特征值和特征向量的應(yīng)用 數(shù)學(xué)畢業(yè)論文

河北師范大學(xué)匯華學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）任務(wù)書編 號： 2013230 論文（設(shè)計(jì)）題目； 特征值和特征向量的應(yīng)用 學(xué) 部： 信息工程學(xué)部 專業(yè)： 數(shù)學(xué)與用用數(shù)學(xué) 班級： 2009 級 2 班 學(xué)生姓名： 學(xué)號： 指導(dǎo)教師： 職稱： 副教授 1、論文（設(shè)計(jì)）研究目標(biāo)及主要任務(wù)通過對特征向量與特征值的應(yīng)用的研究，來充分利用的特征向量與特征值計(jì)算的簡便解決相關(guān)問題，應(yīng)用于數(shù)學(xué)解題計(jì)算中和生活實(shí)際的應(yīng)用中。主要是歸納研究出特征向量和特征值在不同類形的矩陣中，怎樣幫助解決相關(guān)試題。同時(shí)將特征值和特征向量應(yīng)用到生活中的應(yīng)用，如經(jīng)濟(jì)應(yīng)用，環(huán)境污染的增長類型，萊斯利種群的相關(guān)問題。2、論文（設(shè)計(jì)）的主要內(nèi)容特征值和特征向量的相關(guān)概念，性質(zhì)。在數(shù)學(xué)中，按照分類矩陣來應(yīng)用特征值與特征向量來解題。在生活中的幾個(gè)方面的應(yīng)用。3、論文（設(shè)計(jì)）的基礎(chǔ)條件及研究路線首先，明白相關(guān)的定義，如特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式、對角矩陣等相關(guān)的概念。其次，了解他的相關(guān)性質(zhì)，并應(yīng)用到解題和相關(guān)的生活中。4、主要參考文獻(xiàn)1 王萼芳,石生明.高等代數(shù)M.北京:高等教育出版社,2003.2 湯正華.關(guān)于矩陣的特征值與特征向量的探究J.山東行政學(xué)院山東省經(jīng)濟(jì)管理干部學(xué)院學(xué)報(bào)，2008， （91）:4648.3 向以華.矩陣的特征值與特征向量的研究J.重慶三峽學(xué)院學(xué)報(bào)，2009,25（117）：135138.4 吳春生.淺議線性變換與矩陣的特征值與特征向量的關(guān)系J.連云港師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2004,（4）：7576.5 何翼.求矩陣特征值與特征向量的新方法J.銅仁學(xué)院學(xué)報(bào)，2009,11（3）：139140.6 楊廷俊.矩陣特征值與特征向量的同步求解法J.甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版） ，2006,20（3）：2022.7 李延敏.關(guān)于矩陣的特征值與特征向量同步求解問題J.大學(xué)數(shù)學(xué)，2004,20（4）：9295.8 姚幕生.高等代數(shù)M.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,20029邵麗麗.矩陣的特征值和特征向量的應(yīng)用研究J.菏澤學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，（5）：2023.10奚傳志.矩陣特征值與特征向量在遞推關(guān)系上的應(yīng)用J.棗莊師專學(xué)報(bào)，1991,（2）：263011郭華，劉小明.特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中的作用J.渝州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2000,17（2）：7275.12同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.線性代數(shù)（第二版）M.北京：高等教育出版社.1993,11513713矩陣的特征值、特征向量和應(yīng)用J.臨沂師專學(xué)報(bào)，1994，（5）：17.5、計(jì)劃進(jìn)度階段起止日期1指導(dǎo)教師和學(xué)生進(jìn)行雙選，確定對應(yīng)名單2012.12.31-2012.01.212畢業(yè)論文選題、文獻(xiàn)調(diào)研、填寫畢業(yè)論文任務(wù)書、論文開題2013.01.21-2013.03.153進(jìn)行畢業(yè)論文的初稿寫作2013.03.20-2013.04.054進(jìn)一步修改論文，并最終定稿2013.04.06-2013.04.265論文答辯、填報(bào)畢業(yè)論文的有關(guān)資料2013.05.08指 導(dǎo) 教師: 年 月 日教研室主任: 年 月 日河北師范大學(xué)匯華學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）開題報(bào)告書 信息工程 學(xué)部 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 專業(yè) 2013 屆學(xué)生姓名論文（設(shè)計(jì)）題目特征值與特征向量的應(yīng)用指導(dǎo)教師蘭文華專業(yè)職稱副教授所屬教研室離散研究方向離散與組合幾何課題論證：見附頁方案設(shè)計(jì)：首先，對矩陣中的特征值與特征向量的定義及相應(yīng)的性質(zhì)；其次，對不同類型的矩陣進(jìn)行分類，與此同時(shí)，利用特征值與特征向量的定義和性質(zhì)進(jìn)行解題；最后，舉生活中的實(shí)例。來證明特征值與特征向量在生活中幾方面的應(yīng)用。進(jìn)度計(jì)劃： 2012.12.31-2012.01.21：指導(dǎo)教師和學(xué)生進(jìn)行雙選，確定對應(yīng)名單 2013.01.21-2013.03.15：畢業(yè)論文選題，文獻(xiàn)調(diào)研填寫論文任務(wù)書、開題 報(bào)告 2013.03.20-2013.04.05：進(jìn)行畢業(yè)論文的初稿寫作 2013:04.06-2013.04.26：進(jìn)一步修改論文，并最終定稿 2013.05.08：論文答辯、填報(bào)畢業(yè)論文的有關(guān)資料指導(dǎo)教師意見：指導(dǎo)教師簽名： 年 月 日教研室意見： 教研室主任簽名： 年 月 日附頁：課題論證 矩陣是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一個(gè)重要的基本概念之一,是高等代數(shù)的一個(gè)主要研究對象,也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個(gè)重要工具. 矩陣的特征值與特征向量問題是矩陣?yán)碚摰闹匾M成部分，它在高等代數(shù)和其他科技領(lǐng)域中占有重要的位置.同時(shí)它又貫穿了高等代數(shù)的許多重要方面，對于該課題的研究加深了我們對高等代數(shù)各個(gè)部分的認(rèn)識，從而使我們更深刻的了解高等代數(shù)的相關(guān)理論. 對矩陣的特征值與特征向量的理論研究和及其應(yīng)用探究，不僅對提高高等代數(shù)以及相關(guān)課程的理解有很大幫助，而且在理論上也很重要，可以直接用來解決實(shí)際問題.現(xiàn)在矩陣已成為獨(dú)立的一門數(shù)學(xué)分支，矩陣特征值與特征向量的應(yīng)用是多方面的，不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，還有在力學(xué)、信息、科技等方面都有十分廣泛的應(yīng)用.目前關(guān)于已經(jīng)有很多專家學(xué)者在此領(lǐng)域研究該問題.吳江、孟世才、許耿在淺談中“特征值與特征向量”的引入中，從線性空間 V 中的線性變換在不同基下的矩陣具有相似關(guān)系出發(fā)，引入矩陣的特征值與特征向量的概念.郭華、劉小明在特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中的作用中，從方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)著手，結(jié)合具體的例題闡述了特征值與特征向量在簡化矩陣運(yùn)算中所起的作用.矩陣的特征值與特征向量在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中有重要作用，矩陣迭代法是求矩陣的一階特征值與特征向量的一種數(shù)值方法,但是選取不同的初始向量使結(jié)果可能收斂于不同階的特征值與特征向量，而不一定收斂與第一階。陳建兵在矩陣迭代法求矩陣特征值與特征向量初始向量選取的討論中討論了初始向的選取問題.特征值理論是線性代數(shù)中的一個(gè)重要的內(nèi)容，在方陣階數(shù)很高時(shí)計(jì)算起來相當(dāng)?shù)姆爆崳w娜、呂劍峰在特征值問題的 MATLAB 實(shí)踐中，從實(shí)際案例出發(fā)，利用 MATLAB 軟件求解特征值問題的全過程.汪慶麗在用矩陣的初等變換求矩陣的特征值與特征向量中，研究了一種只要對矩陣作適當(dāng)?shù)某醯刃凶儞Q就能求到矩陣的特征值與特征向量的方法，論證了它方法的合理性，并闡述該方法的具體求解步驟.岳嶸在由特征值特征向量去頂矩陣的方法證明及應(yīng)用中，研究了已知 n 階對稱矩陣 A 的 k 個(gè)互不相等的特征值及 k-1 個(gè)特征向量計(jì)算出矩陣 A 的計(jì)算方法.張紅玉在矩陣特征值的理論及應(yīng)用中，討論了通過 n 階方陣 A 的特征值得出一系列相關(guān)矩陣的特征值,再由特征值與正定矩陣的關(guān)系得出了正定矩陣的結(jié)論.劉學(xué)鵬、楊軍在矩陣的特征值、特征向量和應(yīng)用一文中，很好的討論了矩陣的特征值和特征向量的一些特殊情況，以及在矩陣對角化方面的相關(guān)計(jì)算應(yīng)用.馮俊艷、馬麗在討論矩陣的特征值與行列式的關(guān)系中，探究了利用矩陣的特征值解決行列式的問題.河北師范大學(xué)匯華學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）文獻(xiàn)綜述 在國內(nèi)外有很多關(guān)于特征值與特征向量的研究成果，并且有很多專家學(xué)者涉足此領(lǐng)域研究該問題.吳江、孟世才、許耿在淺談中“特征值與特征向量”的引入中從線性空間 V 中線性變換在不同基下的矩陣具有相似關(guān)系出發(fā)，引入矩陣的特征值與特征向量的定義；郭華、劉小明在特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中的作用中從方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)出發(fā)，結(jié)合具體的例子闡述了特征值與特征向量在簡化矩陣運(yùn)算中所起的作用；矩陣的特征值與特征向量在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中有重要作用，矩陣迭代法是求矩陣的第一階特征值與特征向量的一種數(shù)值方法,但是選取不同的初始向量使結(jié)果可能收斂于不同階的特征值與特征向量，而不一定收斂與第一階,陳建兵在矩陣迭代法求矩陣特征值與特征向量初始向量選取的討論中討論了初始向量的選取問題.特征值理論是線性代數(shù)中的一個(gè)重要的內(nèi)容；當(dāng)方陣階數(shù)很高時(shí)實(shí)際計(jì)算比較繁瑣，趙娜、呂劍峰在特征值問題的 MATLAB 實(shí)踐中從實(shí)際案例入手，利用 MATLAB 軟件討論了求解特征值問題的全過程.汪慶麗在用矩陣的初等變換求矩陣的特征值與特征向量中研究了一種只對矩陣作適當(dāng)?shù)某醯刃凶儞Q就能求到矩陣的特征值與特征向量的方法，論證其方法的合理性，并闡述此方法的具體求解步驟；岳嶸在由特征值特征向量去頂矩陣的方法證明及應(yīng)用中探究了已知 n 階對稱矩陣 A 的 k 個(gè)互不相等的特征值及 k-1 個(gè)特征向量計(jì)算出矩陣 A 的計(jì)算方法；張紅玉在矩陣特征值的理論及應(yīng)用中討論了通過 n 階方陣 A 的特征值得出一系列相關(guān)矩陣的特征值,再由特征值與正定矩陣的關(guān)系得出正定矩陣的結(jié)論；劉學(xué)鵬、楊軍在矩陣的特征值、特征向量和應(yīng)用一文中討論了矩陣的特征值和特征向量的一些特殊情況，以及在矩陣對角化方面的應(yīng)用；馮俊艷、馬麗在討論矩陣的特征值與行列式的關(guān)系中討論了利用矩陣的特征值解決行列式的問題等等。在前人研究的基礎(chǔ)上，本文給出了特征值與特征向量的概念及其性質(zhì)，特征值與特征向量性質(zhì)是最基本的內(nèi)容，特征值與特征向量的歸納使得這一工具的使用更加便利，解決問題的作用更強(qiáng)有力，其應(yīng)用也就更廣泛.在此基礎(chǔ)上，對矩陣的特征值與特征向量的計(jì)算進(jìn)行詳盡的闡述和說明.由于特征值與特征向量的應(yīng)用是多方面的，本文重點(diǎn)介紹了對特征值與特征向量的應(yīng)用歸納,闡述了特征值和特征向量在矩陣運(yùn)算中的作用，以及部分在實(shí)際生活中的應(yīng)用。在例題解析中運(yùn)用一些特征值與特征向量的性質(zhì)和方法，可以使問題更簡單，運(yùn)算上更方便，是簡化有關(guān)復(fù)雜問題的一種有效途徑.本文就是通過大量的例子加以說明運(yùn)用特征值與特征向量的性質(zhì)可以使問題更加清楚，從而使高等代數(shù)中的大量習(xí)題迎刃而解，把特征值與特征向量在解決實(shí)際問題中的優(yōu)越性表現(xiàn)出來.河北師范大學(xué)匯華學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）翻譯文章矩陣的特征值可以確定所發(fā)現(xiàn)的特征多項(xiàng)式的根。多項(xiàng)式的根的顯式代數(shù)公式僅當(dāng)存在比率為4以下。根據(jù)阿貝爾 - 魯菲尼定理5個(gè)或5個(gè)以上的多項(xiàng)式的根源是沒有一般情況下，明確和準(zhǔn)確的代數(shù)公式。事實(shí)證明，任何程度的多項(xiàng)式是一些同伴階矩陣的特征多項(xiàng)式。因此，5個(gè)或更多的順序的矩陣的特征值和特征向量不能獲得通過明確的代數(shù)公式，因此，必須計(jì)算的近似數(shù)值方法在理論上，可以精確計(jì)算的特征多項(xiàng)式的系數(shù)，因?yàn)樗鼈兪蔷仃囋氐目偤?，有算法，可以找到任何所需的精度。然而，任意程度的多?xiàng)式的所有根這種方法在實(shí)踐中是不可行的，因?yàn)橄禂?shù)將被污染的不可避免的舍入誤差，多項(xiàng)式的根可以是一個(gè)極為敏感的功能（例如由威爾金森的多項(xiàng)式系數(shù)） 。在實(shí)踐中可行，因?yàn)橄禂?shù)將被污染的不可避免的舍入誤差，多項(xiàng)式的根可以是一個(gè)極為敏感的功能（例如由威爾金森的多項(xiàng)式系數(shù)）直到 QR 算法在1961年的來臨，高效，精確的方法來計(jì)算任意矩陣的特征值和特征向量。 與 LU 分解法的查詢結(jié)果在一個(gè)算法中與更好地的 QR 算法的收斂性比。結(jié)合了 Householder 變換。對于大的的厄密共軛的稀疏矩陣，theLanczos 算法;是一個(gè)有效的迭代的方法，以計(jì)算特征值和特征向量獲得的一個(gè)例子，在一些其他的可能性。編輯計(jì)算特征向量一旦一個(gè)特征值（精確）的值是已知的，可以找到對應(yīng)的特征向量，通過尋找特征值方程的非零解，即成為與已知的系數(shù)的線性方程系統(tǒng)。例如，一旦它是已知的，圖6是矩陣的特征值我們可以找到它的特征向量，通過求解方程，也就是yxyx63614該矩陣方程相當(dāng)于兩個(gè)線性方程組的也就是6y3y6x6xyx403602-yxyx兩個(gè)方程減少到單一的線性方程.因此，任何載體的形式，任何非零實(shí)數(shù)，是一個(gè)xy2特征值與特征向量相匹配。上述矩陣 A 有另一個(gè)特征值。類似的計(jì)算表明，對應(yīng)的特征向量是非零的解決方案，那就是，任何載體的形式，任何非零實(shí)數(shù) b。某些數(shù)字的方法，計(jì)算的矩陣的特征值也確定一組對應(yīng)的特征向量作為副產(chǎn)物的計(jì)算。里昂，線性代數(shù)（第一版） 【M】.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2011.The eigenvalues of a matrix can be determined by finding the roots of the characteristic polynomial. Explicit algebraic formulas for the roots of a polynomial exist only if the degree is 4 or less. According to the AbelRuffini theorem there is no general, explicit and exact algebraic formula for the roots of a polynomial with degree 5 or more.It turns out that any polynomial with degree is the characteristic polynomial of some companion matrix of order . Therefore, for matrices of order 5 or more, the eigenvalues and eigenvectors cannot be obtained by an explicit algebraic formula, and must therefore be computed by approximate numerical methods.In theory, the coefficients of the characteristic polynomial can be computed exactly, since they are sums of products of matrix elements; and there are algorithms that can find all the roots of a polynomial of arbitrary degree to any required accuracy.10 However, this approach is not viable in practice because the coefficients would be contaminated by unavoidable round-off errors, and the roots of a polynomial can be an extremely sensitive function of the coefficients (as exemplified by Wilkinsons polynomial).10Efficient, accurate methods to compute eigenvalues and eigenvectors of arbitrary matrices were not known until the advent of the QR algorithm in 1961. 10 Combining the Householder transformation with the LU decomposition results in an algorithm with better convergence than the QR algorithm.11 For large Hermitian sparse matrices, theLanczos algorithm is one example of an efficient iterative method to compute eigenvalues and eigenvectors, among several other possibilities.10edit Computing the eigenvectorsOnce the (exact) value of an eigenvalue is known, the corresponding eigenvectors can be found by finding non-zero solutions of the eigenvalue equation, that becomes a system of linear equations with known coefficients. For example, once it is known that 6 is an eigenvalue of the matrix3614Awe can find its eigenvectors by solving the equation ， that isV6AV yxyx63614This matrix equation is equivalent to two linear equationsthat is 6y3y6x6xyx403602-yxyxBoth equations reduce to the single linear equation . Therefore, any vector of the form xy2,for any non-zero real number a, is an eigenvector of A with eigenvalue .2 , aa6The matrix A above has another eigenvalue. A similar calculation shows that the 1corresponding eigenvectors are the non-zero solutions of , that is, any vector of the 03 yxform , for any non-zero real number .3,bb Some numeric methods that compute the eigenvalues of a matrix also determine a set of corresponding eigenvectors as a by-product of the computation.本科生畢業(yè)論文設(shè)計(jì)特征值與特征向量的應(yīng)用特征值與特征向量的應(yīng)用作者姓名：盧超男指導(dǎo)教師：蘭文華所在學(xué)部：信息工程學(xué)部專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級（屆）：2013 屆 2 班二一三年四月二十六日目 錄摘要摘要.1緒論.21 特征值和特征向量.31.1 特征值與特征向量的概念.31.2 特征值與特征向量的性質(zhì).32 矩陣的特征值和特征向量的求法.42.1 具體的數(shù)字矩陣.42.2 抽象的矩陣.42.3 相似矩陣.52.4 實(shí)對稱矩陣.63 特征值和特征向量在生活中的應(yīng)用.83.1 經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型 .83.2 萊斯利（Leslie）種群模型 .11參考文獻(xiàn).18英文摘要.19摘要摘要特征值與特征向量是高等代數(shù)中一個(gè)重要的部分，并在理論和學(xué)習(xí)及實(shí)際生活，特別是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)方面都有很重要的作用.本文主要討論并歸納了特征值與特征向量的性質(zhì)，通過實(shí)例展現(xiàn)特征值與特征向量的優(yōu)越性與便捷性，探討特征值與特征向量及其應(yīng)用有著非常重要的價(jià)值.正文共劃分為三個(gè)大部分，第一部分，是對特征值與特征向量概念、性質(zhì)的充分總結(jié)。這是為了更好的利用定義和性質(zhì)來解決相關(guān)的矩陣習(xí)題；第二部分，是具體的將矩陣分類，按照矩陣的類型與特征值和特征向量的性質(zhì)進(jìn)行匹配，具體的解決問題并有相關(guān)的例題。第三部分，是舉出特征值與特征向量在生活的具體事例，來展示他的應(yīng)用性。特征值與特征向量還有很廣泛的用途，本文只是對特征值與特征向量概念、性質(zhì)，在數(shù)學(xué)矩陣與生活中的應(yīng)用進(jìn)行簡短的研究歸納。關(guān)鍵詞：特征值，特征向量，矩陣 2緒論緒論在已有研究的基礎(chǔ)上，該文給出了特征值與特征向量的概念及其性質(zhì)，特征值與特征向量性質(zhì)是最基本的內(nèi)容，特征值與特征向量的討論使得這一工具的使用更加簡捷便利，對矩陣的特征值與特征向量的計(jì)算進(jìn)行詳盡例子的闡述和說明.該文重點(diǎn)介紹了對特征值與特征向量在不同類型矩陣中的應(yīng)用探究,闡述了特征值和特征向量在矩陣運(yùn)算中的作用，在例題解析中運(yùn)用一些特征值與特征向量的性質(zhì)和方法，使問題更簡單，運(yùn)算上更方便，是簡化有關(guān)復(fù)雜問題的一種很好而有效途徑.該文就是通過大量的例子加以說明運(yùn)用特征值與特征向量的性質(zhì)可以使問題更加清楚，從而使高等代數(shù)中的大量習(xí)題迎刃而解，把特征值與特征向量在解決實(shí)際問題中的優(yōu)越性得到了很大的展現(xiàn)。31 特征值和特征向量特征值和特征向量1.11.1 特征值與特征向量的概念特征值與特征向量的概念定義 1，設(shè)是數(shù)域 上的線性空間 的一個(gè)線性變換，如果對于數(shù)域 中的一數(shù)A ，存在一個(gè)非零向量 ，使得0 0= A那么 稱為 的一個(gè)特征值，而 稱為 的屬于特征值的一個(gè)特征向量。0AA0定義 2，設(shè) 是 n 階矩陣，若存在數(shù) 及非零的 n 維列向量 ，使得A A成立，則稱是矩陣特征值，稱非零向量是矩陣 屬于特征值的特征向AA量。 （注：特征向量是非零向量）行列式稱為矩陣的特征多項(xiàng)式。稱為矩陣的特征( )fAA0A A方程。1.21.2 特征值與特征向量的性質(zhì)特征值與特征向量的性質(zhì)1）如果 都是特征值 所對應(yīng)的特征向量，則 的線性組合 12，i12，1 122k ak a（非 0 時(shí)）仍是屬于 的特征向量。i（注：該性質(zhì)說明的特征向量不是唯一的，但反過來，一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)i特征值。 ）2）屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的，并且當(dāng)時(shí)矩陣的 k 重特征值時(shí)，矩iA陣屬于的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)不超過 k 個(gè)。Ai（注：因 A 只有 n 個(gè)特征值，故 A 的特征向量雖有無窮多個(gè)，但線性無關(guān)的至多有 n個(gè)，并且若 是矩陣 A 的不同特征值， 分別為的特征向量，則 與12, 12, 12, 1 的線性組合不再是 A 的特征向量。 ）21 122k ak a3）特征值的和等于矩陣主對角線上元素之和，特征值的乘積等于矩陣 A 行列式的值，即 111,nnniiiiiiiaA4）n 階矩陣 A 和他的轉(zhuǎn)置矩陣 有相同的特征值。A5）n 階矩陣 A 可逆的充分必要條件是，他的任一特征值均不等于零。46）若 是矩陣 A 的特征值，則對任何正整數(shù) k, 是 的特征值。kkA2 矩陣的特征值和特征向量的求法矩陣的特征值和特征向量的求法2.12.1 具體的數(shù)字矩陣具體的數(shù)字矩陣對于具體的數(shù)字矩陣的步驟如下：1）先有具體的特征方程 求出矩陣 A 的全部特征值 0A i（i=1,2,3,、 、 、n,）,其中可能有重根，2）對每個(gè)不同的特征值，分別解齊次方程組 ，i(A)x0i3）求出方程組的基礎(chǔ)解析（注：設(shè) ，基礎(chǔ)解析為 、 、 、 ，則矩陣 A 屬于特征值的()iirrA 12, ,in ri全部特征向量為 （其中 ， 是不全為零1 122n+,iin rrkkk、12,k kin rk的任意常數(shù)。 ）例 1，求矩陣 的特征值和特征向量？324262423A 解：本題可以由特征方程，即0A 22324724262062423723(7)(514)(7) (2)A 當(dāng) 時(shí)， 得 74242127212000 ,424000A 12112,0;01當(dāng) 時(shí)， 得 2 5241412282021 ,425000 A 321 ,2 當(dāng)所以 A 的特征值是 相應(yīng)的特征向量分別是1237,2, 其中 112233,kkk123(k ,k )(0,0),k0.2.22.2 抽象的矩陣抽象的矩陣抽象矩陣，要根據(jù)特征值與特征向量的定義及性質(zhì)推導(dǎo)出特征值的取值。5例 2，設(shè) A 是 3 階矩陣， 是 3 維線性無關(guān)的列向量，且123, 1123212333,435,0AAA求矩陣 A 的特征值和特征向量。解：由 知 是 A 的特征值， 是的特征向量。3300,A030由已知條件，有 123123123123(,)(3,435,0)140=-1-30 ,350 A（，）記 由線性無關(guān)，知矩陣 P 可逆，123(,), 123, 其中 140130 ,350 因?yàn)橄嗨凭仃囉邢嗤奶卣髦担仃?B 的特征多項(xiàng)式 2140130(1) ,35 所以矩陣 A 的特征值是-1，-1,0.對于矩陣 B， 240120120011 .351000 所以矩陣 B 關(guān)于特征值 的特征向量是 =-1=-（2, 1, 1）。若 即 那么矩陣 A 關(guān)于特征值的特征向量是= ，= A（），=-1 123123-2=1=-2+1（，）。因此， 分別是矩陣 A 關(guān)于特征值和 的特征1k12323( 2),k=-10向量， （ ） 。120k k 62.32.3 相似矩陣相似矩陣定義 1：設(shè) A，B 是 n 階矩陣，如存在可逆矩陣 P，使 則矩陣 A 與 B 相似，記, A A:利用特征值和特征向量解決矩陣的相似對角化，其解題步驟：第一歩，先求出矩陣 A 的特征值 ：12,n 第二步，再求出所對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量 12,.n 第三歩，構(gòu)造可逆矩陣 P =（） ，則 12,.n 12=.n A例 1，已知 求可逆矩陣 P，使得 110220 ,213A . A 解：由 21 101 1220(3)22213(3)0 A 得矩陣 A 的特征值 1233,0.當(dāng) 時(shí)，對 3210210(3)0,3210000 ,210000AA 的特征向量 12(1, 2,0) ,(0,0,1).當(dāng) 時(shí)，對 0120110(0)0,0220000 ,213000AA 得特征向量 3( 1, 1,3) . 那么，令 有 123101(,)201 ,011 33.0 A 72.42.4 實(shí)對稱矩陣實(shí)對稱矩陣實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)（1） ，實(shí)對稱矩陣的必可對角化；（2） ，特征值全部是實(shí)數(shù)；（3） ，不同特征值得特征向量相互正交；（4） ， 重特征值必有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，或者說必有秩 inin()n n .irA 解題實(shí)對稱矩陣的一般步驟：第一步，當(dāng) A 的特征值互不相同時(shí)，僅需把特征向量單位化就可用來構(gòu)造矩陣 P；第二步，當(dāng)特征根有重根 時(shí)，要檢查特征向量是否正交，否則必須對的特征向ii量用 Schmidt 正交化處理，才能構(gòu)造出正交矩陣 P。例 2：設(shè)矩陣 的特征值有重根，試求正交矩陣 Q，使 為對角形。12224242aA Q AQ解：A 的特征多項(xiàng)式 12212224242422202aaA 232232104(2)10002(2)(3a)(3a20) ,aa由于判別式 沒有實(shí)數(shù)根，即24(320)0a（3-a） 所以只能 是重根。于是22(3)(3a20)(k) ,a2 必有 的因式，2(3a)(3a20)2因此由 得 a=-2.222(3a)(3a20)0,對于 由 即 2,(2)x0,A122122244000244000，得到線性無關(guān)的特征向量 用 Schmidt 正交化方12=,(2,0,1) .（-2, 1, 0）法，現(xiàn)正交化，有8 2111221112222(,)411,014 ,(,)550105 再將 單位化，得12, 12121222111,4 .53 505 對于 由 即 7, ( 7)x0, A8222-5-4254011.245000得特征向量 單位化為 3(1,2, 2),31(1,2, 2) .3那么，令 即有 12322135 3 5142( ,),353 552033 5Q 12QQ=Q AQ=2.7A3 特征值和特征向量在生活中的應(yīng)用特征值和特征向量在生活中的應(yīng)用矩陣的特征值和特征向量理論在經(jīng)濟(jì)分析、信息科學(xué)、生命科學(xué)和環(huán)境保護(hù)等領(lǐng)域都有著廣泛而重要的應(yīng)用.結(jié)合數(shù)學(xué)模型來研究經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型，萊斯利（Leslie）種群模型這兩種模型，還有很多相關(guān)的生活實(shí)例，在本文中著重介紹經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型和萊斯利（Leslie）種群模型這兩種模型。3.13.1 經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染是當(dāng)今世界亟待解決的兩個(gè)突出問題.黨的十八大也做出了重要的決策。為研究某地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染之間的關(guān)系，可以建立如下數(shù)學(xué)模型：設(shè)分別為某一地區(qū)目前的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平與環(huán)境污染水平，分別為該地00, yx11, yx9區(qū)若干年后的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平和環(huán)境污染水平，且有如下關(guān)系：令則上述關(guān)系的矩陣形式為 該式反映了該地區(qū)目前和若干年后的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平和環(huán)境污染水平之間的關(guān)系.如 則由上式可得由此可以預(yù)測該地區(qū)若干年后的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平和環(huán)境污染水平. 一般地，若令分別為該地區(qū) t 年后的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平與環(huán)境污染水平，則經(jīng)濟(jì)發(fā)展ttyx ,與環(huán)境污染的增長模型為令則上述關(guān)系的矩陣形式為由此，有由此可預(yù)測該地區(qū) t 年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平.下面可以作出進(jìn)一步地相關(guān)討論： 由矩陣 A 的特征多項(xiàng)式 001001223yxyyxx111000,yxyx2213A.01A11000yx001411444112213 A),2, 1(2231111ktyxyyxxtttttttttyxktAtt, 2, 1,1.)(,010323021201tttAAAAAAA) 1)(4(2213|AE10得A 的特征值為對度 ，解方程得特征向量410)4(XAE對，解方程得特征向量110)(XAE顯然, 線性無關(guān)21,下面分三種情況分析： Case 1 一個(gè)性質(zhì):若是矩陣 A 的屬于特征值的特征向,則也是的屬于特征值的特征向kAk量度 (*)由(*)及特征值與特征向量的性質(zhì)知， 即 或 此式表明：在當(dāng)前的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平 的前提下，t 年后，當(dāng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平達(dá)到較高程度時(shí)，環(huán)境污染也保持著同步惡化趨勢. 不討論此種情況020y不是特征值, 不能類似分析。但是可以由唯一線性表出來0021，210231, 42111121211101141110tttttAA114tttyxtttyx421220Case7130Case11由(*)及特征值與特征向量的性質(zhì)即 由此可預(yù)測該地區(qū)年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平. 因無實(shí)際意義而在 Case 2 中未作討論，但在 Case3 的討論中仍起到了重要作用. 由經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型易見，特征值和特征向量理論在模型的分析和研究中成功的被應(yīng)用. 3.23.2 萊斯利（萊斯利（LeslieLeslie）種群模型）種群模型 萊斯利種群模型研究動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布與數(shù)量增長之間的關(guān)系。 設(shè)某一動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的最大生存年齡為L(單位：年） ，將區(qū)間0,L作n等分得n個(gè)年齡組每個(gè)年齡組的長度為 設(shè)第i個(gè)年齡組 的生育率（即每一雌性動(dòng)物平均生育的雌性幼體的數(shù)目）為i，存活率（即第i個(gè)年齡組中可存活到第i+1 個(gè)年齡組的雌性動(dòng)物的數(shù)目與第i 個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的總數(shù)之比）為bi 。 令 ,221121210443243211211432323)23 (tttttttttttAAAA,443243ttttyx, 243ttx443tty2,1LniLni , 2 , 1ni.nL,1LniLni)0()0(2)0(1)0(nxxxX12即為初始時(shí)刻該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布向量。取 設(shè)在時(shí)刻tk該動(dòng)物種群的第i個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的數(shù)目為 令則X(k)即為時(shí)刻tk該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布向量.顯然，隨著時(shí)間的變化，該動(dòng)物種群的各年齡組中雌性動(dòng)物的數(shù)目會(huì)發(fā)生變化. 易知，時(shí)刻tk該動(dòng)物種群的第一個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的數(shù)目等于在時(shí)段tk-1,tk內(nèi)各年齡組中雌性動(dòng)物生育的雌性幼體的數(shù)目之和，即 （2.1） 又tk時(shí)刻該動(dòng)物種群的第i+1 個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的數(shù)目等于tk-1 時(shí)刻第i個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的存活量，即 （2.2） 聯(lián)立（2.1）和（2.2）得（2.3） 即 （2.4） )0(X, Lnktk, 2 , 1k,)(kixni, 2 , 1,2, 1k,)()(2)(1)(knkkkxxxX) 1() 1(22) 1(11) 1(2) 1(21) 1(1)(1knnkknknkkkxaxaxaaxaxaxx,)1()1()(1kiiikikixbbxx1, 2 , 1ni1, 2 , 1,) 1()(1) 1() 1(22) 1(11)(1nixbxxaxaxaxkiikiknnkkk) 1(11)() 1(22)(3) 1(11)(2) 1() 1(11) 1(22) 1(11)(1knnknkkkkknnknnkkkxbxxbxxbxxaxaxaxax13令萊斯利矩陣 則（2.4）即為 于是（2.6） 由此，若已知初始時(shí)刻該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布向量X(0)，則可計(jì)算出tk 時(shí)刻該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布向量X(k)，從而對該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的數(shù)量作出科學(xué)的預(yù)測和分析. 例例 3 31 1 設(shè)某動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的最大生存年齡為 15 年，且以 5 年為間隔將雌性動(dòng)物分為 3 個(gè)年齡組0,5,5,10,10,15.由統(tǒng)計(jì)資料知，3 個(gè)年齡組的雌性動(dòng)物的生育率分別為 0，4，3，存活率分別為 0.5，0.25，0，初始時(shí)刻 3 個(gè)年齡組的雌性動(dòng)物的數(shù)目分別為 500，1000，500.試?yán)萌R斯利種群模型對該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布和數(shù)量增長的規(guī)律進(jìn)行分析. 解： 由（2.6）得 000000000121121nnnbbbaaaaL,) 1()(kkLXX, 2 , 1k.,)0()1()()0(3)2()3()0(2)1()2()0()1(XLLXXXLLXXXLLXXLXXkkk, 3,15nL, 3, 4, 0321aaa.25. 0, 5 . 021bb,5001000500)0(X025. 00005 . 0340L25025055005001000500025. 00005 . 0340)0()1(LXX5 .62275017502502505500025. 00005 . 0340)1()2(LXX14 下面求 由矩陣L的特征多項(xiàng)式 得L的特征值為由矩陣L可相似對角化. )0()1()(XLLXXkkk.kL)4123)(23(25. 0005 . 034|2LE453,453,23321得特征向量，解方程組對0)23(231XLE1813111特征向量得，解方程組對0)453(4532XLE535614516362特征向量得，解方程組對0)453(4533XLE15令矩陣 則P可逆，且 于是 從而 5356145163635353181561456143151636516361),(321P3211LPP1321PPL)0(1321)0()(XPPXLXkkk)0(112121)0(1321)0(1321)()(1XPPXPPXPPkkkkkkk16 兩邊取極限得 50010005005353181561456143151636516361)()(1112121kkkP500100050038051172557605953805815380511725576059538058151981927199)()(112121kkkP19529006125195250058751927500)()(112121kkkP19529006125195250058751927500)()(111212)(1kkkkPX19529006125195250058751927500)()(1lim1lim1212)(1kkkkkkPX17于是，當(dāng)k充分大時(shí)， 由此式知，在初始狀態(tài)下，經(jīng)過充分長的時(shí)間后，該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布將趨于穩(wěn)定，即 3 個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的數(shù)目之比為 且時(shí)刻該動(dòng)物種群的 3 個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的數(shù)目分別為19529006125195250058751927500)()(1lim1212kkkP.1927500001927500),(001927500) 1, 1(1952900612519525005875192750000133211212PP181311)23(192750019275001927500111)(1)(1kkkkkXX,181:31:118且其總和為參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn)1 王萼芳,石生明.高等代數(shù)M.北京:高等教育出版社,2003.2 湯正華.關(guān)于矩陣的特征值與特征向量的探究J.山東行政學(xué)院山東省經(jīng)濟(jì)管理干部學(xué)院學(xué)報(bào)，2008， （91）:4648.3 向以華.矩陣的特征值與特征向量的研究J.重慶三峽學(xué)院學(xué)報(bào)，2009,25（117）：135138.4 吳春生.淺議線性變換與矩陣的特征值與特征向量的關(guān)系J.連云港師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2004,（4）：7576.5 何翼.求矩陣特征值與特征向量的新方法J.銅仁學(xué)院學(xué)報(bào)，2009,11（3）：139140.6 楊廷俊.矩陣特征值與特征向量的同步求解法J.甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版） ，2006,20（3）：2022.7 李延敏.關(guān)于矩陣的特征值與特征向量同步求解問題J.大學(xué)數(shù)學(xué)，2004,20（4）：9295.8 姚幕生.高等代數(shù)M.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,20029邵麗麗.矩陣的特征值和特征向量的應(yīng)用研究J.菏澤學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，（5）：2023.10奚傳志.矩陣特征值與特征向量在遞推關(guān)系上的應(yīng)用J.棗莊師專學(xué)報(bào)，1991,（2）：263011郭華，劉小明.特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中的作用J.渝州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2000,17（2）：7275.12同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.線性代數(shù)（第二版）M.北京：高等教育出版社.1993,11513713矩陣的特征值、特征向量和應(yīng)用J.臨沂師專學(xué)報(bào)，1994，（5）：17.,)23(1927500k,)23(5727500k.)23(34227500k.)23(171343750k19英文摘要Applications of eigenvalue and eigenvectorAbstract: Characteristic value and characteristic vector in higher algebra is an important part of, and in the theory and the learning and real life, especially in the modern science and technology has a very important role. This article mainly discusses and summarizes the properties of eigenvalues and eigenvectors, through examples show the superiority of eigenvalue and eigenvector and convenience, eigenvalues and eigenvectors and their applications has very important value.Text has divided into three parts, the first part, the concept of eigenvalue and eigenvector, properties of fully summarized. This is in order to better use of the definition and properties to solve the related matrix of the problem; The second part, is concrete matrix to classification, according to the type of matrix and characteristic value and characteristic vector matching and the properties of concrete problem solving and a related example. The third part, it is name eigenvalue and eigenvector in the concrete facts of life, to show his application.Characteristic value and characteristic vector has a wide range of USES, this paper only on characteristic value and characteristic vector concept, properties, application in mathematical matrix and life carries on the brief research conclusion.Keywords: characteristic value of characteristic vector matrix 河北師范大學(xué)匯華學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）評議書姓 名學(xué)部信息工程專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年級（班） 2009 級 1班論 文 題 目特征值與特征向量的應(yīng)用完成時(shí)間4 月 26 日論文內(nèi)容摘要 本篇論文，通過對特征值和特征向量的基礎(chǔ)性闡述，應(yīng)用到矩陣的解題實(shí)例中，最后進(jìn)行對生活中應(yīng)用的論證。而且特征值與特征向量是高等代數(shù)中一個(gè)重要的部分，并在理論和學(xué)習(xí)及實(shí)際生活，特別是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)方面都有很重要的作用.本文主要討論并歸納了特征值與特征向量的性質(zhì)，通過實(shí)例展現(xiàn)特征值與特征向量的優(yōu)越性與便捷性，探討特征值與特征向量及其應(yīng)用有著非常重要的價(jià)值.正文共劃分為三個(gè)大部分，第一部分，是對特征值與特征向量概念、性質(zhì)的充分總結(jié)。這是為了更好的利用定義和性質(zhì)來解決相關(guān)的矩陣習(xí)題；第二部分，是具體的將矩陣分類，按照矩陣的類型與特征值和特征向量的性質(zhì)進(jìn)行匹配，具體的解決問題并有相關(guān)的例題。第三部分，是舉出特征值與特征向量在生活的具體事例，來展示他的應(yīng)用性。特征值與特征向量還有很廣泛的用途，本文只是對特征值與特征向量概念、性質(zhì)，在數(shù)學(xué)矩陣與生活中的應(yīng)用進(jìn)行簡短的研究歸納?？傮w的思路很明確，有最基礎(chǔ)的知識，到相關(guān)書本上的應(yīng)用，最后來闡述在生活中現(xiàn)有的實(shí)例，來證明特征值與特征向量的重要性。指導(dǎo)教師評語年 月 日指 導(dǎo) 教 師職稱初評成績姓名職稱教研室組長麻常利教授代數(shù)李玉成副教授分析劉淑霞講師代數(shù)蘭文華副教授離散答辯小組成員答辯記錄：記錄人簽字： 年 月 日答辯小組意見：組長簽字： 年 月 日學(xué)院意見： 評定成績： 簽章 年 月 日