中考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編 考點(diǎn)25 矩形(含解析).doc
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中考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編 考點(diǎn)25 矩形(含解析).doc
xx中考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編:考點(diǎn)25 矩形
一.選擇題(共6小題)
1.(xx?遵義)如圖,點(diǎn)P是矩形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作EF∥BC,分別交AB,CD于E、F,連接PB、PD.若AE=2,PF=8.則圖中陰影部分的面積為( ?。?
A.10 B.12 C.16 D.18
【分析】想辦法證明S△PEB=S△PFD解答即可.
【解答】解:作PM⊥AD于M,交BC于N.
則有四邊形AEPM,四邊形DFPM,四邊形CFPN,四邊形BEPN都是矩形,
∴S△ADC=S△ABC,S△AMP=S△AEP,S△PBE=S△PBN,S△PFD=S△PDM,S△PFC=S△PCN,
∴S△DFP=S△PBE=28=8,
∴S陰=8+8=16,
故選:C.
2.(xx?棗莊)如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn),AE⊥BD,垂足為F,則tan∠BDE的值是( ?。?
A. B. C. D.
【分析】證明△BEF∽△DAF,得出EF=AF,EF=AE,由矩形的對(duì)稱(chēng)性得:AE=DE,得出EF=DE,設(shè)EF=x,則DE=3x,由勾股定理求出DF==2x,再由三角函數(shù)定義即可得出答案.
【解答】解:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn),
∴BE=BC=AD,
∴△BEF∽△DAF,
∴=,
∴EF=AF,
∴EF=AE,
∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn),
∴由矩形的對(duì)稱(chēng)性得:AE=DE,
∴EF=DE,設(shè)EF=x,則DE=3x,
∴DF==2x,
∴tan∠BDE===;
故選:A.
3.(xx?威海)矩形ABCD與CEFG,如圖放置,點(diǎn)B,C,E共線,點(diǎn)C,D,G共線,連接AF,取AF的中點(diǎn)H,連接GH.若BC=EF=2,CD=CE=1,則GH=( ?。?
A.1 B. C. D.
【分析】延長(zhǎng)GH交AD于點(diǎn)P,先證△APH≌△FGH得AP=GF=1,GH=PH=PG,再利用勾股定理求得PG=,從而得出答案.
【解答】解:如圖,延長(zhǎng)GH交AD于點(diǎn)P,
∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都是矩形,
∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90,AD=BC=2、GF=CE=1,
∴AD∥GF,
∴∠GFH=∠PAH,
又∵H是AF的中點(diǎn),
∴AH=FH,
在△APH和△FGH中,
∵,
∴△APH≌△FGH(ASA),
∴AP=GF=1,GH=PH=PG,
∴PD=AD﹣AP=1,
∵CG=2、CD=1,
∴DG=1,
則GH=PG==,
故選:C.
4.(xx?杭州)如圖,已知點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)(不含邊界),設(shè)∠PAD=θ1,∠PBA=θ2,∠PCB=θ3,∠PDC=θ4,若∠APB=80,∠CPD=50,則( ?。?
A.(θ1+θ4)﹣(θ2+θ3)=30 B.(θ2+θ4)﹣(θ1+θ3)=40
C.(θ1+θ2)﹣(θ3+θ4)=70 D.(θ1+θ2)+(θ3+θ4)=180
【分析】依據(jù)矩形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理,可得∠ABC=θ2+80﹣θ1,∠BCD=θ3+130﹣θ4,再根據(jù)矩形ABCD中,∠ABC+∠BCD=180,即可得到(θ1+θ4)﹣(θ2+θ3)=30.
【解答】解:∵AD∥BC,∠APB=80,
∴∠CBP=∠APB﹣∠DAP=80﹣θ1,
∴∠ABC=θ2+80﹣θ1,
又∵△CDP中,∠DCP=180﹣∠CPD﹣∠CDP=130﹣θ4,
∴∠BCD=θ3+130﹣θ4,
又∵矩形ABCD中,∠ABC+∠BCD=180,
∴θ2+80﹣θ1+θ3+130﹣θ4=180,
即(θ1+θ4)﹣(θ2+θ3)=30,
故選:A.
5.(xx?聊城)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的兩邊OA,OC分別在x軸和y軸上,并且OA=5,OC=3.若把矩形OABC繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)A恰好落在BC邊上的A1處,則點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1的坐標(biāo)為( ?。?
A.(﹣,) B.(﹣,) C.(﹣,) D.(﹣,)
【分析】直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出△ONC1三邊關(guān)系,再利用勾股定理得出答案.
【解答】解:過(guò)點(diǎn)C1作C1N⊥x軸于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)A1作A1M⊥x軸于點(diǎn)M,
由題意可得:∠C1NO=∠A1MO=90,
∠1=∠2=∠3,
則△A1OM∽△OC1N,
∵OA=5,OC=3,
∴OA1=5,A1M=3,
∴OM=4,
∴設(shè)NO=3x,則NC1=4x,OC1=3,
則(3x)2+(4x)2=9,
解得:x=(負(fù)數(shù)舍去),
則NO=,NC1=,
故點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1的坐標(biāo)為:(﹣,).
故選:A.
6.(xx?上海)已知平行四邊形ABCD,下列條件中,不能判定這個(gè)平行四邊形為矩形的是( ?。?
A.∠A=∠B B.∠A=∠C C.AC=BD D.AB⊥BC
【分析】由矩形的判定方法即可得出答案.
【解答】解:A、∠A=∠B,∠A+∠B=180,所以∠A=∠B=90,可以判定這個(gè)平行四邊形為矩形,正確;
B、∠A=∠C不能判定這個(gè)平行四邊形為矩形,錯(cuò)誤;
C、AC=BD,對(duì)角線相等,可推出平行四邊形ABCD是矩形,故正確;
D、AB⊥BC,所以∠B=90,可以判定這個(gè)平行四邊形為矩形,正確;
故選:B.
二.填空題(共6小題)
7.(xx?金華)如圖2,小靚用七巧板拼成一幅裝飾圖,放入長(zhǎng)方形ABCD內(nèi),裝飾圖中的三角形頂點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊AB,BC上,三角形①的邊GD在邊AD上,則的值是 ?。?
【分析】設(shè)七巧板的邊長(zhǎng)為x,根據(jù)正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)分別表示出AB,BC,進(jìn)一步求出的值.
【解答】解:設(shè)七巧板的邊長(zhǎng)為x,則
AB=x+x,
BC=x+x+x=2x,
==.
故答案為:.
8.(xx?達(dá)州)如圖,平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)A(﹣6,0),C(0,2).將矩形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),使點(diǎn)A恰好落在OB上的點(diǎn)A1處,則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)為?。ī?,6)?。?
【分析】連接OB1,作B1H⊥OA于H,證明△AOB≌△HB1O,得到B1H=OA=6,OH=AB=2,得到答案.
【解答】解:連接OB1,作B1H⊥OA于H,
由題意得,OA=6,AB=OC﹣2,
則tan∠BOA==,
∴∠BOA=30,
∴∠OBA=60,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,∠B1OB=∠BOA=30,
∴∴∠B1OH=60,
在△AOB和△HB1O,
,
∴△AOB≌△HB1O,
∴B1H=OA=6,OH=AB=2,
∴點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(﹣2,6),
故答案為:(﹣2,6).
9.(xx?上海)對(duì)于一個(gè)位置確定的圖形,如果它的所有點(diǎn)都在一個(gè)水平放置的矩形內(nèi)部或邊上,且該圖形與矩形的每條邊都至少有一個(gè)公共點(diǎn)(如圖1),那么這個(gè)矩形水平方向的邊長(zhǎng)稱(chēng)為該圖形的寬,鉛錘方向的邊長(zhǎng)稱(chēng)為該矩形的高.如圖2,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1,邊AB水平放置.如果該菱形的高是寬的,那么它的寬的值是 ?。?
【分析】先根據(jù)要求畫(huà)圖,設(shè)矩形的寬AF=x,則CF=x,根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論.
【解答】解:在菱形上建立如圖所示的矩形EAFC,
設(shè)AF=x,則CF=x,
在Rt△CBF中,CB=1,BF=x﹣1,
由勾股定理得:BC2=BF2+CF2,
,
解得:x=或0(舍),
即它的寬的值是,
故答案為:.
10.(xx?連云港)如圖,E、F,G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),連接AC、HE、EC,GA,GF.已知AG⊥GF,AC=,則AB的長(zhǎng)為 2?。?
【分析】如圖,連接BD.由△ADG∽△GCF,設(shè)CF=BF=a,CG=DG=b,可得=,推出=,可得b=a,在Rt△GCF中,利用勾股定理求出b,即可解決問(wèn)題;
【解答】解:如圖,連接BD.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠ADC=∠DCB=90,AC=BD=,
∵CG=DG,CF=FB,
∴GF=BD=,
∵AG⊥FG,
∴∠AGF=90,
∴∠DAG+∠AGD=90,∠AGD+∠CGF=90,
∴∠DAG=∠CGF,
∴△ADG∽△GCF,設(shè)CF=BF=a,CG=DG=b,
∴=,
∴=,
∴b2=2a2,
∵a>0.b>0,
∴b=a,
在Rt△GCF中,3a2=,
∴a=,
∴AB=2b=2.
故答案為2.
11.(xx?株洲)如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交點(diǎn)O,AC=10,P、Q分別為AO、AD的中點(diǎn),則PQ的長(zhǎng)度為 2.5 .
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AC=BD=10,BO=DO=BD=5,再根據(jù)三角形中位線定理可得PQ=DO=2.5.
【解答】解:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AC=BD=10,BO=DO=BD,
∴OD=BD=5,
∵點(diǎn)P、Q是AO,AD的中點(diǎn),
∴PQ是△AOD的中位線,
∴PQ=DO=2.5.
故答案為:2.5.
12.(xx?嘉興)如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,點(diǎn)E在CD上,DE=1,點(diǎn)F是邊AB上一動(dòng)點(diǎn),以EF為斜邊作Rt△EFP.若點(diǎn)P在矩形ABCD的邊上,且這樣的直角三角形恰好有兩個(gè),則AF的值是 0或1<AF或4?。?
【分析】先根據(jù)圓周角定理確定點(diǎn)P在以EF為直徑的圓O上,且是與矩形ABCD的交點(diǎn),先確定特殊點(diǎn)時(shí)AF的長(zhǎng),當(dāng)F與A和B重合時(shí),都有兩個(gè)直角三角形.符合條件,即AF=0或4,再找⊙O與AD和BC相切時(shí)AF的長(zhǎng),此時(shí)⊙O與矩形邊各有一個(gè)交點(diǎn)或三個(gè)交點(diǎn),在之間運(yùn)動(dòng)過(guò)程中符合條件,確定AF的取值.
【解答】解:∵△EFP是直角三角形,且點(diǎn)P在矩形ABCD的邊上,
∴P是以EF為直徑的圓O與矩形ABCD的交點(diǎn),
①當(dāng)AF=0時(shí),如圖1,此時(shí)點(diǎn)P有兩個(gè),一個(gè)與D重合,一個(gè)交在邊AB上;
②當(dāng)⊙O與AD相切時(shí),設(shè)與AD邊的切點(diǎn)為P,如圖2,
此時(shí)△EFP是直角三角形,點(diǎn)P只有一個(gè),
當(dāng)⊙O與BC相切時(shí),如圖4,連接OP,此時(shí)構(gòu)成三個(gè)直角三角形,
則OP⊥BC,設(shè)AF=x,則BF=P1C=4﹣x,EP1=x﹣1,
∵OP∥EC,OE=OF,
∴OG=EP1=,
∴⊙O的半徑為:OF=OP=,
在Rt△OGF中,由勾股定理得:OF2=OG2+GF2,
∴,
解得:x=,
∴當(dāng)1<AF<時(shí),這樣的直角三角形恰好有兩個(gè),
③當(dāng)AF=4,即F與B重合時(shí),這樣的直角三角形恰好有兩個(gè),如圖5,
綜上所述,則AF的值是:0或1<AF或4.
故答案為:0或1<AF或4.
三.解答題(共5小題)
13.(xx?張家界)在矩形ABCD中,點(diǎn)E在BC上,AE=AD,DF⊥AE,垂足為F.
(1)求證.DF=AB;
(2)若∠FDC=30,且AB=4,求AD.
【分析】(1)利用“AAS”證△ADF≌△EAB即可得;
(2)由∠ADF+∠FDC=90、∠DAF+∠ADF=90得∠FDC=∠DAF=30,據(jù)此知AD=2DF,根據(jù)DF=AB可得答案.
【解答】證明:(1)在矩形ABCD中,∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠DAF,
又∵DF⊥AE,
∴∠DFA=90,
∴∠DFA=∠B,
又∵AD=EA,
∴△ADF≌△EAB,
∴DF=AB.
(2)∵∠ADF+∠FDC=90,∠DAF+∠ADF=90,
∴∠FDC=∠DAF=30,
∴AD=2DF,
∵DF=AB,
∴AD=2AB=8.
14.(xx?連云港)如圖,矩形ABCD中,E是AD的中點(diǎn),延長(zhǎng)CE,BA交于點(diǎn)F,連接AC,DF.
(1)求證:四邊形ACDF是平行四邊形;
(2)當(dāng)CF平分∠BCD時(shí),寫(xiě)出BC與CD的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
【分析】(1)利用矩形的性質(zhì),即可判定△FAE≌△CDE,即可得到CD=FA,再根據(jù)CD∥AF,即可得出四邊形ACDF是平行四邊形;
(2)先判定△CDE是等腰直角三角形,可得CD=DE,再根據(jù)E是AD的中點(diǎn),可得AD=2CD,依據(jù)AD=BC,即可得到BC=2CD.
【解答】解:(1)∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,
∴∠FAE=∠CDE,
∵E是AD的中點(diǎn),
∴AE=DE,
又∵∠FEA=∠CED,
∴△FAE≌△CDE,
∴CD=FA,
又∵CD∥AF,
∴四邊形ACDF是平行四邊形;
(2)BC=2CD.
證明:∵CF平分∠BCD,
∴∠DCE=45,
∵∠CDE=90,
∴△CDE是等腰直角三角形,
∴CD=DE,
∵E是AD的中點(diǎn),
∴AD=2CD,
∵AD=BC,
∴BC=2CD.
15.如圖,在矩形ABCD中,E是AB的中點(diǎn),連接DE、CE.
(1)求證:△ADE≌△BCE;
(2)若AB=6,AD=4,求△CDE的周長(zhǎng).
【分析】(1)由全等三角形的判定定理SAS證得結(jié)論;
(2)由(1)中全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等和勾股定理求得線段DE的長(zhǎng)度,結(jié)合三角形的周長(zhǎng)公式解答.
【解答】(1)證明:在矩形ABCD中,AD=BC,∠A=∠B=90.
∵E是AB的中點(diǎn),
∴AE=BE.
在△ADE與△BCE中,
,
∴△ADE≌△BCE(SAS);
(2)由(1)知:△ADE≌△BCE,則DE=EC.
在直角△ADE中,AE=4,AE=AB=3,
由勾股定理知,DE===5,
∴△CDE的周長(zhǎng)=2DE+AD=2DE+AB=25+6=16.
16.(xx?沈陽(yáng))如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O.過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線,過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線,兩直線相交于點(diǎn)E.
(1)求證:四邊形OCED是矩形;
(2)若CE=1,DE=2,ABCD的面積是 4?。?
【分析】(1)欲證明四邊形OCED是矩形,只需推知四邊形OCED是平行四邊形,且有一內(nèi)角為90度即可;
(2)由菱形的對(duì)角線互相垂直平分和菱形的面積公式解答.
【解答】(1)證明:∵四邊形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴∠COD=90.
∵CE∥OD,DE∥OC,
∴四邊形OCED是平行四邊形,
又∠COD=90,
∴平行四邊形OCED是矩形;
(2)由(1)知,平行四邊形OCED是矩形,則CE=OD=1,DE=OC=2.
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AC=2OC=4,BD=2OD=2,
∴菱形ABCD的面積為: AC?BD=42=4.
故答案是:4.
17.(xx?玉林)如圖,在?ABCD中,DC>AD,四個(gè)角的平分線AE,DE,BF,CF的交點(diǎn)分別是E,F(xiàn),過(guò)點(diǎn)E,F(xiàn)分別作DC與AB間的垂線MM與NN,在DC與AB上的垂足分別是M,N與M′,N′,連接EF.
(1)求證:四邊形EFNM是矩形;
(2)已知:AE=4,DE=3,DC=9,求EF的長(zhǎng).
【分析】(1)要說(shuō)明四邊形EFNM是矩形,有ME⊥CD.FN⊥CD條件,還缺ME=FN.過(guò)點(diǎn)E、F分別作AD、BC的垂線,垂足分別是G、H.利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可得結(jié)論.
(2)利用平行四邊形的性質(zhì),證明直角△DEA,并求出AD的長(zhǎng).利用全等證明△GEA≌△CNF,△DME≌△DGE從而得到DM=DG,AG=CN,再利用線段的和差關(guān)系,求出MN的長(zhǎng)得結(jié)論.
【解答】解:(1)證明:過(guò)點(diǎn)E、F分別作AD、BC的垂線,垂足分別是G、H.
∵∠3=∠4,∠1=∠2,EG⊥AD,EM⊥CD,EM′⊥AB
∴EG=ME,EG=EM′
∴EG=ME=ME′=MM′
同理可證:FH=NF=N′F=NN′
∵CD∥AB,MM′⊥CD,NN′⊥CD,
∴MM′=NN′
∴ME=NF=EG=FH
又∵M(jìn)M′∥NN′,MM′⊥CD
∴四邊形EFNM是矩形.
(2)∵DC∥AB,
∴∠CDA+∠DAB=180,
∵,∠2=∠DAB
∴∠3+∠2=90
在Rt△DEA,∵AE=4,DE=3,
∴AB==5.
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴∠DAB=∠DCB,
又∵∠2=∠DAB,∠5=∠DCB,
∴∠2=∠5
由(1)知GE=NF
在Rt△GEA和Rt△CNF中
∴△GEA≌△CNF
∴AG=CN
在Rt△DME和Rt△DGE中
∵DE=DE,ME=EG
∴△DME≌△DGE
∴DG=DM
∴DM+CN=DG+AG=AB=5
∴MN=CD﹣DM﹣CN=9﹣5=4.
∵四邊形EFNM是矩形.
∴EF=MN=4