shù)行列式,。,方程組,移到等號右端，得到,線性方程組的具體解法,,,看成已知數(shù)，用克萊姆法則求解,,,。隨后將,,。,我們在解方程時使用的消元法，實際上就是對方程組進行變換，而所做的變換可以總結為以下的三種變換。I).用一非零的數(shù)乘某一方程；II).把一個方程的倍數(shù)加到另一個方程；III).互換兩個方程的位置。I)、II)、III)三個變換稱為線性方程組的初等變換。很容易看出，進行了初等變換之后原方程組與現(xiàn)方程組是同解的。應用到矩陣中行列之間的加減，便稱為矩陣的初等變換。,線性方程組解的分析——初等變換,在去除了未知量后，線性方程組可以表示為形如,這樣的矩陣形式；,例如,可以寫成,。,線性方程組的矩陣表達,矩陣的行向量描述：,該矩陣可以看作是由n個行向量,（i＝1,2,…,m）組成的。這些行向量可以被視為是對各個方程的簡略描述形式：設其中某行行標為i，則第i個方程：,可以用,來簡單表示。,矩陣的列向量描述：,當然，我們也可以認為線性方程組的增廣矩陣是由列向量,（j＝1,2,…,n）和,組成的。于是，我們可以得到以下式子成立：,,x1＋,x2＋…＋,xj…＋,xn=,。,。,通過這樣的式子我們可以發(fā)現(xiàn)，線性方程組可以用向量的形式來進行描述，,、,、,、…,為n個不同的向量，x1、x2、xj…xn,則可以被認為是各個向量（,、,、…,）,——一個這些向量的,的長度單位。通過對各個矢量的疊加，我們可以得到,線性組合。,、,我們甚至可以把原線性方程組改寫為,這樣的形式。,可以認為是以,、,、…,為基的坐標平面上關于矢量,的坐標表示。,,、,,我們在把線性方程組化為系數(shù)矩陣和增廣矩陣的時候，初等行變換就相當于方程組中各個方程組互相進行加減消元的過程，這個過程我們可以通過把矩陣視為行向量的集合。而當我們將矩陣視為列向量的集合的時候，則是對方程組的矢量化描述。,線性相關性,設向量組〔α，β1、β2、…βn〕，如果對向量α，β1、…βn有成立，則α被稱為是α，β1、…βn的線性組合。特別的，當k1,k2…ks不全為零，則稱α，β1、…βn線性相關。例如，向量組、、線性相關，因為。當k1,k2…ks全為零時，我們定義α，β1、…βn線性無關。事實上，一個向量組內的向量是線性相關抑或是線性無關取決于向量組中是否有向量能被其他的向量線性表示。當向量組線性相關時，必定有至少一個向量是“多余”的（即可以由其他的向量以的形式表現(xiàn)出來）。,,,,,,方程組，如，它可以用矩陣描述為，進而我們可以分解為三個行向量：設向量組{α，β，γ}，其中、`和。可以發(fā)現(xiàn)α，β，γ線性相關，因為。從線性方程組的角度出發(fā)，我們可以發(fā)現(xiàn)，通過加減消元法，把方程左右同乘以-2加到方程遂得到，與第三個方程形式完全相同，可知第三個方程“多余”,因此我們可以使得方程組變形為，用矩陣描述為。由此我們可以知道，通過矩陣的初等行變換，我們可以達到化簡方程組，減少計算量的目的。所謂的“線性無關”，在線性方程組中的解釋就是刪除冗余的方程后剩下的那些方程間的狀態(tài)。化簡了線性方程組之后，方程與方程之間的約束關系變得更為明晰。,,,,,,,,極大無關組和秩,一個向量組的一個部分組被稱為極大線性無關無關組，如果這個部分組本身線性無關并且從這個向量組中任意添加一個向量（如果還有的話）所得的部分組都線性相關。極大線性無關組的一個基本性質是，任一個極大線性無關組都與向量組本身等價。一向量組的極大無關組總是含有相同個數(shù)的向量。,如向量組｛α，β，γ｝其極大無關組即可以是〔α，β〕，又可以是〔α，γ〕，也可以是〔β，γ〕。用線性方程組來解釋的話，有，它顯然與方程組、、同解（通過消元法驗證）。,,,,向量組的極大無關組含有向量的個數(shù)稱為向量組的秩。像向量組〔、、〕:秩為2，與之對應的線性方程組經(jīng)等效之后含有的線性無關的方程個數(shù)也為2個（但是具體是那兩個是無法確定的）。推廣到矩陣，所謂矩陣的行秩就是指矩陣行向量組的秩，矩陣的列秩就是矩陣列向量組的秩?？梢宰C明，矩陣的行秩與列秩相等。因此，我們把矩陣的行秩與列秩統(tǒng)稱為矩陣的秩。,,,,,在對秩進行了界定之后，我們對線性方程組的面貌越來越清晰了。當我們把方程組通過矩陣的初等變換化為階梯陣的時候，如引例→的過程，目的便是把自由未知量x3，x4（互相線性無關）與相關未知量x1,x2(同x3，x4線性相關，關系式)分離開來，使用矩陣對方程組的變量x1，x2，x3，x4之間的關系進行形象化的描述。此時我們發(fā)現(xiàn)，線性方程組的秩就相當于各個未知量之間關系式的個數(shù)。,,,,,,使用矩陣初等行變換達到對方程組的變量之間的關系進行形象化的描述之后，我們的求解問題轉化為如何描述線性方程組的解。于是，我們引入了解向量。線性方程組的解可以描述為各個線性無關的解向量的和，如引例中線性方程組的通解用解向量的和：來描述（其中，，;k1，k2，為任意常數(shù)）。當然，和是等價的。,,,,,,線性方程組解的結構,導出組,在一個齊次線性方程組有非零解的條件下，它有基礎解系，并且基礎解系所含解的個數(shù)等于n-r，這里r表示系數(shù)矩陣的秩。很容易看出，任何一個線性無關的與某個基礎解系等價的向量組都是基礎解系。如果把一般的線性方程組（*）的常數(shù)項都換為零，則得到齊次線性方程組，稱為導出組。,,,線性方程組（*）與對應的導出組之間的關系,1.線性方程組（*）的兩個解的差是它的導出組的解；2.線性方程組（*）的一個解與它的導出組的解之和還是線性方程組（*）的一個解；由此，我們推出：如果γ0是線性方程組（*）的一個解，那么線性方程組（*）的任一個解都可以表示成γ=γ0+η，其中η是它的導出組的一個解。對于方程組的任一個特解γ0，當η取遍它的導出組的全部解時，γ=γ0+η就給出線性方程組（*）的全部解。,,,,,以上的文字說明引例中通解（為特解;，，為對應導出組的基礎解系）的原因。,事實上，當我們用矩陣的初等變換把線性方程組的增廣矩陣化為階梯形后，我們要做的，便是把相應的變量關系式化為幾個線性無關的解向量的組合，組成一個完整的通解。引例中設，，目的在于使得各個解向量之間線性無關，因為“低維無關高維必無關”。事實上，我們設,，或是其他形式也可以，只不過計算量變得更為龐大，并且要容易使線性相關的情況發(fā)生（如果自由未知量過多隨意設置自由未知量的值顯然是不妥的）。如果設定不當使得各個解向量之間線性相關，并不是說解不正確，而是解的討論不完全.就像對方程我們認為“它的解是”這樣的論述是不準確的一樣，并不是不對，而是因為它完整的解集應該是。,,,,,,,,,線性方程組無解的情況,當我們解線性方程組時，線性方程組的有解的充要條件是：線性方程組的系數(shù)矩陣與其對應的增廣矩陣的秩相等。當矩陣的秩與其對應線性方程組增廣矩陣的秩相等時，線性方程組A有解：1)當R(A)=n時，有唯一解；2）當R(A)＜n時，有無窮多個解；,,,因為在這樣的情況下，線性方程組化為階梯陣后會產(chǎn)生的情況。作為方程，顯然是錯誤的。而從幾何意義上說，如果以三維圖形作形象解釋，設方程組，則平面與平面平行，圖像互不相交，造成了交點的點集為“空”的局面，因此方程組無解。,,為什么時線性方程組無解呢？,,,,,