線性空間與線性變換(重要).ppt

第三章線性空間與線性變換,3.1線性空間的定義與性質(zhì),0,數(shù)軸,平面,三維空間,常見(jiàn)的幾何空間：,幾何空間R3的運(yùn)算,運(yùn)算規(guī)律,加法：,數(shù)乘：,對(duì)幾何空間進(jìn)行推廣，通過(guò)抽象出幾何空間線性運(yùn)算的本質(zhì)；在任意研究對(duì)象的集合上定義具有線性運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)。,線性空間,若對(duì)于任一數(shù)與任一元素，總有唯一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，稱(chēng)為與的積，記作,定義設(shè)是一個(gè)非空集合，為一個(gè)數(shù)域如果對(duì)于任意兩個(gè)元素，總有唯一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，稱(chēng)為與的和，記作,如果上述的兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律:,那么就稱(chēng)為數(shù)域上的線性空間,2判別線性空間的方法：一個(gè)集合，對(duì)于定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不封閉，或者運(yùn)算不滿足八條性質(zhì)的任一條，則此集合就不能構(gòu)成線性空間,注,1凡滿足以上八條規(guī)律的加法及數(shù)乘運(yùn)算，稱(chēng)為線性運(yùn)算,特別地，當(dāng)集合中定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算是通常的實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算，則只需檢驗(yàn)對(duì)運(yùn)算的封閉性,例1實(shí)數(shù)域上的全體矩陣，對(duì)矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間，記作,注,加法：,數(shù)乘:,例3全體正實(shí)數(shù)R+,定義加法和數(shù)量乘法如下：,解：,零元為常數(shù)1,故在該加法和數(shù)乘運(yùn)算下，對(duì)應(yīng)集合構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間。,負(fù)元為1/a,注：線性空間的元素統(tǒng)稱(chēng)為“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩陣、多項(xiàng)式、函數(shù)等.,線性空間的簡(jiǎn)單性質(zhì)：零元素是唯一的；負(fù)元素是唯一的；0=0;k0=0;(-1)=-；如果k=0,那么k=0或=0。,01=01+02=02,-1=(-1)+0=(-1)+(+(-2),=(-1)+)+(-2)=0+(-2)=-2,3.4線性子空間,對(duì)三維幾何空間：,任何過(guò)原點(diǎn)的平面是R3的子集,在該平面上的所有向量對(duì)于向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)二維的線性空間。,線性子空間,定義：設(shè)W是數(shù)域F上線性空間V的非空子集合.如果W中的向量對(duì)V中所定義的向量加法和數(shù)乘運(yùn)算也構(gòu)成F上的線性空間，則稱(chēng)W為V的線性子空間,簡(jiǎn)稱(chēng)子空間.,定理:W是V的非空子集合，則W是V的子空間的充要條件是,V的子空間,注,V和零子空間是V的平凡子空間；,其它子空間稱(chēng)為V的真子空間.,生成子空間,3.2向量的線性相關(guān)性,如果線性空間V以通常的向量作為元素，即V中含有無(wú)窮多個(gè)向量。如何用有限個(gè)向量刻劃空間中的所有向量？需要討論向量間的關(guān)系.,如三維幾何空間：,線性組合與線性表示,設(shè)V是數(shù)域F上的一個(gè)線性空間，是V中的一組向量，是數(shù)域F中的數(shù)，那么向量,稱(chēng)為向量的一個(gè)線性組合，有時(shí)也稱(chēng)向量可以由線性表示。,例1:,線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān),設(shè)V是數(shù)域F上的一個(gè)線性空間，且如果在數(shù)域F中存在s個(gè)不全為零的數(shù),使得,則稱(chēng)向量組線性相關(guān).,否則稱(chēng)向量組線性無(wú)關(guān)，即若,則必有,進(jìn)一步來(lái)理解向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān),考慮等式,注：(1)給定向量組，該向量組要么線性相關(guān)，要么線性無(wú)關(guān)。,(2)含有零向量的向量組一定線性相關(guān)。,(3)向量組只包含一個(gè)向量時(shí)：,若,則說(shuō)線性相關(guān)；,若,則說(shuō)線性無(wú)關(guān)。,解：令,即,故,解：令,即,系數(shù)矩陣為方陣,故方程組Ax=0存在非零解.即線性相關(guān).,即r(A)=2<3，故Ax=0存在非零解.,另解：,同理，對(duì),令,即,故線性無(wú)關(guān).,注：向量組只包含兩個(gè)非零向量時(shí)，則,定理1n維列向量組線性相關(guān)的充要條件是r(A)<s，其中,線性相關(guān)性的判定,推論n個(gè)n維列向量組線性相關(guān)的充要條件是|A|=0，其中,注：若給定的是行向量組，需要將其轉(zhuǎn)化成列向量組。,例5設(shè),判斷是線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān)？,解,故r(A)=3<5,28,證,定理2向量組線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個(gè)向量可以由其他向量線性表示.,定理3,線性相關(guān),線性相關(guān),定理4,線性無(wú)關(guān),線性相關(guān),部分相關(guān),則整體相關(guān);,整體無(wú)關(guān),則部分無(wú)關(guān).,向量組的等價(jià),性質(zhì),定理1下列命題等價(jià),(1),(2)C的行向量組可由B的行向量組線性表示,(3)C的列向量組可由A的列向量組線性表示,推論1矩陣A經(jīng)過(guò)初等行(列)變換化為B,則,A的行(列)向量組與B的行(列)向量組等價(jià)。,定理2若向量組線性無(wú)關(guān)，且可由線性表示，則,推論2等價(jià)的線性無(wú)關(guān)向量組必含有相同個(gè)數(shù)的向量.,3.4線性子空間,對(duì)三維幾何空間：,任何過(guò)原點(diǎn)的平面是R3的子集,在該平面上的所有向量對(duì)于向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)二維的線性空間。,線性子空間,定義：設(shè)W是數(shù)域F上線性空間V的非空子集合.如果W中的向量對(duì)V中所定義的向量加法和數(shù)乘運(yùn)算也構(gòu)成F上的線性空間，則稱(chēng)W為V的線性子空間,簡(jiǎn)稱(chēng)子空間.,定理:W是V的非空子集合，則W是V的子空間的充要條件是,V的子空間,注,V和零子空間是V的平凡子空間；,其它子空間稱(chēng)為V的真子空間.,生成子空間,如果線性空間中含有無(wú)窮多個(gè)向量。如何找出有限個(gè)向量刻劃空間中的所有向量？,如三維幾何空間：,3.4線性子空間,基、維數(shù)和坐標(biāo),注:(1)規(guī)定V=為零維空間.(2)有限維線性空間V的基不唯一.,向量組的秩,(一)：若以的部分組為基,尋基求秩的過(guò)程,明確向量組線性關(guān)系的過(guò)程,(找最大線性無(wú)關(guān)組的過(guò)程),43,解,繼續(xù)行變換,(行最簡(jiǎn)形),總結(jié)：求列向量組最大線性無(wú)關(guān)組或生成子空間,的基：,(1)將向量按列寫(xiě)成矩陣：,(2)用初等行變換將矩陣化為行階梯形；,(3)行階梯形非零行的行數(shù)r即為空間的維數(shù)；,(4)如果行階梯形每個(gè)非零行的首非零元對(duì)應(yīng)列指標(biāo)為，則,(5)若要明確其他向量和最大無(wú)關(guān)組的線性關(guān)系，需繼續(xù)進(jìn)行行變換將矩陣化為行最簡(jiǎn)形.,注：若生成向量組為行向量組，則可以轉(zhuǎn)置為列向量組，選取部分組為對(duì)應(yīng)子空間的基.,轉(zhuǎn)置不改變行向量組的線性關(guān)系。,(二)：若不以的部分組為基,則需要找與等價(jià)的線性無(wú)關(guān)向量組,(二)：若不以的部分組為基,Recall推論矩陣A經(jīng)過(guò)初等行(列)變換化為B,則,A的行(列)向量組與B的行(列)向量組等價(jià)。,初等行變換,(行階梯形),解：,行變換,故,是所求空間的一組基.,矩陣的行秩與列秩,給定矩陣A，,稱(chēng)矩陣A的行向量組生成的子空間R(A),對(duì)應(yīng)空間的維數(shù)為矩陣的行秩；,稱(chēng)矩陣A的列向量組生成的子空間C(A)，對(duì)應(yīng)空間的維數(shù)為矩陣的列秩.,回顧：求列向量組生成子空間的維數(shù)：,(1)將向量按列寫(xiě)成矩陣：,(2)用初等行變換將矩陣化為行階梯形；,(3)行階梯形非零行的行數(shù)即為空間的維數(shù)。,初等行變換,行向量組：,(行秩=矩陣的秩),(列秩=矩陣的秩),3.6歐氏空間,對(duì)三維幾何空間：,定義了向量長(zhǎng)度，向量夾角,線性空間中對(duì)向量如何度量？,向量的內(nèi)積,向量的長(zhǎng)度與夾角,歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基,59,得,即,解：,施密特正交化,61,例2.用施密特正交化方法,將向量組,化成標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.,先正交化：,取,解：,62,再單位化：,得規(guī)范正交向量組如下,63,證明,定理,A為正交矩陣的充要條件是A的列(行)向量,都是單位向量且兩兩正交.,正交矩陣,64,例3.判別下列矩陣是否為正交陣,所以它不是正交矩陣,(1)考察矩陣的第一列和第二列,由于,65,所以它是正交矩陣,(2)由于,66,有關(guān)正交矩陣的一些結(jié)論:,設(shè)A,B都是n階正交矩陣,則,