中考數(shù)學(xué)試題分類匯編 考點(diǎn)36 相似三角形（含解析）.doc

xx中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：考點(diǎn)36 相似三角形一選擇題（共28小題）1（xx重慶）制作一塊3m2m長方形廣告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情況下，若將此廣告牌的四邊都擴(kuò)大為原來的3倍，那么擴(kuò)大后長方形廣告牌的成本是（）A360元B720元C1080元D2160元【分析】根據(jù)題意求出長方形廣告牌每平方米的成本，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求出擴(kuò)大后長方形廣告牌的面積，計算即可【解答】解：3m2m=6m2，長方形廣告牌的成本是1206=20元/m2，將此廣告牌的四邊都擴(kuò)大為原來的3倍，則面積擴(kuò)大為原來的9倍，擴(kuò)大后長方形廣告牌的面積=96=54m2，擴(kuò)大后長方形廣告牌的成本是5420=1080m2，故選：C2（xx玉林）兩三角形的相似比是2：3，則其面積之比是（）A：B2：3C4：9D8：27【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計算即可【解答】解：兩三角形的相似比是2：3，其面積之比是4：9，故選：C3（xx重慶）要制作兩個形狀相同的三角形框架，其中一個三角形的三邊長分別為5cm，6cm和9cm，另一個三角形的最短邊長為2.5cm，則它的最長邊為（）A3cmB4cmC4.5cmD5cm【分析】根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求解可得【解答】解：設(shè)另一個三角形的最長邊長為xcm，根據(jù)題意，得： =，解得：x=4.5，即另一個三角形的最長邊長為4.5cm，故選：C4（xx內(nèi)江）已知ABC與A1B1C1相似，且相似比為1：3，則ABC與A1B1C1的面積比為（）A1：1B1：3C1：6D1：9【分析】利用相似三角形面積之比等于相似比的平方，求出即可【解答】解：已知ABC與A1B1C1相似，且相似比為1：3，則ABC與A1B1C1的面積比為1：9，故選：D5（xx銅仁市）已知ABCDEF，相似比為2，且ABC的面積為16，則DEF的面積為（）A32B8C4D16【分析】由ABCDEF，相似比為2，根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方，即可得ABC與DEF的面積比為4，又由ABC的面積為16，即可求得DEF的面積【解答】解：ABCDEF，相似比為2，ABC與DEF的面積比為4，ABC的面積為16，DEF的面積為：16=4故選：C6（xx重慶）已知ABCDEF，且相似比為1：2，則ABC與DEF的面積比為（）A1：4B4：1C1：2D2：1【分析】利用相似三角形面積之比等于相似比的平方計算即可【解答】解：ABCDEF，且相似比為1：2，ABC與DEF的面積比為1：4，故選：A7（xx臨安區(qū)）如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與ABC相似的是（）ABCD【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出ACB，根據(jù)相似三角形的判定定理判斷即可【解答】解：由正方形的性質(zhì)可知，ACB=18045=135，A、C、D圖形中的鈍角都不等于135，由勾股定理得，BC=，AC=2，對應(yīng)的圖形B中的邊長分別為1和，=，圖B中的三角形（陰影部分）與ABC相似，故選：B8（xx廣東）在ABC中，點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，則ADE與ABC的面積之比為（）ABCD【分析】由點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，可得出DE為ABC的中位線，進(jìn)而可得出DEBC及ADEABC，再利用相似三角形的性質(zhì)即可求出ADE與ABC的面積之比【解答】解：點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，DE為ABC的中位線，DEBC，ADEABC，=（）2=故選：C9（xx自貢）如圖，在ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，若ADE的面積為4，則ABC的面積為（）A8B12C14D16【分析】直接利用三角形中位線定理得出DEBC，DE=BC，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案【解答】解：在ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，DEBC，DE=BC，ADEABC，=，=，ADE的面積為4，ABC的面積為：16，故選：D10（xx崇明縣一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，DE：EC=3：1，連接AE交BD于點(diǎn)F，則DEF的面積與BAF的面積之比為（）A3：4B9：16C9：1D3：1【分析】可證明DFEBFA，根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方即可得出答案【解答】解：四邊形ABCD為平行四邊形，DCAB，DFEBFA，DE：EC=3：1，DE：DC=3：4，DE：AB=3：4，SDFE：SBFA=9：16 故選：B11（xx隨州）如圖，平行于BC的直線DE把ABC分成面積相等的兩部分，則的值為（）A1BC 1D【分析】由DEBC可得出ADEABC，利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合SADE=S四邊形BCED，可得出=，結(jié)合BD=ABAD即可求出的值，此題得解【解答】解：DEBC，ADE=B，AED=C，ADEABC，（）2=SADE=S四邊形BCED，=，=1故選：C12（xx哈爾濱）如圖，在ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，點(diǎn)G在線段AD上，GEBD，且交AB于點(diǎn)E，GFAC，且交CD于點(diǎn)F，則下列結(jié)論一定正確的是（）A =B =C =D =【分析】由GEBD、GFAC可得出AEGABD、DFGDCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可找出=，此題得解【解答】解：GEBD，GFAC，AEGABD，DFGDCA，=， =，=故選：D13（xx遵義）如圖，四邊形ABCD中，ADBC，ABC=90，AB=5，BC=10，連接AC、BD，以BD為直徑的圓交AC于點(diǎn)E若DE=3，則AD的長為（）A5B4C3D2【分析】先求出AC，進(jìn)而判斷出ADFCAB，即可設(shè)DF=x，AD=x，利用勾股定理求出BD，再判斷出DEFDBA，得出比例式建立方程即可得出結(jié)論【解答】解：如圖，在RtABC中，AB=5，BC=10，AC=5過點(diǎn)D作DFAC于F，AFD=CBA，ADBC，DAF=ACB，ADFCAB，設(shè)DF=x，則AD=x，在RtABD中，BD=，DEF=DBA，DFE=DAB=90，DEFDBA，x=2，AD=x=2，故選：D14（xx揚(yáng)州）如圖，點(diǎn)A在線段BD上，在BD的同側(cè)作等腰RtABC和等腰RtADE，CD與BE、AE分別交于點(diǎn)P，M對于下列結(jié)論：BAECAD；MPMD=MAME；2CB2=CPCM其中正確的是（）ABCD【分析】（1）由等腰RtABC和等腰RtADE三邊份數(shù)關(guān)系可證；（2）通過等積式倒推可知，證明PAMEMD即可；（3）2CB2轉(zhuǎn)化為AC2，證明ACPMCA，問題可證【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AEBAC=EADBAE=CADBAECAD所以正確BAECADBEA=CDAPME=AMDPMEAMDMPMD=MAME所以正確BEA=CDAPME=AMDP、E、D、A四點(diǎn)共圓APD=EAD=90CAE=180BACEAD=90CAPCMAAC2=CPCMAC=AB2CB2=CPCM所以正確故選：A15（xx貴港）如圖，在ABC中，EFBC，AB=3AE，若S四邊形BCFE=16，則SABC=（）A16B18C20D24【分析】由EFBC，可證明AEFABC，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出則SABC的值【解答】解：EFBC，AEFABC，AB=3AE，AE：AB=1：3，SAEF：SABC=1：9，設(shè)SAEF=x，S四邊形BCFE=16，=，解得：x=2，SABC=18，故選：B16（xx孝感）如圖，ABC是等邊三角形，ABD是等腰直角三角形，BAD=90，AEBD于點(diǎn)E，連CD分別交AE，AB于點(diǎn)F，G，過點(diǎn)A作AHCD交BD于點(diǎn)H則下列結(jié)論：ADC=15；AF=AG；AH=DF；AFGCBG；AF=（1）EF其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A5B4C3D2【分析】由等邊三角形與等腰直角三角形知CAD是等腰三角形且頂角CAD=150，據(jù)此可判斷；求出AFP和FAG度數(shù)，從而得出AGF度數(shù)，據(jù)此可判斷；證ADFBAH即可判斷；由AFG=CBG=60、AGF=CGB即可得證；設(shè)PF=x，則AF=2x、AP=x，設(shè)EF=a，由ADFBAH知BH=AF=2x，根據(jù)ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，據(jù)此得出EH=a，證PAFEAH得=，從而得出a與x的關(guān)系即可判斷【解答】解：ABC為等邊三角形，ABD為等腰直角三角形，BAC=60、BAD=90、AC=AB=AD，ADB=ABD=45，CAD是等腰三角形，且頂角CAD=150，ADC=15，故正確；AEBD，即AED=90，DAE=45，AFG=ADC+DAE=60，F(xiàn)AG=45，AGF=75，由AFGAGF知AFAG，故錯誤；記AH與CD的交點(diǎn)為P，由AHCD且AFG=60知FAP=30，則BAH=ADC=15，在ADF和BAH中，ADFBAH（ASA），DF=AH，故正確；AFG=CBG=60，AGF=CGB，AFGCBG，故正確；在RtAPF中，設(shè)PF=x，則AF=2x、AP=x，設(shè)EF=a，ADFBAH，BH=AF=2x，ABE中，AEB=90、ABE=45，BE=AE=AF+EF=a+2x，EH=BEBH=a+2x2x=a，APF=AEH=90，F(xiàn)AP=HAE，PAFEAH，=，即=，整理，得：2x2=（1）ax，由x0得2x=（1）a，即AF=（1）EF，故正確；故選：B17（xx瀘州）如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，AF，BE相交于點(diǎn)G，若AE=3ED，DF=CF，則的值是（）ABCD【分析】如圖作，F(xiàn)NAD，交AB于N，交BE于M設(shè)DE=a，則AE=3a，利用平行線分線段成比例定理解決問題即可；【解答】解：如圖作，F(xiàn)NAD，交AB于N，交BE于M四邊形ABCD是正方形，ABCD，F(xiàn)NAD，四邊形ANFD是平行四邊形，D=90，四邊形ANFD是解析式，AE=3DE，設(shè)DE=a，則AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，AN=BN，MNAE，BM=ME，MN=a，F(xiàn)M=a，AEFM，=，故選：C18（xx臨安區(qū)）如圖，在ABC中，DEBC，DE分別與AB，AC相交于點(diǎn)D，E，若AD=4，DB=2，則DE：BC的值為（）ABCD【分析】根據(jù)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例解則可【解答】解：DEBC，ADEABC，=故選：A19（xx恩施州）如圖所示，在正方形ABCD中，G為CD邊中點(diǎn)，連接AG并延長交BC邊的延長線于E點(diǎn)，對角線BD交AG于F點(diǎn)已知FG=2，則線段AE的長度為（）A6B8C10D12【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出ABCD，進(jìn)而可得出ABFGDF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出=2，結(jié)合FG=2可求出AF、AG的長度，由CGAB、AB=2CG可得出CG為EAB的中位線，再利用三角形中位線的性質(zhì)可求出AE的長度，此題得解【解答】解：四邊形ABCD為正方形，AB=CD，ABCD，ABF=GDF，BAF=DGF，ABFGDF，=2，AF=2GF=4，AG=6CGAB，AB=2CG，CG為EAB的中位線，AE=2AG=12故選：D20（xx杭州）如圖，在ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，DEBC，與邊AC交于點(diǎn)E，連結(jié)BE記ADE，BCE的面積分別為S1，S2（）A若2ADAB，則3S12S2B若2ADAB，則3S12S2C若2ADAB，則3S12S2D若2ADAB，則3S12S2【分析】根據(jù)題意判定ADEABC，由相似三角形的面積之比等于相似比的平方解答【解答】解：如圖，在ABC中，DEBC，ADEABC，=（）2，若2ADAB，即時，此時3S1S2+SBDE，而S2+SBDE2S2但是不能確定3S1與2S2的大小，故選項(xiàng)A不符合題意，選項(xiàng)B不符合題意若2ADAB，即時，此時3S1S2+SBDE2S2，故選項(xiàng)C不符合題意，選項(xiàng)D符合題意故選：D21（xx永州）如圖，在ABC中，點(diǎn)D是邊AB上的一點(diǎn)，ADC=ACB，AD=2，BD=6，則邊AC的長為（）A2B4C6D8【分析】只要證明ADCACB，可得=，即AC2=ADAB，由此即可解決問題；【解答】解：A=A，ADC=ACB，ADCACB，=，AC2=ADAB=28=16，AC0，AC=4，故選：B22（xx香坊區(qū)）如圖，點(diǎn)D、E、F分別是ABC的邊AB、AC、BC上的點(diǎn)，若DEBC，EFAB，則下列比例式一定成立的是（）A =B =C =D =【分析】用平行線分線段成比例定理和相似三角形的判定即可得出結(jié)論【解答】解：DEBC，DEBC，ADEABC，EFAB，EFAB，CEFCAB，DEBC，EFAB，四邊形BDEF是平行四邊形，DE=BF，EF=BD，正確，故選：C23（xx荊門）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E、F為CD邊的兩個三等分點(diǎn)，連接AF、BE交于點(diǎn)G，則SEFG：SABG=（）A1：3B3：1C1：9D9：1【分析】利用相似三角形的性質(zhì)面積比等于相似比的平方即可解決問題；【解答】解：四邊形ABCD是平行四邊形，CD=AB，CDAB，DE=EF=FC，EF：AB=1：3，EFGBAG，=（）2=，故選：C24（xx達(dá)州）如圖，E，F(xiàn)是平行四邊形ABCD對角線AC上兩點(diǎn)，AE=CF=AC連接DE，DF并延長，分別交AB，BC于點(diǎn)G，H，連接GH，則的值為（）ABCD1【分析】首先證明AG：AB=CH：BC=1：3，推出GHAC，推出BGHBAC，可得=（）2=（）2=， =，由此即可解決問題【解答】解：四邊形ABCD是平行四邊形AD=BC，DC=AB，AC=CA，ADCCBA，SADC=SABC，AE=CF=AC，AGCD，CHAD，AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3，AG：AB=CH：BC=1：3，GHAC，BGHBAC，=（）2=（）2=，=，=，故選：C25（xx南充）如圖，正方形ABCD的邊長為2，P為CD的中點(diǎn)，連結(jié)AP，過點(diǎn)B作BEAP于點(diǎn)E，延長CE交AD于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CHBE于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)H，連接HF下列結(jié)論正確的是（）ACE=BEF=CcosCEP=DHF2=EFCF【分析】首先證明BH=AH，推出EG=BG，推出CE=CB，再證明CEHCBH，RtHFERtHFA，利用全等三角形的性質(zhì)即可一一判斷【解答】解：連接EH四邊形ABCD是正方形，CD=ABBC=AD=2，CDAB，BEAP，CHBE，CHPA，四邊形CPAH是平行四邊形，CP=AH，CP=PD=1，AH=PC=1，AH=BH，在RtABE中，AH=HB，EH=HB，HCBE，BG=EG，CB=CE=2，故選項(xiàng)A錯誤，CH=CH，CB=CE，HB=HE，ABCCEH，CBH=CEH=90，HF=HF，HE=HA，RtHFERtHFA，AF=EF，設(shè)EF=AF=x，在RtCDF中，有22+（2x）2=（2+x）2，x=，EF=，故B錯誤，PACH，CEP=ECH=BCH，cosCEP=cosBCH=，故C錯誤HF=，EF=，F(xiàn)C=HF2=EFFC，故D正確，故選：D26（xx臨沂）如圖利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度已知標(biāo)桿BE高1.2m，測得AB=1.6mBC=12.4m則建筑物CD的高是（）A9.3mB10.5mC12.4mD14m【分析】先證明ABEACD，則利用相似三角形的性質(zhì)得=，然后利用比例性質(zhì)求出CD即可【解答】解：EBCD，ABEACD，=，即=，CD=10.5（米）故選：B27（xx長春）孫子算經(jīng)是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，成書于約一千五百年前，其中有首歌謠：今有竿不知其長，量得影長一丈五尺，立一標(biāo)桿，長一尺五寸，影長五寸，問竿長幾何？意即：有一根竹竿不知道有多長，量出它在太陽下的影子長一丈五尺，同時立一根一尺五寸的小標(biāo)桿，它的影長五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），則竹竿的長為（）A五丈B四丈五尺C一丈D五尺【分析】根據(jù)同一時刻物高與影長成正比可得出結(jié)論【解答】解：設(shè)竹竿的長度為x尺，竹竿的影長=一丈五尺=15尺，標(biāo)桿長=一尺五寸=1.5尺，影長五寸=0.5尺，解得x=45（尺）故選：B28（xx紹興）學(xué)校門口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置BD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AC位置，已知ABBD，CDBD，垂足分別為B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，則欄桿C端應(yīng)下降的垂直距離CD為（）A0.2mB0.3mC0.4mD0.5m【分析】由ABO=CDO=90、AOB=COD知ABOCDO，據(jù)此得=，將已知數(shù)據(jù)代入即可得【解答】解：ABBD，CDBD，ABO=CDO=90，又AOB=COD，ABOCDO，則=，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，=，解得：CD=0.4，故選：C二填空題（共7小題）29（xx邵陽）如圖所示，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊BC延長線上一點(diǎn)，連接AE，交CD于點(diǎn)F，連接BF寫出圖中任意一對相似三角形：ADFECF【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)得到ADCE，則根據(jù)相似三角形的判定方法可判斷ADFECF【解答】解：四邊形ABCD為平行四邊形，ADCE，ADFECF故答案為ADFECF30（xx北京）如圖，在矩形ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)，連接DE交對角線AC于點(diǎn)F，若AB=4，AD=3，則CF的長為【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出ABCD，進(jìn)而可得出FAE=FCD，結(jié)合AFE=CFD（對頂角相等）可得出AFECFD，利用相似三角形的性質(zhì)可得出=2，利用勾股定理可求出AC的長度，再結(jié)合CF=AC，即可求出CF的長【解答】解：四邊形ABCD為矩形，AB=CD，AD=BC，ABCD，F(xiàn)AE=FCD，又AFE=CFD，AFECFD，=2AC=5，CF=AC=5=故答案為：31（xx包頭）如圖，在ABCD中，AC是一條對角線，EFBC，且EF與AB相交于點(diǎn)E，與AC相交于點(diǎn)F，3AE=2EB，連接DF若SAEF=1，則SADF的值為【分析】由3AE=2EB可設(shè)AE=2a、BE=3a，根據(jù)EFBC得=（）2=，結(jié)合SAEF=1知SADC=SABC=，再由=知=，繼而根據(jù)SADF=SADC可得答案【解答】解：3AE=2EB，可設(shè)AE=2a、BE=3a，EFBC，AEFABC，=（）2=（）2=，SAEF=1，SABC=，四邊形ABCD是平行四邊形，SADC=SABC=，EFBC，=，=，SADF=SADC=，故答案為：32（xx資陽）已知：如圖，ABC的面積為12，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，則四邊形BCED的面積為9【分析】設(shè)四邊形BCED的面積為x，則SADE=12x，由題意知DEBC且DE=BC，從而得=（）2，據(jù)此建立關(guān)于x的方程，解之可得【解答】解：設(shè)四邊形BCED的面積為x，則SADE=12x，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，DE是ABC的中位線，DEBC，且DE=BC，ADEABC，則=（）2，即=，解得：x=9，即四邊形BCED的面積為9，故答案為：933（xx泰安）九章算術(shù)是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，在“勾股”章中有這樣一個問題：“今有邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問：出南門幾步面見木？”用今天的話說，大意是：如圖，DEFG是一座邊長為200步（“步”是古代的長度單位）的正方形小城，東門H位于GD的中點(diǎn)，南門K位于ED的中點(diǎn)，出東門15步的A處有一樹木，求出南門多少步恰好看到位于A處的樹木（即點(diǎn)D在直線AC上）？請你計算KC的長為步【分析】證明CDKDAH，利用相似三角形的性質(zhì)得=，然后利用比例性質(zhì)可求出CK的長【解答】解：DH=100，DK=100，AH=15，AHDK，CDK=A，而CKD=AHD，CDKDAH，=，即=，CK=答：KC的長為步故答案為34（xx岳陽）九章算術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”其意思為：“今有直角三角形，勾（短直角邊）長為5步，股（長直角邊）長為12步，問該直角三角形能容納的正方形邊長最大是多少步？”該問題的答案是步【分析】如圖1，根據(jù)正方形的性質(zhì)得：DEBC，則ADEACB，列比例式可得結(jié)論；如圖2，同理可得正方形的邊長，比較可得最大值【解答】解：如圖1，四邊形CDEF是正方形，CD=ED，DECF，設(shè)ED=x，則CD=x，AD=12x，DECF，ADE=C，AED=B，ADEACB，x=，如圖2，四邊形DGFE是正方形，過C作CPAB于P，交DG于Q，設(shè)ED=x，SABC=ACBC=ABCP，125=13CP，CP=，同理得：CDGCAB，x=，該直角三角形能容納的正方形邊長最大是（步），故答案為：35（xx吉林）如圖是測量河寬的示意圖，AE與BC相交于點(diǎn)D，B=C=90，測得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河寬AB=100m【分析】由兩角對應(yīng)相等可得BADCED，利用對應(yīng)邊成比例可得兩岸間的大致距離AB【解答】解：ADB=EDC，ABC=ECD=90，ABDECD，解得：AB=（米）故答案為：100三解答題（共15小題）36（xx張家界）如圖，點(diǎn)P是O的直徑AB延長線上一點(diǎn)，且AB=4，點(diǎn)M為上一個動點(diǎn)（不與A，B重合），射線PM與O交于點(diǎn)N（不與M重合）（1）當(dāng)M在什么位置時，MAB的面積最大，并求岀這個最大值；（2）求證：PANPMB【分析】（1）當(dāng)M在弧AB中點(diǎn)時，三角形MAB面積最大，此時OM與AB垂直，求出此時三角形面積最大值即可；（2）由同弧所對的圓周角相等及公共角，利用兩對角相等的三角形相似即可得證【解答】解：（1）當(dāng)點(diǎn)M在的中點(diǎn)處時，MAB面積最大，此時OMAB，OM=AB=4=2，SABM=ABOM=42=4；（2）PMB=PAN，P=P，PANPMB37（xx株洲）如圖，在RtABM和RtADN的斜邊分別為正方形的邊AB和AD，其中AM=AN（1）求證：RtABMRtAND；（2）線段MN與線段AD相交于T，若AT=，求tanABM的值【分析】（1）利用HL證明即可；（2）想辦法證明DNTAMT，可得由AT=，推出，在RtABM中，tanABM=【解答】解：（1）AD=AB，AM=AN，AMB=AND=90RtABMRtAND（HL）（2）由RtABMRtAND易得：DAN=BAM，DN=BMBAM+DAM=90；DAN+ADN=90DAM=ANDNDAMDNTAMTAT=，RtABMtanABM=38（xx大慶）如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)E為線段OB上一點(diǎn)（不與O，B重合），作ECOB，交O于點(diǎn)C，作直徑CD，過點(diǎn)C的切線交DB的延長線于點(diǎn)P，作AFPC于點(diǎn)F，連接CB（1）求證：AC平分FAB；（2）求證：BC2=CECP；（3）當(dāng)AB=4且=時，求劣弧的長度【分析】（1）根據(jù)等角的余角相等證明即可；（2）只要證明CBECPB，可得=解決問題；（3）作BMPF于M則CE=CM=CF，設(shè)CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性質(zhì)求出BM，求出tanBCM的值即可解決問題；【解答】（1）證明：AB是直徑，ACB=90，BCP+ACF=90，ACE+BCE=90，BCP=BCE，ACF=ACE，即AC平分FAB（2）證明：OC=OB，OCB=OBC，PF是O的切線，CEAB，OCP=CEB=90，PCB+OCB=90，BCE+OBC=90，BCE=BCP，CD是直徑，CBD=CBP=90，CBECPB，=，BC2=CECP；（3）解：作BMPF于M則CE=CM=CF，設(shè)CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，MCB+P=90，P+PBM=90，MCB=PBM，CD是直徑，BMPC，CMB=BMP=90，BMCPMB，=，BM2=CMPM=3a2，BM=a，tanBCM=，BCM=30，OCB=OBC=BOC=60，BOD=120的長=39（xx江西）如圖，在ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CDAB，BD是ABC的平分線，BD交AC于點(diǎn)E，求AE的長【分析】根據(jù)角平分線定義和平行線的性質(zhì)求出D=CBD，求出BC=CD=4，證AEBCED，得出比例式，求出AE=2CE，即可得出答案【解答】解：BD為ABC的平分線，ABD=CBD，ABCD，D=ABD，D=CBD，BC=CD，BC=4，CD=4，ABCD，ABECDE，=，=，AE=2CE，AC=6=AE+CE，AE=440（xx上海）已知：如圖，正方形ABCD中，P是邊BC上一點(diǎn)，BEAP，DFAP，垂足分別是點(diǎn)E、F（1）求證：EF=AEBE；（2）聯(lián)結(jié)BF，如課=求證：EF=EP【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)得AB=AD，BAD=90，根據(jù)等角的余角相等得到1=3，則可判斷ABEDAF，則BE=AF，然后利用等線段代換可得到結(jié)論；（2）利用=和AF=BE得到=，則可判定RtBEFRtDFA，所以4=3，再證明4=5，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可判斷EF=EP【解答】證明：（1）四邊形ABCD為正方形，AB=AD，BAD=90，BEAP，DFAP，BEA=AFD=90，1+2=90，2+3=90，1=3，在ABE和DAF中，ABEDAF，BE=AF，EF=AEAF=AEBE；（2）如圖，=，而AF=BE，=，=，RtBEFRtDFA，4=3，而1=3，4=1，5=1，4=5，即BE平分FBP，而BEEP，EF=EP41（xx東營）如圖，CD是O的切線，點(diǎn)C在直徑AB的延長線上（1）求證：CAD=BDC；（2）若BD=AD，AC=3，求CD的長【分析】（1）連接OD，由OB=OD可得出OBD=ODB，根據(jù)切線的性質(zhì)及直徑所對的圓周角等于180，利用等角的余角相等，即可證出CAD=BDC；（2）由C=C、CAD=CDB可得出CDBCAD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合BD=AD、AC=3，即可求出CD的長【解答】（1）證明：連接OD，如圖所示OB=OD，OBD=ODBCD是O的切線，OD是O的半徑，ODB+BDC=90AB是O的直徑，ADB=90，OBD+CAD=90，CAD=BDC（2）解：C=C，CAD=CDB，CDBCAD，=BD=AD，=，=，又AC=3，CD=242（xx南京）如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，連接DE過點(diǎn)A作AFDE，垂足為F，O經(jīng)過點(diǎn)C、D、F，與AD相交于點(diǎn)G（1）求證：AFGDFC；（2）若正方形ABCD的邊長為4，AE=1，求O的半徑【分析】（1）欲證明AFGDFC，只要證明FAG=FDC，AGF=FCD；（2）首先證明CG是直徑，求出CG即可解決問題；【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，ADC=90，CDF+ADF=90，AFDE，AFD=90，DAF+ADF=90，DAF=CDF，四邊形GFCD是O的內(nèi)接四邊形，F(xiàn)CD+DGF=180，F(xiàn)GA+DGF=180，F(xiàn)GA=FCD，AFGDFC（2）解：如圖，連接CGEAD=AFD=90，EDA=ADF，EDAADF，=，即=，AFGDFC，=，=，在正方形ABCD中，DA=DC，AG=EA=1，DG=DAAG=41=3，CG=5，CDG=90，CG是O的直徑，O的半徑為43（xx濱州）如圖，AB為O的直徑，點(diǎn)C在O上，ADCD于點(diǎn)D，且AC平分DAB，求證：（1）直線DC是O的切線；（2）AC2=2ADAO【分析】（1）連接OC，由OA=OC、AC平分DAB知OAC=OCA=DAC，據(jù)此知OCAD，根據(jù)ADDC即可得證；（2）連接BC，證DACCAB即可得【解答】解：（1）如圖，連接OC，OA=OC，OAC=OCA，AC平分DAB，OAC=DAC，DAC=OCA，OCAD，又ADCD，OCDC，DC是O的切線；（2）連接BC，AB為O的直徑，AB=2AO，ACB=90，ADDC，ADC=ACB=90，又DAC=CAB，DACCAB，=，即AC2=ABAD，AB=2AO，AC2=2ADAO44（xx十堰）如圖，ABC中，AB=AC，以AB為直徑的O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作FGAC于點(diǎn)F，交AB的延長線于點(diǎn)G（1）求證：FG是O的切線；（2）若tanC=2，求的值【分析】（1）欲證明FG是O的切線，只要證明ODFG；（2）由GDBGAD，設(shè)BG=a可得=，推出DG=2a，AG=4a，由此即可解決問題；【解答】（1）證明：連接AD、ODAB是直徑，ADB=90，即ADBC，AC=AB，CD=BD，OA=OB，ODAC，DFAC，ODDF，F(xiàn)G是O的切線（2）解：tanC=2，BD=CD，BD：AD=1：2，GDB+ODB=90，ADO+ODB=90，OA=OD，OAD=ODA，GDB=GAD，G=G，GDBGAD，設(shè)BG=a=，DG=2a，AG=4a，BG：GA=1：445（xx杭州）如圖，在ABC中，AB=AC，AD為BC邊上的中線，DEAB于點(diǎn)E（1）求證：BDECAD（2）若AB=13，BC=10，求線段DE的長【分析】（1）想辦法證明B=C，DEB=ADC=90即可解決問題；（2）利用面積法： ADBD=ABDE求解即可；【解答】解：（1）AB=AC，BD=CD，ADBC，B=C，DEAB，DEB=ADC，BDECAD（2）AB=AC，BD=CD，ADBC，在RtADB中，AD=12，ADBD=ABDE，DE=46（xx煙臺）如圖，已知D，E分別為ABC的邊AB，BC上兩點(diǎn)，點(diǎn)A，C，E在D上，點(diǎn)B，D在E上F為上一點(diǎn)，連接FE并延長交AC的延長線于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)M（1）若EBD為，請將CAD用含的代數(shù)式表示；（2）若EM=MB，請說明當(dāng)CAD為多少度時，直線EF為D的切線；（3）在（2）的條件下，若AD=，求的值【分析】（1）根據(jù)同圓的半徑相等和等邊對等角得：EDB=EBD=，CAD=ACD，DCE=DEC=2，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論；（2）設(shè)MBE=x，同理得：EMB=MBE=x，根據(jù)切線的性質(zhì)知：DEF=90，所以CED+MEB=90，同理根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得CAD=45；（3）由（2）得：CAD=45；根據(jù)（1）的結(jié)論計算MBE=30，證明CDE是等邊三角形，得CD=CE=DE=EF=AD=，求EM=1，MF=EFEM=1，根據(jù)三角形內(nèi)角和及等腰三角形的判定得：EN=CE=，代入化簡可得結(jié)論【解答】解：（1）連接CD、DE，E中，ED=EB，EDB=EBD=，CED=EDB+EBD=2，D中，DC=DE=AD，CAD=ACD，DCE=DEC=2，ACB中，CAD+ACD+DCE+EBD=180，CAD=；（2）設(shè)MBE=x，EM=MB，EMB=MBE=x，當(dāng)EF為D的切線時，DEF=90，CED+MEB=90，CED=DCE=90x，ACB中，同理得，CAD+ACD+DCE+EBD=180，2CAD=18090=90，CAD=45；（3）由（2）得：CAD=45；由（1）得：CAD=；MBE=30，CED=2MBE=60，CD=DE，CDE是等邊三角形，CD=CE=DE=EF=AD=，RtDEM中，EDM=30，DE=，EM=1，MF=EFEM=1，ACB中，NCB=45+30=75，CNE中，CEN=BEF=30，CNE=75，CNE=NCB=75，EN=CE=，=2+47（xx陜西）周末，小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量家門前小河的寬測量時，他們選擇了河對岸岸邊的一棵大樹，將其底部作為點(diǎn)A，在他們所在的岸邊選擇了點(diǎn)B，使得AB與河岸垂直，并在B點(diǎn)豎起標(biāo)桿BC，再在AB的延長線上選擇點(diǎn)D，豎起標(biāo)桿DE，使得點(diǎn)E與點(diǎn)C、A共線已知：CBAD，EDAD，測得BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m測量示意圖如圖所示請根據(jù)相關(guān)測量信息，求河寬AB【分析】由BCDE，可得=，構(gòu)建方程即可解決問題【解答】解：BCDE，ABCADE，=，=，AB=17（m），經(jīng)檢驗(yàn)：AB=17是分式方程的解，答：河寬AB的長為17米48（xx濟(jì)寧）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，連接DF，過點(diǎn)E作EHDF，垂足為H，EH的延長線交DC于點(diǎn)G（1）猜想DG與CF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）過點(diǎn)H作MNCD，分別交AD，BC于點(diǎn)M，N，若正方形ABCD的邊長為10，點(diǎn)P是MN上一點(diǎn)，求PDC周長的最小值【分析】（1）結(jié)論：CF=2DG只要證明DEGCDF即可；（2）作點(diǎn)C關(guān)于NM的對稱點(diǎn)K，連接DK交MN于點(diǎn)P，連接PC，此時PDC的周長最短周長的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK；【解答】解：（1）結(jié)論：CF=2DG理由：四邊形ABCD是正方形，AD=BC=CD=AB，ADC=C=90，DE=AE，AD=CD=2DE，EGDF，DHG=90，CDF+DGE=90，DGE+DEG=90，CDF=DEG，DEGCDF，=，CF=2DG（2）作點(diǎn)C關(guān)于NM的對稱點(diǎn)K，連接DK交MN于點(diǎn)P，連接PC，此時PDC的周長最短周長的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK由題意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH=，EH=2DH=2，HM=2，DM=CN=NK=1，在RtDCK中，DK=2，PCD的周長的最小值為10+249（xx聊城）如圖，正方形ABCD中，E是BC上的一點(diǎn)，連接AE，過B點(diǎn)作BHAE，垂足為點(diǎn)H，延長BH交CD于點(diǎn)F，連接AF（1）求證：AE=BF（2）若正方形邊長是5，BE=2，求AF的長【分析】（1）根據(jù)ASA證明ABEBCF，可得結(jié)論；（2）根據(jù)（1）得：ABEBCF，則CF=BE=2，最后利用勾股定理可得AF的長【解答】（1）證明：四邊形ABCD是正方形，AB=BC，ABE=BCF=90，BAE+AEB=90，BHAE，BHE=90，AEB+EBH=90，BAE=EBH，在ABE和BCF中，ABEBCF（ASA），AE=BF；（2）解：AB=BC=5，由（1）得：ABEBCF，CF=BE=2，DF=52=3，四邊形ABCD是正方形，AB=AD=5，ADF=90，由勾股定理得：AF=50（xx烏魯木齊）如圖，AG是HAF的平分線，點(diǎn)E在AF上，以AE為直徑的O交AG于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作AH的垂線，垂足為點(diǎn)C，交AF于點(diǎn)B（1）求證：直線BC是O的切線；（2）若AC=2CD，設(shè)O的半徑為r，求BD的長度【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和同圓的半徑相等可得ODAC，證明ODCB，可得結(jié)論；（2）在RtACD中，設(shè)CD=a，則AC=2a，AD=a，證明ACDADE，表示a=，由平行線分線段成比例定理得：，代入可得結(jié)論【解答】（1）證明：連接OD，AG是HAF的平分線，CAD=BAD，OA=OD，OAD=ODA，CAD=ODA，ODAC，ACD=90，ODB=ACD=90，即ODCB，D在O上，直線BC是O的切線；（4分）（2）解：在RtACD中，設(shè)CD=a，則AC=2a，AD=a，連接DE，AE是O的直徑，ADE=90，由CAD=BAD，ACD=ADE=90，ACDADE，即，a=，由（1）知：ODAC，即，a=，解得BD=r（10分）