高中數學（北師大版）選修2-2教案：第1章 例談反證法在解題中的應用

例談反證法在解題中的應用 反證法是一種間接證法.它是數學學習中一種很重要的證題方法.反證法證題的步驟大致分為三步： 　?。?）反設：作出與求證的結論相反的假設； 　?。?）歸謬：由反設出發(fā)，導出矛盾結果； 　?。?）作出結論：證明了反設不能成立，從而證明了所求證的結論成立. 其中，導出矛盾是關鍵，通常有以下幾種途徑：與已知矛盾，與公理、定理矛盾，與假設矛盾，自相矛盾等. 　　一、證明“至多”或“至少”問題 　　例1　已知函數對其定義域內的任意兩個實數，當時，都有．求證：至多有一個實數使得． 　　證明：假設存在兩個不等實數，使得． 　　不妨設，由條件可知，與式矛盾． 故至多有一個實數使得． 　　二、證明“不可能”問題 　　例2　給定實數，且，設函數，求證：經過這個函數圖象上任意兩個不同的點的直線不平行于軸． 　　證明：假設函數圖象上存在兩點，使得直線平行于軸． 　　設且．由， 　　得， 　　解得．與已知矛盾． 故經過這個函數圖象上任意兩個不同的點的直線不平行于x軸. - 1 - / 3 　　例3　雙曲線的兩支為，正三角形的三頂點位于此雙曲線上．求證：不可能在雙曲線的同一支上． 　　證明：假設正三角形的三頂點位于雙曲線同一支如上，其坐標分別為，不妨設，則一定有． 　　于是 　　 　?。? 因此，．這說明是鈍角三角形，與為正三角形矛盾．故不可能在雙曲線的同一支上． 　　三、證明“存在性”或“唯一性”問題 　　例4　已知函數的圖象過點．問是否存在常數，使不等式對一切實數都成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由． 　　解：假設存在符合條件的． 　　的圖象過， 　　，即． 　　又對一切實數都成立， 　　令，則． 　　，，． 　?。? 　　由得 　　據題意，對于任意實數，與都成立． 　　對于，若，則，不合題意；若，欲使的解集為，則需即解得． 　　對于，再考慮，把代入，得，其解集為． 　　所以，存在滿足條件的，其中． 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！