高中數(shù)學 第二章 參數(shù)方程 四 漸開線與擺線高效演練 新人教A版選修44

我 國 經(jīng) 濟 發(fā) 展 進 入 新 常 態(tài) ， 需 要 轉(zhuǎn) 變 經(jīng) 濟 發(fā) 展 方 式 ， 改 變 粗 放 式 增 長 模 式 ， 不 斷 優(yōu) 化 經(jīng) 濟 結(jié) 構(gòu) ， 實 現(xiàn) 經(jīng) 濟 健 康 可 持 續(xù) 發(fā) 展 進 區(qū) 域 協(xié) 調(diào) 發(fā) 展 ， 推 進 新 型 城 鎮(zhèn) 化 ， 推 動 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 一 體 化 因 ： 我 國 經(jīng) 濟 發(fā) 展 還 面 臨 區(qū) 域 發(fā) 展 不 平 衡 、 城 鎮(zhèn) 化 水 平 不 高 、 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 不 平 衡 不 協(xié) 調(diào) 等 現(xiàn) 實 挑 戰(zhàn) 。 我 國 經(jīng) 濟 發(fā) 展 進 入 新 常 態(tài) ， 需 要 轉(zhuǎn) 變 經(jīng) 濟 發(fā) 展 方 式 ， 改 變 粗 放 式 增 長 模 式 ， 不 斷 優(yōu) 化 經(jīng) 濟 結(jié) 構(gòu) ， 實 現(xiàn) 經(jīng) 濟 健 康 可 持 續(xù) 發(fā) 展 進 區(qū) 域 協(xié) 調(diào) 發(fā) 展 ， 推 進 新 型 城 鎮(zhèn) 化 ， 推 動 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 一 體 化 因 ： 我 國 經(jīng) 濟 發(fā) 展 還 面 臨 區(qū) 域 發(fā) 展 不 平 衡 、 城 鎮(zhèn) 化 水 平 不 高 、 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 不 平 衡 不 協(xié) 調(diào) 等 現(xiàn) 實 挑 戰(zhàn) 。 四、漸開線與擺線四、漸開線與擺線 A 級 基礎鞏固 一、選擇題 1關(guān)于漸開線和擺線的敘述，正確的是( ) A只有圓才有漸開線 B漸開線和擺線的定義是一樣的，只是繪圖的方法不一樣，所以才能得到不同的圖形 C正方形也可以有漸開線 D對于同一個圓，如果建立的直角坐標系的位置不同，那么畫出的漸開線形狀就不同 解析：本題容易錯選 A.漸開線不是圓獨有的，其他圖形，例如橢圓、正方形也有漸開線和擺線的定義雖然在字面上有相似之處， 但是它們的實質(zhì)是完全不一樣的， 因此得出的圖形也不相同對于同一個圓，不論在什么地方建立直角坐標系，畫出的漸開線的大小和形狀都是一樣的，只是方程的形式及圖形在坐標系中的位置可能不同 答案：C 2直徑為 12 的圓的擺線的參數(shù)方程是( ) A.x66sin ，y66cos (為參數(shù)) B.x6sin ，y6cos (為參數(shù)) C.x66cos ，y66sin (為參數(shù)) D.x6cos ，y6sin (為參數(shù)) 解析：因為 2r12.所以r6.所以該圓的擺線的參數(shù)方程為x66sin ，y66cos (為參數(shù))故選 A. 答案：A 3下列各點中，在圓的擺線xsin ，y1cos (為參數(shù))上的是( ) A(，0) B(，1) C(2，2) D(2，0) 答案：B 4圓x3cos ，y3sin (為參數(shù))的平擺線上一點的縱坐標為 0，那么其橫坐標可能是我 國 經(jīng) 濟 發(fā) 展 進 入 新 常 態(tài) ， 需 要 轉(zhuǎn) 變 經(jīng) 濟 發(fā) 展 方 式 ， 改 變 粗 放 式 增 長 模 式 ， 不 斷 優(yōu) 化 經(jīng) 濟 結(jié) 構(gòu) ， 實 現(xiàn) 經(jīng) 濟 健 康 可 持 續(xù) 發(fā) 展 進 區(qū) 域 協(xié) 調(diào) 發(fā) 展 ， 推 進 新 型 城 鎮(zhèn) 化 ， 推 動 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 一 體 化 因 ： 我 國 經(jīng) 濟 發(fā) 展 還 面 臨 區(qū) 域 發(fā) 展 不 平 衡 、 城 鎮(zhèn) 化 水 平 不 高 、 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 不 平 衡 不 協(xié) 調(diào) 等 現(xiàn) 實 挑 戰(zhàn) 。 我 國 經(jīng) 濟 發(fā) 展 進 入 新 常 態(tài) ， 需 要 轉(zhuǎn) 變 經(jīng) 濟 發(fā) 展 方 式 ， 改 變 粗 放 式 增 長 模 式 ， 不 斷 優(yōu) 化 經(jīng) 濟 結(jié) 構(gòu) ， 實 現(xiàn) 經(jīng) 濟 健 康 可 持 續(xù) 發(fā) 展 進 區(qū) 域 協(xié) 調(diào) 發(fā) 展 ， 推 進 新 型 城 鎮(zhèn) 化 ， 推 動 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 一 體 化 因 ： 我 國 經(jīng) 濟 發(fā) 展 還 面 臨 區(qū) 域 發(fā) 展 不 平 衡 、 城 鎮(zhèn) 化 水 平 不 高 、 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 不 平 衡 不 協(xié) 調(diào) 等 現(xiàn) 實 挑 戰(zhàn) 。 ( ) A B3 C6 D10 解析：根據(jù)條件可知圓的平擺線的參數(shù)方程為 x33sin ，y33cos (為參數(shù))，把y0 代入，得 cos 1，所以2k(kZ)，故x33sin 6k(kZ) 答案：C 5已知一個圓的參數(shù)方程為x3cos ，y3sin (為參數(shù))，那么圓的擺線方程中與參數(shù)2對應的點A與點B32，2 之間的距離為( ) A.21 B. 2 C. 10 D. 321 解析：根據(jù)圓的參數(shù)方程可知，圓的半徑為 3，那么它的擺線的參數(shù)方程為x3（sin ），y3（1cos ）(為參數(shù))，把2代入?yún)?shù)方程中可得x321 ，y3， 即A321 ，3 ， 所以|AB| 321 322（32）2 10. 答案：C 二、填空題 6已知一個圓的擺線的參數(shù)方程是x33sin ，y33cos (為參數(shù))，則該擺線一個拱的高度是_；一個拱的跨度為_ 解析：當時，y33cos 6 為拱高；當2時，x323sin 26為跨度 答案：6 6 7已知圓的漸開線的參數(shù)方程是xcos sin ，ysin cos (為參數(shù))，則此漸開線對應的基圓的直徑是_，當參數(shù)4時對應的曲線上的點的坐標為_ 解析：圓的漸開線的參數(shù)方程由圓的半徑唯一確定，從方程不難看出基圓的半徑為 1，故直徑為 2.把4代入曲線的參數(shù)方程，得x2228，y2228，由此可得對我 國 經(jīng) 濟 發(fā) 展 進 入 新 常 態(tài) ， 需 要 轉(zhuǎn) 變 經(jīng) 濟 發(fā) 展 方 式 ， 改 變 粗 放 式 增 長 模 式 ， 不 斷 優(yōu) 化 經(jīng) 濟 結(jié) 構(gòu) ， 實 現(xiàn) 經(jīng) 濟 健 康 可 持 續(xù) 發(fā) 展 進 區(qū) 域 協(xié) 調(diào) 發(fā) 展 我 國 經(jīng) 濟 發(fā) 展 進 入 新 常 態(tài) ， 需 要 轉(zhuǎn) 變 經(jīng) 濟 發(fā) 展 方 式 ， 改 變 粗 放 式 增 長 模 式 ， 不 斷 優(yōu) 化 經(jīng) 濟 結(jié) 構(gòu) ， 實 現(xiàn) 經(jīng) 濟 健 康 可 持 續(xù) 發(fā) 展 進 區(qū) 域 協(xié) 調(diào) 發(fā) 展 ， 推 進 新 型 城 鎮(zhèn) 化 ， 推 動 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 一 體 化 因 ： 我 國 經(jīng) 濟 發(fā) 展 還 面 臨 區(qū) 域 發(fā) 展 不 平 衡 、 城 鎮(zhèn) 化 水 平 不 高 、 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 不 平 衡 不 協(xié) 調(diào) 等 現(xiàn) 實 挑 戰(zhàn) 。 ， 推 進 新 型 城 鎮(zhèn) 化 ， 推 動 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 一 體 化 因 ： 我 國 經(jīng) 濟 發(fā) 展 還 面 臨 區(qū) 域 發(fā) 展 不 平 衡 、 城 鎮(zhèn) 化 水 平 不 高 、 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 不 平 衡 不 協(xié) 調(diào) 等 現(xiàn) 實 挑 戰(zhàn) 。 應的坐標為2228，2228. 答案：2 2228，2228 8已知圓的方程為x2y24，點P為其漸開線上的一點，對應的參數(shù)2，則點P的坐標為_ 解析：由題意，圓的半徑r2，其漸開線的參數(shù)方程為x2（cos sin ），y2（sin cos ）(為參數(shù)) 當2時，x，y2，故點P的坐標為P(，2) 答案：(，2) 三、解答題 9已知漸開線的參數(shù)方程是x2（cos sin ），y2（sin cos ）(為參數(shù))，求當參數(shù)為2和時對應的漸開線上的兩點A、B之間的距離 解：當2時，x，y2，當時，x2，y2， 所以A(，2)，B(2，2)， 所以|AB| （2）2（22）2 5248. 10漸開線方程為x6（cos sin ），y6（sin cos ）(為參數(shù))的基圓的圓心在原點，把基圓的橫坐標伸長為原來的 2 倍得到曲線C，求曲線C的方程，及焦點坐標 解：由漸開線方程可知，基圓的半徑為 6，則圓的方程為x2y236. 把橫坐標伸長到原來的 2 倍，得到橢圓方程x24y236，即x2144y2361， 對應的焦點坐標為(6 3，0)和(6 3，0) B 級 能力提升 1.如圖，ABCD是邊長為 1 的正方形，曲線AEFGH叫作“正方形的漸開線”，其中AE、EF、FG、GH的圓心依次按B、C、D、A循環(huán)，它們依次相連接，則曲線AEFGH長是( ) 我 國 經(jīng) 濟 發(fā) 展 進 入 新 常 態(tài) ， 需 要 轉(zhuǎn) 變 經(jīng) 濟 發(fā) 展 方 式 ， 改 變 粗 放 式 增 長 模 式 ， 不 斷 優(yōu) 化 經(jīng) 濟 結(jié) 構(gòu) ， 實 現(xiàn) 經(jīng) 濟 健 康 可 持 續(xù) 發(fā) 展 進 區(qū) 域 協(xié) 調(diào) 發(fā) 展 ， 推 進 新 型 城 鎮(zhèn) 化 ， 推 動 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 一 體 化 因 ： 我 國 經(jīng) 濟 發(fā) 展 還 面 臨 區(qū) 域 發(fā) 展 不 平 衡 、 城 鎮(zhèn) 化 水 平 不 高 、 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 不 平 衡 不 協(xié) 調(diào) 等 現(xiàn) 實 挑 戰(zhàn) 。 我 國 經(jīng) 濟 發(fā) 展 進 入 新 常 態(tài) ， 需 要 轉(zhuǎn) 變 經(jīng) 濟 發(fā) 展 方 式 ， 改 變 粗 放 式 增 長 模 式 ， 不 斷 優(yōu) 化 經(jīng) 濟 結(jié) 構(gòu) ， 實 現(xiàn) 經(jīng) 濟 健 康 可 持 續(xù) 發(fā) 展 進 區(qū) 域 協(xié) 調(diào) 發(fā) 展 ， 推 進 新 型 城 鎮(zhèn) 化 ， 推 動 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 一 體 化 因 ： 我 國 經(jīng) 濟 發(fā) 展 還 面 臨 區(qū) 域 發(fā) 展 不 平 衡 、 城 鎮(zhèn) 化 水 平 不 高 、 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 不 平 衡 不 協(xié) 調(diào) 等 現(xiàn) 實 挑 戰(zhàn) 。 A3 B4 C5 D6 解析： 根據(jù)漸開線的定義可知，AE是半徑為 1 的14圓周長， 長度為2， 繼續(xù)旋轉(zhuǎn)可得EF是半徑為 2 的14圓周長，長度為 ；FG是半徑為 3 的14圓周長，長度為32；GH是半徑為 4 的14圓周長，長度為 2.所以曲線AEFGH的長是 5. 答案：C 2擺線x4（tsin t），y4（1cos t）(t為參數(shù)，0t2)與直線y4 的交點的直角坐標為_ 解析：由題設得 44(1cos t)得 cos t0. 因為t0，2)，所以t12，t232，代入?yún)?shù)方程得到對應的交點的坐標為(24，4)，(64，4) 答案：(24，4)，(64，4) 3已知圓C的參數(shù)方程x16cos ，y26sin (為參數(shù))和直線l的普通方程xy6 20. (1)如果把圓心平移到原點O，那么平移后圓和直線滿足什么關(guān)系？ (2)根據(jù)(1)中的條件，寫出平移后的圓的擺線方程 解：(1)圓C平移后圓心為O(0，0)，它到直線xy6 20 的距離d6 226，恰好等于圓的半徑，所以直線和圓是相切的 (2)由于圓的半徑是 6，所以可得擺線的方程是 x6（sin ），y6（1cos ）(為參數(shù))