齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu).ppt
1齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)2非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),第三章第四講,一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),則方程組(1)可寫成向量方程,若記,回顧,稱為方程組(1)的解向量,它也是向量方程的解,則,方程組有非零解的充要條件是。,齊次線性方程組的解有如下的性質(zhì),證,性質(zhì)(2)若為的解,為實數(shù),則也是的解,證,證畢.,由以上兩個性質(zhì)可知,方程組的全體解向量所組成的集合,對于加法和數(shù)乘運算是封閉的,因此構(gòu)成一個向量空間,稱此向量空間為齊次線性方程組的解空間,因此,求齊次線性方程組的解就是求出解空間,這就需要求出解空間的一組基。稱解空間的一組基為方程組的基礎(chǔ)解系。,定義1,并稱為方程組的通解。,定理1齊次線性方程組若有非零解,則它一定有基礎(chǔ)解系,且基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)等于n-r,其中r是系數(shù)矩陣的秩。,基礎(chǔ)解系的求法,證明:,系數(shù)矩陣為,有非零解,從而秩rn.對A進行行初等變換,A可化為,與之對應(yīng)的方程組為,取,可得,從而得到(1)的n-r個解,首先,這n-r個解向量顯然線性無關(guān).,代入方程組得,于是,因此方程組的每一個解向量,都可以由這n-r個解向量,定理的證明實際上指出了求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的一種方法.,線性表示,,例1解齊次線性方程組,解齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為,對A進行行初等變換,得,秩r2<4,故有非零解.,其對應(yīng)的方程組是,基礎(chǔ)解系為,方程組的通解為,二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),如果把它的常數(shù)項都換成0,就得到相應(yīng)的齊次線性方程組,稱它為非齊次線性方程組(2)的導(dǎo)出方程組,簡稱導(dǎo)出組.,定理3(非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理)如果非齊次線性方程組有解,那么它的一個解與其導(dǎo)出方程組的解之和是非齊次線性方程組的一個解,非齊次線性方程組的任意解都可以寫成它的一個特解與其導(dǎo)出方程組的解之和。,其中為對應(yīng)齊次線性方程組的通解,為非齊次線性方程組的任意一個特解.,非齊次線性方程組的通解,非齊次線性方程組Ax=b的通解為,解對增廣矩陣進行行初等行變換,系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都是2<5,故有解。,對應(yīng)的齊次線性方程(去掉常數(shù)列)的基礎(chǔ)解系為,令x3x4x50,得齊次線性方程組的一個特解為(30/7,-3/7,0,0,0),(不能忽略常數(shù)列),于是它的全部解為,其中k1,k2,k3,為任意實數(shù)。,例3設(shè)線性方程組,試就p,t討論方程組的解的情況,有解時并求出解.,解對增廣矩陣進行行初等變換,(1)當(dāng)時,有惟一解,(2)當(dāng)p=1,且1-4t+2pt=1-2t=0即t=時,方程組有無窮多解,此時,(3)當(dāng)p=1,但1-4t+2pt=1-2t0,即t1/2時,方程組無解.,(4)當(dāng)t=0時,1-4t+2pt=10,故方程組也無解.,練習(xí).設(shè),(1)求|A|;(2)已知有無窮多解,求,并求的通解.,齊次線性方程組解的情況,齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法,三、小結(jié),(一)、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),1非齊次線性方程組解的情況,2非齊次線性方程組通解的求法,(二)、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),