齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu).ppt

1齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)2非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),第三章第四講,一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),則方程組(1)可寫成向量方程,若記,回顧,稱為方程組(1)的解向量，它也是向量方程的解,則,方程組有非零解的充要條件是。,齊次線性方程組的解有如下的性質(zhì),證,性質(zhì)（2）若為的解，為實數(shù)，則也是的解,證,證畢.,由以上兩個性質(zhì)可知，方程組的全體解向量所組成的集合，對于加法和數(shù)乘運算是封閉的，因此構(gòu)成一個向量空間，稱此向量空間為齊次線性方程組的解空間,因此，求齊次線性方程組的解就是求出解空間，這就需要求出解空間的一組基。稱解空間的一組基為方程組的基礎(chǔ)解系。,定義1,并稱為方程組的通解。,定理1齊次線性方程組若有非零解，則它一定有基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)等于n-r，其中r是系數(shù)矩陣的秩。,基礎(chǔ)解系的求法,證明：,系數(shù)矩陣為,有非零解，從而秩rn.對A進行行初等變換，A可化為,與之對應(yīng)的方程組為,取,可得,從而得到(1)的n-r個解,首先，這n-r個解向量顯然線性無關(guān).,代入方程組得,于是,因此方程組的每一個解向量，都可以由這n-r個解向量,定理的證明實際上指出了求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的一種方法.,線性表示，,例1解齊次線性方程組,解齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為,對A進行行初等變換，得,秩r2<4，故有非零解.,其對應(yīng)的方程組是,基礎(chǔ)解系為,方程組的通解為,二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),如果把它的常數(shù)項都換成0，就得到相應(yīng)的齊次線性方程組，稱它為非齊次線性方程組(2)的導(dǎo)出方程組，簡稱導(dǎo)出組.,定理3（非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理）如果非齊次線性方程組有解，那么它的一個解與其導(dǎo)出方程組的解之和是非齊次線性方程組的一個解，非齊次線性方程組的任意解都可以寫成它的一個特解與其導(dǎo)出方程組的解之和。,其中為對應(yīng)齊次線性方程組的通解，為非齊次線性方程組的任意一個特解.,非齊次線性方程組的通解,非齊次線性方程組Ax=b的通解為,解對增廣矩陣進行行初等行變換,系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都是2<5，故有解。,對應(yīng)的齊次線性方程（去掉常數(shù)列）的基礎(chǔ)解系為,令x3x4x50，得齊次線性方程組的一個特解為(30/7,-3/7,0,0,0)，(不能忽略常數(shù)列)，于是它的全部解為,其中k1，k2，k3，為任意實數(shù)。,例3設(shè)線性方程組,試就p,t討論方程組的解的情況，有解時并求出解.,解對增廣矩陣進行行初等變換,(1)當(dāng)時，有惟一解,(2)當(dāng)p=1，且1-4t+2pt=1-2t=0即t=時，方程組有無窮多解，此時,(3)當(dāng)p=1，但1-4t+2pt=1-2t0，即t1/2時，方程組無解.,(4)當(dāng)t=0時，1-4t+2pt=10，故方程組也無解.,練習(xí).設(shè),(1)求|A|；（2）已知有無窮多解，求，并求的通解.,齊次線性方程組解的情況,齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法,三、小結(jié),（一）、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),1非齊次線性方程組解的情況,2非齊次線性方程組通解的求法,（二）、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),