高中數(shù)學(xué) 第一章 坐標(biāo)系 四 柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡(jiǎn)介高效演練 新人教A版選修44

6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 四四、柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡(jiǎn)介柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡(jiǎn)介 A 級(jí) 基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題 1空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，下列柱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在平面Oyz內(nèi)的是( ) A.1，2，2 B.2，3，0 C.3，4，6 D.3，6，2 解析：由P(，z)，當(dāng)2時(shí)，點(diǎn)P在平面Oyz內(nèi) 答案：A 2若點(diǎn)M的球坐標(biāo)為8，3，56，則它的直角坐標(biāo)為( ) A(6，2 3，4) B(6，2 3，4) C(6，2 3，4) D(6，2 3，4) 解析：由x8sin 3cos 566， y8sin 3sin 562 3， z8cos 34，得點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(6，2 3，4) 答案：A 3設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(2，0，2)，則點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為( ) A(2，0，2) B(2，2) C( 2，0，2) D( 2，2) 解析：設(shè)點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為(，z)， 所以x2y22，tan yx0， 所以0，z2，所以點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為(2，0，2) 答案：A 4在空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)M(x，y，z)，若它的柱坐標(biāo)為3，3，3 ，則它的球坐標(biāo)為( ) 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 A.3，3，4 B.3 2，3，4 C.3，4，3 D.3 2，4，3 解析：因?yàn)镸點(diǎn)的柱坐標(biāo)為M3，3，3 ，設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(x，y，z) 所以x3cos 332，y3sin 33 32，z3， 所以M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為32，3 32，3 . 設(shè)點(diǎn)M的球坐標(biāo)為(，) 是球面的半徑，為向量OM在xOy面上投影到x正方向夾角，為向量OM與z軸正方向夾角 所以r 94274932，容易知道3，同時(shí)結(jié)合點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為32，3 32，3 ， 可知 cos z33 222， 所以4， 所以M點(diǎn)的球坐標(biāo)為3 2，3，4. 答案：B 二、填空題 5空間點(diǎn)P的柱坐標(biāo)為6，3，4 ，則點(diǎn)P關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)為_ 答案：6，43，4 6已知點(diǎn)M的球坐標(biāo)為4，4，34，則它的直角坐標(biāo)為_，它的柱坐標(biāo)是_ 答案：(2，2，2 2) 2 2，34，2 2 7 已知在柱坐標(biāo)系中， 點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為2，23， 5 ， 且點(diǎn)M在數(shù)軸Oy上的射影為N，則|OM|_，|MN|_ 解析： 設(shè)點(diǎn)M在平面Oxy上的射影為P， 連接PN， 則PN為線段MN在平面Oxy上的射影 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 因?yàn)镸N直線Oy，MP平面Oxy， 所以PN直線Oy. 所以|OP|2，|PN|cos 231， 所以|OM|2z222（ 5）23. 在 RtMNP中，MPN90， 所以|MN| |PM|2|PN|2（ 5）212 6. 答案：3 6 8已知點(diǎn)M的球坐標(biāo)為4，4，34，則點(diǎn)M到Oz軸的距離為_ 解析：設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(x，y，z)， 則由(r，)4，4，34， 知x4sin4cos342， y4sin4sin342， z4cos42 2， 所以點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(2，2，2 2) 故點(diǎn)M到Oz軸的距離為 （2）2222 2. 答案：2 2 三、解答題 9.用兩平行面去截球，如圖，在兩個(gè)截面圓上有兩個(gè)點(diǎn)，它們的球坐標(biāo)分別為A8，4，A、B8，34，B，求出這兩個(gè)截面間的距離 解：在OO1A中，由球坐標(biāo)知AOO14，|OA|8， 所以|OO1|8cos AOO18224 2， 同理在OO2B中，|OB|8，O2OB4， 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 所以|OO2|4 2，所以|O1O2|8 2， 所以兩個(gè)截面間的距離為 8 2. 10設(shè)地球的半徑為R，在球坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(R， 45，70)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(R，45，160)，求A，B兩點(diǎn)間的球面距離 解：設(shè)緯度圈的圓心為O，地球球心為O，如圖，OAOBR，由點(diǎn)A，B的球坐標(biāo)可知，BOO45，AOO45，這兩個(gè)點(diǎn)都在北緯 904545圈上 則xOQ70，xOH160， 所以AOB1607090. 因?yàn)镺BR，OBOA22R， 所以ABR.則AOBOABR. 所以AOB60，AB162R13R. 即A，B兩點(diǎn)間的球面距離為13R. B 級(jí) 能力提升 1點(diǎn)M的球坐標(biāo)為(r，)，(0，)，則其關(guān)于點(diǎn)(0，0，0)的對(duì)稱點(diǎn)的球坐標(biāo)為_ 答案：(r，) 2以地球中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，地球赤道平面為Oxy坐標(biāo)面，由原點(diǎn)指向北極點(diǎn)的連線方向?yàn)閦軸正向，本初子午線所在平面為Ozx坐標(biāo)面，如圖所示，若某地在西經(jīng) 60，南緯45，地球的半徑為R，則該地的球坐標(biāo)可表示為_ 解析：由球坐標(biāo)的定義可知，該地的球坐標(biāo)為R，34，53. 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 答案：R，34，53 3在柱坐標(biāo)系中，求滿足1，02，的動(dòng)點(diǎn)M（，z）0z2圍成的幾何體的體積 解：根據(jù)柱坐標(biāo)系與點(diǎn)的柱坐標(biāo)的意義可知，滿足1，02，0z2 的動(dòng)點(diǎn)M(，z)的軌跡如圖所示，是以直線Oz為軸、軸截面為正方形的圓柱，圓柱的底面半徑r1，h2， 所以VShr2h2.