積分中值定理的簡單應用數(shù)學畢業(yè)論文

目 錄摘 要1關鍵詞1Abstract2Key words21引言22準備知識23在應用積分中值定理時應注意以下幾點34積分中值定理的簡單應用44.1在力學中的應用44.2確定定積分的符號54.3求含有定積分的極限64.4估計定積分74.5證明積分不等式84.6判斷某些點的存在問題94.7求與有關收斂有關的問題1011 積分中值定理的簡單應用 摘 要:本文綜合歸納了積分中值定理在力學、確定定積分符號、求含有定積分的極限、估計定積分、證明積分不等式、判斷某些點的存在問題及求與收斂有關問題的應用.關鍵詞:積分第一中值定理；推廣的積分中值定理；估計定積分 The application about intermediate value theorem of integral Abstract: This paper reviews and summarizes the application of stationary functional theory in integration, mainly regarding to the field of machanics, determining the signs for definite integrals, evaluating the limit of the dedinite integral, estimating the definite integral, evidencing the definite integral inequality, judging the exist problems related to it and finding solution to convergence problem.Key words: Intermediate value theorem of integral ；Extension intermediate value theorem of integral ;Estimate definite integral1 引言積分中值定理是數(shù)學分析中一個基本定理之一，同時也是定積分的一個主要性質,它建立了積分和被積函數(shù)之間的關系,它在數(shù)學很多方面都有十分重要的作用.為簡單起見,文中就積分第一中值定理以及推廣的積分第一中值定理的應用進行討論.2 準備知識定理 2.11 (積分第一中值定理) 若在區(qū)間a,b上連續(xù),則在（a,b）內至少存在一點使得 定理2.21 （推廣的積分第一中值定理）若在上連續(xù),且在上不變號,則在至少存在一點,使得,3 在應用積分中值定理時應注意以下幾點(1)在應用定理2.1中要注意被積函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)這一條件，否則結論不成立.例如 ：顯然在處間斷， 由于 =0但在上，所以，對任何都不能使(2)在應用定理2.2中在上不變號這個條件也不能去掉例如： 令 由于但 所以不存在使4 積分中值定理的簡單應用4.1 在力學中的應用(1)求平均速度設速度函數(shù)在時間區(qū)間內連續(xù)，根據(jù)定理2.1，有 由力學知識知，物體的位移,則 即就是物體的平均速度.例1 當物體做勻變速直線運動時，即時內的平均速度 ：所以 這個結果說明，只有當速度函數(shù)對時間均勻變化時，平均速度等于內始、末速度的算術平均值.(2)求對空間累積的平均作用力 設力在位置區(qū)間內連續(xù)，根據(jù)定積分中值定理，有 相對位移的平均作用力為當與位置坐標無確定函數(shù)關系時，利用動能定理可得當與變量有確定函數(shù)關系時，可直接求出平均作用力.例2 彈簧振子的作用力為，那么振子所受的平均作用力是： 計算得 ，即有線性關系時，平均作用力等于質點始、末位置所受力的算術平均值.4.2 確定定積分的符號定積分的幾何意義是求去邊多邊形的面積，如能知道它的符號對我們解很多題有很大的幫助.下面來看幾個實例.例3 確定的符號解 原式= （） 其中=例4 確定的符號解 原式=由定理2.1得=>0 其中例5 確定符號解 原式= = =>0 其中0<c<24.3 求含有定積分的極限定積分的極限問題，在不借助積分中值定理的情況下是很難求出結果的，但是運用了積分中值定理就能去掉定積分的積分號，起到了化難為易的效果.下面來看幾個實例.例6 計算的值解 由定理2.1得,因為，所以可得= =0例7 求,其中可微,且已知解 由定理2.1得=，其中所以 4.4 估計定積分若定積分的值很難求出，可以通過推廣的積分中值定理化難為易，很方便估計其值.下面來看幾個實例.例8 試估計的值解 由定理2.1得=其中，.從而得所以例9 試估計的值解 因為在上連續(xù),在內可導,且在內無解,即,等號僅在時成立.故在內嚴格單調增,即所以由積分第一中值定理有4.5 證明積分不等式含定積分式的極限的不等式的證明，關鍵是去掉定積分號，積分中值定理和推廣的積分中值定理都有這個功能.下面來看幾個實例.例10 設在a,b上連續(xù)，單調增加，證明： 證明 因為 單調增加所以例11 證明證明 本題等價于在區(qū)間上求函數(shù)的最大值和最小值,令,得駐點.比較,知為在上的最小值,而為在上的最大值.由積分中值定理得,即.4.6 判斷某些點的存在問題某些帶積分式的函數(shù)，常常會有要求判定具有某些性質的點的存在的問題，如能巧妙的運用積分中值定理將使問題迎刃而解.下面來看幾個實例.例12 設函數(shù)在0,1上連續(xù)，在(0，1)內可導，且 證明存在。證明 由定理2.1知，存在使得即 所以 由羅爾中值定理可知,在區(qū)間內至少存在一點c,使得易知命題得證.例13 設在上不恒為零，且其導數(shù)連續(xù)，并有.試證明：存在一點，使得：證明 如果，則結論顯然成立，下面考慮的情形.由定理2.1以及拉格朗日中值定理可知，存在一點使得 其中，于是可得4.7 求與有關收斂有關的問題例14 設函數(shù)在為連續(xù)的，有收斂.證明： 收斂并求其值，證明 因，收斂，所以有 由定理2.1知，存在使又因在上連續(xù)的，從而有=例15 設函數(shù)在，單調下降，且非負，證明 證明 由定理2.1得 又因非負遞減，所以故 即與有相同的斂散性，而與有相同的斂散性,于是結論得證.總 結定積分在生活中是隨處可見的，遍布于各個領域.而積分中值定理在解決有關定積分的問題時，常常能簡化問題或是直接求出結果.例如定積分的極限問題，在不借助積分中值定理的情況下是很難求出結果的，但是運用了積分中值定理就能去掉定積分的積分號，起到了化難為易的效果.總而言之，積分中值定理是非常實用的.參考文獻1 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析M.北京：高等教育出版社,2001.2 周學圣 費定暉.數(shù)學分析習題集解M.濟南：山東科技出版社,2001.3 王勇烈 李鐵臣.微積分與應用數(shù)學基礎M.北京：航空工業(yè)出版社,1996.4 黃光谷 黃川 李楊.吉米多維奇數(shù)學分析習題集選講M.武漢：華中科技大學出版社,2006. 5 錢吉林.數(shù)學分析題解精粹M.武漢：崇文書局,2009.6 魯小能.定積分中值定理在力學中的幾個應用J. 陜西師范大學成人教育學院學報,1999.7 鄧曉紅.積分中值定理的應用J. 貴陽金筑大學學報,2004.8 劉俊先.積分中值定理的應用J.赤峰學院學報，2010.9 劉三陽.各類考研數(shù)學全真試題與解答M.西安：西安電子科技大學出版社，2001.10 李世金.數(shù)學分析解題方法M.長春：東北師范大學出版社，2001.