高考一輪復習課時作業(yè)44

本資料來自于資源最齊全的２１世紀教育網(wǎng) 課時作業(yè)(十八) 一、選擇題 1．設f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　) A.　　　　　　　　 B.＋ C.＋ D.＋＋ 答案　D 2．已知1＋23＋332＋433＋…＋n3n－1＝3n(na－b)＋c對一切n∈N*都成立，則a、b、c的值為(　　) A．a(chǎn)＝，b＝c＝　　　　　 B．a(chǎn)＝b＝c＝ C．a(chǎn)＝0，b＝c＝ D．不存在這樣的a、b、c 答案　A 解析　∵等式對一切n∈N*均成立， ∴n＝1,2,3時等式成立， 即 整理得解得a＝，b＝c＝. 3．在數(shù)列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通過求a2，a3，a4，猜想an的表達式為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由a1＝，Sn＝n(2n－1)an， 得S2＝2(22－1)an，即a1＋a2＝6a2， ∴a2＝＝，S3＝3(23－1)a3， 即＋＋a3＝15a3. ∴a3＝＝，a4＝.故選C. 二、填空題 4．n為正奇數(shù)時，求證：xn＋yn被x＋y整除，當?shù)诙郊僭On＝2k－1命題為真時，進而需證n＝________，命題為真． 答案　2k＋1 三、解答題 5．用數(shù)學歸納法證明：當n是不小于5的自然數(shù)時，總有2n>n2成立． 解析?、佼攏＝5時，25>52，結(jié)論成立； ②假設當n＝k(k∈N*，k≥5)時，結(jié)論成立，即2k>k2. 那么當n＝k＋1時，左邊＝2k＋1＝22k>2k2＝(k＋1)2＋(k2－2k－1)＝(k＋1)2＋(k－1－)(k－1＋)>(k＋1)2＝右邊． 也就是說，當n＝k＋1時，結(jié)論也成立． ∴由①②可知，不等式2n>n2對滿足n∈N*，n≥5時的n恒成立． 6．設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且對任意的自然數(shù)n都有：(Sn－1)2＝anSn. (1)求S1，S2，S3； (2)猜想Sn的表達式并證明． 解析　(1)由(S1－1)2＝S得：S1＝； 由(S2－1)2＝(S2－S1)S2得：S2＝； 由(S3－1)2＝(S3－S2)S3得：S3＝. (2)猜想：Sn＝. 證明：①當n＝1時，顯然成立； ②假設當n＝k(k≥1且k∈N*)時，Sk＝成立． 則當n＝k＋1時，由(Sk＋1－1)2＝ak＋1Sk＋1得：Sk＋1＝＝＝， 從而n＝k＋1時，猜想也成立． 綜合①②得結(jié)論成立． 7．在數(shù)列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)列(n∈N*)． (1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測{an}，{bn}的通項公式，并證明你的結(jié)論； (2)證明：＋＋…＋<. 解析　(1)由條件得 2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1. 由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜測an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. 用數(shù)學歸納法證明： ①當n＝1時，由上可得結(jié)論成立． ②假設當n＝k時，結(jié)論成立，即 ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2.那么當n＝k＋1時， ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)， bk＋1＝＝(k＋2)2.所以當n＝k＋1時，結(jié)論也成立． 由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2對一切正整數(shù)都成立． (2)＝<. n≥2時，由(1)知 an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)>2(n＋1)n. 故＋＋…＋ <＋(＋＋…＋) ＝＋(－＋－＋…＋－) ＝＋(－)<＋＝. 8．已知數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，且滿足：a0＝1，an＋1＝an(4－an)，(n∈N)． 證明：an<an＋1<2，(n∈N)． 證明　解法一　用數(shù)學歸納法證明： (1)當n＝0時，a0＝1，a1＝a0(4－a0)＝， 所以a0<a1<2，命題正確． (2)假設n＝k時命題成立，即ak－1<ak<2. 則當n＝k＋1時，ak－ak＋1 ＝ak－1(4－ak－1)－ak(4－ak) ＝2(ak－1－ak)－(ak－1－ak)(ak－1＋ak) ＝(ak－1－ak)(4－ak－1－ak)． 而ak－1－ak<0,4－ak－1－ak>0，所以ak－ak＋1<0. 又ak＋1＝ak(4－ak)＝[4－(ak－2)2]<2. 所以n＝k＋1時命題成立． 由(1)(2)可知，對一切n∈N時有an<an＋1<2. 解法二　用數(shù)學歸納法證明： (1)當n＝0時，a0＝1，a1＝a0(4－a0)＝， 所以0<a0<a1<2； (2)假設n＝k時有ak－1<ak<2成立， 令f(x)＝x(4－x)，f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增， 所以由假設有：f(ak－1)<f(ak)<f(2)， 即ak－1(4－ak－1)<ak(4－ak)<2(4－2)， 也即當n＝k＋1時，ak<ak＋1<2成立． 所以對一切n∈N，有ak<ak＋1<2. 9．(09安徽)首項為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋1＝(a＋3)，n∈N*. (Ⅰ)證明：若a1為奇數(shù)，則對一切n≥2，an都是奇數(shù)； (Ⅱ)若對一切n∈N*都有an＋1>an，求a1的取值范圍． 解析　(Ⅰ)已知a1是奇數(shù)，假設ak＝2m－1是奇數(shù)，其中m為正整數(shù)， 則由遞推關系得ak＋1＝＝m(m－1)＋1是奇數(shù)． 根據(jù)數(shù)學歸納法可知，對任何n∈N*，an是奇數(shù)． (Ⅱ)解法一　由an＋1－an＝(an－1)(an－3)知，當且僅當an<1或an>3時，an＋1>an. 另一方面，若0<ak<1，則0<ak＋1<＝1；若ak>3，則ak＋1>＝3. 根據(jù)數(shù)學歸納法可知?n∈N*,0<a1<1?0<an<1；?n∈N*，a1>3?an>3. 綜上所述，對一切n∈N*都有an＋1>an的充要條件是0<a1<1或a1>3. 解法二　由a2＝>a1，得a－4a1＋3>0，于是0<a1<1或a1>3. an＋1－an＝－＝， 因為a1>0，an＋1＝，所以所有的an均大于0，因此an＋1－an與an－an－1同號． 根據(jù)數(shù)學歸納法可知，?n∈N*，an＋1－an與a2－a1同號． 因此，對于一切n∈N*都有an＋1>an的充要條件是0<a1<1或a1>3. 10．(2011濟南統(tǒng)考)已知等差數(shù)列{an}的公差d大于0，且a2，a5是方程x2－12x＋27＝0，的兩根，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，且Tn＝1－bn. (1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式； (2)設數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，試比較與Sn＋1的大小，并說明理由． 思路分析　(1)求得a2、a5的值即可得an的表達式，再利用Tn－Tn－1＝bn求出{bn}的通項公式； (2)首先求出Sn＋1與的表達式，先進行猜想，再進行證明． 解析　(1)由已知得 又∵{an}的公差大于0，∴a5>a2. ∴a2＝3，a5＝9. ∴d＝＝＝2，a1＝1. ∵Tn＝1－bn，b1＝，當n≥2時，Tn－1＝1－bn－1， ∴bn＝Tn－Tn－1＝1－bn－(1－bn－1)， 化簡，得bn＝bn－1， ∴{bn}是首項為，公比為的等比數(shù)列， 即bn＝()n－1＝. ∴an＝2n－1，bn＝. (2)∵Sn＝n＝n2， ∴Sn＋1＝(n＋1)2，＝， 以下比較與Sn＋1的大?。? 當n＝1時，＝，S2＝4，∴<S2. 當n＝2時，＝，S3＝9，∴<S3. 當n＝3時，＝，S4＝16，則<S4. 當n＝4時，＝，S5＝25，得>S5. 猜想：n≥4時，>Sn＋1. 下面用數(shù)學歸納法證明： ①當n＝4時，已證． ②假設當n＝k(k∈N*，k≥4)時，>Sk＋1， 即>(k＋1)2， 那么，n＝k＋1時， ＝＝3>3(k＋1)2 ＝3k2＋6k＋3 ＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1>[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1， ∴n＝k＋1時，>Sn＋1也成立． 由①②可知n∈N*，n≥4時，>Sn＋1成立． 綜上所述，當n＝1,2,3時，<Sn＋1， 當n≥4時，>Sn＋1. 21世紀教育網(wǎng) -- 中國最大型、最專業(yè)的中小學教育資源門戶網(wǎng)站。 版權(quán)所有@21世紀教育網(wǎng)