齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu).ppt

1齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)2非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),第三章第四講,一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),則方程組(1)可寫成向量方程,若記,回顧,稱為方程組(1)的解向量，它也是向量方程的解．,則,方程組有非零解的充要條件是。,齊次線性方程組的解有如下的性質(zhì),證,性質(zhì)（2）若為的解，為實(shí)數(shù)，則也是的解．,證,證畢.,由以上兩個(gè)性質(zhì)可知，方程組的全體解向量所組成的集合，對(duì)于加法和數(shù)乘運(yùn)算是封閉的，因此構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱此向量空間為齊次線性方程組的解空間．,因此，求齊次線性方程組的解就是求出解空間，這就需要求出解空間的一組基。稱解空間的一組基為方程組的基礎(chǔ)解系。,定義1,并稱為方程組的通解。,定理1齊次線性方程組若有非零解，則它一定有基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)等于n-r，其中r是系數(shù)矩陣的秩。,基礎(chǔ)解系的求法,證明：,系數(shù)矩陣為,有非零解，從而秩r＜n.對(duì)A進(jìn)行行初等變換，A可化為,,,與之對(duì)應(yīng)的方程組為,取,,可得,從而得到(1)的n-r個(gè)解,,首先，這n-r個(gè)解向量顯然線性無(wú)關(guān).,代入方程組得,,,于是,因此方程組的每一個(gè)解向量，都可以由這n-r個(gè)解向量,定理的證明實(shí)際上指出了求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的一種方法.,線性表示，,例1解齊次線性方程組,解齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為,對(duì)A進(jìn)行行初等變換，得,秩r＝2<4，故有非零解.,其對(duì)應(yīng)的方程組是,基礎(chǔ)解系為,方程組的通解為,二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),,如果把它的常數(shù)項(xiàng)都換成0，就得到相應(yīng)的齊次線性方程組，稱它為非齊次線性方程組(2)的導(dǎo)出方程組，簡(jiǎn)稱導(dǎo)出組.,定理3（非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理）如果非齊次線性方程組有解，那么它的一個(gè)解與其導(dǎo)出方程組的解之和是非齊次線性方程組的一個(gè)解，非齊次線性方程組的任意解都可以寫成它的一個(gè)特解與其導(dǎo)出方程組的解之和。,,其中為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的通解，為非齊次線性方程組的任意一個(gè)特解.,非齊次線性方程組的通解,非齊次線性方程組Ax=b的通解為,解對(duì)增廣矩陣進(jìn)行行初等行變換,系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都是2<5，故有解。,對(duì)應(yīng)的齊次線性方程（去掉常數(shù)列）的基礎(chǔ)解系為,令x3＝x4＝x5＝0，得齊次線性方程組的一個(gè)特解為(30/7,-3/7,0,0,0)，(不能忽略常數(shù)列)，于是它的全部解為,其中k1，k2，k3，為任意實(shí)數(shù)。,例3設(shè)線性方程組,試就p,t討論方程組的解的情況，有解時(shí)并求出解.,解對(duì)增廣矩陣進(jìn)行行初等變換,,(1)當(dāng)時(shí)，有惟一解,(2)當(dāng)p=1，且1-4t+2pt=1-2t=0即t=時(shí)，方程組有無(wú)窮多解，此時(shí),,(3)當(dāng)p=1，但1-4t+2pt=1-2t≠0，即t≠1/2時(shí)，方程組無(wú)解.,(4)當(dāng)t=0時(shí)，1-4t+2pt=1≠0，故方程組也無(wú)解.,練習(xí).設(shè),(1)求|A|；（2）已知Ａｘ＝ｂ有無(wú)窮多解，求ａ，并求Ａｘ＝ｂ的通解.,２．齊次線性方程組解的情況,１．齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法,三、小結(jié),（一）、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),1．非齊次線性方程組解的情況,2．非齊次線性方程組通解的求法,（二）、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),