高中數學 第三章 統(tǒng)計案例章末復習學案 新人教A版選修23

第三章 統(tǒng)計案例章末復習學習目標1.會求線性回歸方程，并用回歸直線進行預報.2.理解獨立性檢驗的基本思想及實施步驟1最小二乘法對于一組數據(xi，yi)，i1,2，n，如果它們線性相關，則線性回歸方程為x，其中， .222列聯表22列聯表如表所示：B總計Aababcdcd總計acbdn其中nabcd為樣本容量3獨立性檢驗常用隨機變量K2來檢驗兩個變量是否有關系類型一回歸分析例1(2016全國改編)如圖是我國2008年到2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖注：年份代碼17分別對應年份20082014(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數加以說明；(2)建立y關于t的回歸方程(系數精確到0.01)，預測2019年我國生活垃圾無害化處理量附注：參考數據：i9.32，iyi40.17, 0.55，2.646.參考公式：相關系數r，回歸方程t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：， .考點線性回歸分析題點線性回歸方程的應用解(1)由折線圖中數據和附注中參考數據得4，(ti)228, 0.55，(ti)(yi)iyii40.1749.322.89，r0.99.因為y與t的相關系數近似為0.99，說明y與t的線性相關程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關系(2)由1.331及(1)得0.103，1.3310.10340.92.所以y關于t的回歸方程為0.920.10t.將2019年對應的t12代入回歸方程得0.920.10122.12.所以預測2019年我國生活垃圾無害化處理量約為2.12億噸反思與感悟解決回歸分析問題的一般步驟(1)畫散點圖根據已知數據畫出散點圖(2)判斷變量的相關性并求回歸方程通過觀察散點圖，直觀感知兩個變量是否具有相關關系；在此基礎上，利用最小二乘法求回歸系數，然后寫出回歸方程(3)回歸分析畫殘差圖或計算R2，進行殘差分析(4)實際應用依據求得的回歸方程解決實際問題跟蹤訓練1經分析預測，美國通用汽車等10家大公司的銷售總額xi(i1,2，10，單位：百萬美元)與利潤yi(i1,2，10，單位：百萬美元)的近似線性關系為0.026x，經統(tǒng)計i623 090，i29 300.(1)求；(2)若通用汽車公司的銷售總額x1126 974(百萬美元)，殘差1387，估計通用汽車的利潤；(3)福特公司的銷售總額為96 933百萬美元，利潤為3 835，比較通用汽車公司與福特公司利潤的解釋變量對于預報變量變化的貢獻率說明了什么？(以上答案精確到個位)考點殘差分析與相關指數題點殘差及相關指數的應用解(1)由i623 090，i29 300，得樣本點中心為(62 309,2 930)，所以2 9300.02662 3091 310.(2)由(1)知0.026x1 310，當x1126 974時，10.026126 9741 3104 611，所以y1114 611(387)4 224，估計通用汽車公司的利潤為4 224百萬美元(3)由(1)(2)可得通用汽車公司利潤的解釋變量對于預報變量變化的貢獻率為R，則R110.91191.1%.設福特公司利潤的解釋變量對于預報變量變化的貢獻率為R，由0.026x1 310得20.02696 9331 3103 830，則R110.999 9799.997%.由RR知，用0.026x1 310作為解釋變量與預報變量的關系，預報通用汽車公司的效果沒有預報福特公司的效果好，或者說預報通用汽車公司的精確度低于預報福特公司的精確度類型二獨立性檢驗例2奧運會期間，為調查某高校學生是否愿意提供志愿者服務，用簡單隨機抽樣方法從該校調查了60人，結果如下：是否愿意提供志愿者服務性別愿意不愿意男生2010女生1020(1)用分層抽樣的方法在愿意提供志愿者服務的學生中抽取6人，其中男生抽取多少人？(2)你能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為該校高中生是否愿意提供志愿者服務與性別有關？下面的臨界值表供參考：P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828獨立性檢驗統(tǒng)計量K2，其中nabcd.考點獨立性檢驗思想的應用題點分類變量與統(tǒng)計、概率的綜合性問題解(1)由題意，男生抽取64(人)(2)K26.667，由于6.6676.635，所以能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為該校高中生是否愿意提供志愿者服務與性別有關反思與感悟獨立性檢驗問題的求解策略(1)等高條形圖法：依據題目信息畫出等高條形圖，依據頻率差異來粗略地判斷兩個變量的相關性(2)通過公式K2先計算觀測值k，再與臨界值表作比較，最后得出結論跟蹤訓練2某學生對其親屬30人的飲食習慣進行了一次調查，并用莖葉圖表示30人的飲食指數，如圖所示(說明：圖中飲食指數低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數高于70的人，飲食以肉類為主)(1)根據莖葉圖，幫助這位同學說明其親屬30人的飲食習慣；(2)根據以上數據完成下列22列聯表；主食蔬菜主食肉類合計50歲以下50歲以上總計 (3)在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，是否能認為“其親屬的飲食習慣與年齡有關”？考點獨立性檢驗思想的應用題點獨立性檢驗在分類變量中的應用解(1)30位親屬中50歲以上的人多以食蔬菜為主，50歲以下的人多以食肉類為主(2)22列聯表如表所示：主食蔬菜主食肉類合計50歲以下481250歲以上16218總計 201030(3)K210>6.635，故在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“其親屬的飲食習慣與年齡有關”1甲、乙、丙、丁四位同學各自對A，B兩變量進行線性相關檢驗，并用回歸分析方法分別求得相關系數r如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85則這四位同學的試驗結果能體現出A，B兩變量有更強的線性相關性的是()A甲 B乙C丙 D丁考點線性相關系數題點線性相關系數的應用答案D解析由相關系數的意義可知，相關系數的絕對值越接近于1，相關性越強，結合題意可知丁的線性相關性更強故選D.2為了解高中生作文成績與課外閱讀量之間的關系，某研究機構隨機抽取了60名高中生，通過問卷調查，得到以下數據：作文成績優(yōu)秀作文成績一般總計課外閱讀量較大221032課外閱讀量一般82028總計303060由以上數據，計算得到K2的觀測值k9.643，根據臨界值表，以下說法正確的是()A沒有充足的理由認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關B有0.5%的把握認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關C有99.9%的把握認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關D有99.5%的把握認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關考點獨立性檢驗及其基本思想題點獨立性檢驗的方法答案D解析根據臨界值表，10.828>9.643>7.879，在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關，即有99.5%的把握認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關3某化妝品公司為了增加其商品的銷售利潤，調查了該商品投入的廣告費用x與銷售利潤y的統(tǒng)計數據如下表：廣告費用x(萬元)2356銷售利潤y(萬元)57911由表中數據，得線性回歸方程l：x，則下列結論正確的是()A.0 B.0C直線l過點(4,8) D直線l過點(2,5)考點線性回歸方程題點樣本點中心的應用答案C解析因為1.40，81.442.40，所以排除A，B；因為1.4x2.4，所以1.422.45.25，所以點(2,5)不在直線l上，所以排除D；因為4，8，所以回歸直線l過樣本點的中心(4,8)，故選C.4在西非肆虐的“埃博拉病毒”的傳播速度很快，這已經成為全球性的威脅為了考察某種埃博拉病毒疫苗的效果，現隨機抽取100只小鼠進行試驗，得到如下列聯表：感染未感染總計服用104050未服用203050總計3070100附表：P(K2k0)0.100.050.025k02.7063.8415.024參照附表，在犯錯誤的概率不超過_(填百分比)的前提下，認為“小鼠是否被感染與服用疫苗有關”考點獨立性檢驗及其基本思想題點獨立性檢驗的方法答案5%解析K2的觀測值k4.7623.841，所以在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為“小鼠是否被感染與服用疫苗有關”5對于線性回歸方程x，當x3時，對應的y的估計值是17，當x8時，對應的y的估計值是22，那么，該線性回歸方程是_，根據線性回歸方程判斷當x_時，y的估計值是38.考點線性回歸分析題點線性回歸方程的應用答案x1424解析首先把兩組值代入線性回歸方程，得解得所以線性回歸方程是x14.令x1438，可得x24，即當x24時，y的估計值是38.1.建立回歸模型的基本步驟：(1)確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預報變量(2)畫出散點圖，觀察它們之間的關系(3)由經驗確定回歸方程的類型(4)按照一定的規(guī)則估計回歸方程中的參數(5)得出結果后分析殘差圖是否有異常2獨立性檢驗是利用隨機變量K2來判斷兩個分類變量間是否存在相關關系的方法，常用的直觀方法為等高條形圖，等高條形圖由于是等高的，因此它能直觀地反映兩個分類變量之間的差異的大小，而利用假設的思想方法，計算出某一個隨機變量K2的值來判斷更精確些一、選擇題1有人收集了春節(jié)期間平均氣溫x與某取暖商品銷售額y的有關數據如表：平均氣溫()2356銷售額(萬元)20232730則該商品銷售額與平均氣溫有()A確定性關系 B正相關關系C負相關關系 D函數關系考點回歸分析題點回歸分析的概念和意義答案C解析根據春節(jié)期間平均氣溫x與某取暖商品銷售額y的有關數據知，y隨x的減小而增大，是負相關關系，故選C.2如果K2的觀測值為8.654，可以認為“x與y無關”的可信度為()A99.5% B0.5%C99% D1%考點獨立性檢驗及其基本思想題點獨立性檢驗的方法答案B解析8.6547.879，x與y無關的可信度為0.5%.3下面的等高條形圖可以說明的問題是()A“心臟搭橋”手術和“血管清障”手術對“誘發(fā)心臟病”的影響是絕對不同的B“心臟搭橋”手術和“血管清障”手術對“誘發(fā)心臟病”的影響沒有什么不同C此等高條形圖看不出兩種手術有什么不同的地方D“心臟搭橋”手術和“血管清障”手術對“誘發(fā)心臟病”的影響在某種程度上是不同的，但是沒有100%的把握考點定性分析的兩類方法題點利用圖形定性分析答案D解析由等高條形圖可知選項D正確4為了了解疾病A是否與性別有關，在某醫(yī)院隨機地對入院的50人進行了問卷調查，得到了如下的列聯表：患疾病A不患疾病A總計男20525女101525總計302050則認為疾病A與性別有關的把握約為()A95% B99%C99.5% D99.9%考點獨立性檢驗及其基本思想題點獨立性檢驗的方法答案C解析由公式得K28.3337.879，故有(10.005)100%99.5%的把握認為疾病A與性別有關5某考察團對全國10大城市進行職工人均工資水平x(單位：千元)與居民人均消費水平y(tǒng)(單位：千元)統(tǒng)計調查，y與x具有線性相關關系，回歸方程為0.66x1.562.若某城市居民人均消費水平為7.675千元，估計該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為()A83% B72%C67% D66%考點線性相關系數題點線性相關系數的應用答案A解析將y7.675代入回歸方程，可計算得x9.26，所以該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為7.6759.260.83，即約為83%.6考察棉花種子經過處理與生病之間的關系，得到下表中的數據：種子處理種子未處理總計得病32101133不得病61213274總計93314407根據以上數據可得出()A種子是否經過處理與是否生病有關B種子是否經過處理與是否生病無關C種子是否經過處理決定是否生病D有90%的把握認為種子經過處理與生病有關考點獨立性檢驗及其基本思想題點獨立性檢驗的方法答案B解析k0.164<0.455，即沒有充足的理由認為種子是否經過處理跟生病有關7為預測某種產品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之間的相關關系，現取了8組觀察值計算知i52，i228，478，iyi1 849，則y關于x的回歸方程是()A.11.472.62xB.11.472.62xC.2.6211.47xD.11.472.62x考點線性回歸分析題點線性回歸方程的應用答案A解析由， ，直接計算得2.62，11.47，所以線性回歸方程為2.62x11.47.8若對于變量y與x的10組統(tǒng)計數據的回歸模型中，相關指數R20.95，又知殘差平方和為120.53，那么(yi)2的值為()A241.06 B2 410.6C253.08 D2 530.8考點殘差分析與相關指數題點殘差及相關指數的應用答案B解析設總偏差平方和為x，根據公式R21，有0.951，x2 410.6，故選B.二、填空題9在研究氣溫和熱茶銷售杯數的關系時，若求得相關指數R20.85，則表明氣溫解釋了_的熱茶銷售杯數變化，而隨機誤差貢獻了剩余的_，所以氣溫對熱茶銷售杯數的效應比隨機誤差的效應大得多考點殘差分析與相關指數題點殘差及相關指數的應用答案85%15%解析由相關指數R2的意義可知，R20.85表明氣溫解釋了85%，而隨機誤差貢獻了剩余的15%.10為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行5次試驗，得到5組數據(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)根據收集到的數據可知x1x2x3x4x5150，由最小二乘法求得線性回歸方程為0.67x54.9，則y1y2y3y4y5的值為_考點線性回歸方程題點樣本點中心的應用答案375解析由題意，得(x1x2x3x4x5)30，且回歸直線0.67x54.9恒過點(，)，則0.673054.975，所以y1y2y3y4y55375.11在研究性別與吃零食這兩個分類變量是否有關系時，下列說法中正確的是_若K2的觀測值k6.635，則我們在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為吃零食與性別有關系，那么在100個吃零食的人中必有99人是女性；由獨立性檢驗可知在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為吃零食與性別有關系時，如果某人吃零食，那么此人是女性的可能性為99%；由獨立性檢驗可知在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為吃零食與性別有關系時，是指每進行100次這樣的推斷，平均有1次推斷錯誤考點獨立性檢驗及其基本思想題點獨立性檢驗的思想答案解析K2的觀測值是支持確定有多大把握認為“兩個分類變量吃零食與性別有關系”的隨機變量值，所以由獨立性檢驗可知在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為吃零食與性別有關系時，是指每進行100次這樣的推斷，平均有1次推斷錯誤，故填.三、解答題12如表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生產能耗y(噸標準煤)的幾組對照數據.x3456y2.5344.5(1)請畫出如表數據的散點圖；(2)請根據如表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程x；(3)已知該廠技改前100噸甲產品的生產能耗為90噸標準煤試根據(2)求出的線性回歸方程，預測生產100噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤？考點線性回歸分析題點線性回歸方程的應用解(1)由題設所給數據，可得散點圖如圖(2)由數據，計算得：86，4.5，3.5，iyi66.5，所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數為0.7，3.50.74.50.35，因此，所求的線性回歸方程為0.7x0.35.(3)由(2)中的線性回歸方程及技改前生產100噸甲產品的生產能耗，得降低的生產能耗為90(0.71000.35)19.65(噸標準煤)四、探究與拓展13對某臺機器購置后的運營年限x(x1,2,3，)與當年利潤y的統(tǒng)計分析知具備線性相關關系，線性回歸方程為10.471.3x，估計該臺機器使用_年最合算考點線性回歸分析題點線性回歸方程的應用答案8解析只要預計利潤不為負數，使用該機器就算合算，即0，所以10.471.3x0，解得x8.05，所以該臺機器使用8年最合算14某校高一年級理科有8個班，在一次數學考試中成績情況分析如下：班級12345678大于145分人數66735337不大于145分人數3939384240424238附：xiyi171，x204.(1)求145分以上成績y對班級序號x的線性回歸方程；(精確到0.000 1)(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為7班與8班的成績是否優(yōu)秀(大于145分)與班級有關系考點獨立性檢驗思想的應用題點獨立性檢驗與線性回歸方程、均值的綜合應用解(1)4.5，5，xiyi171，x204，0.214 3，5(0.214 3)4.55.964 4，線性回歸方程為0.214 3x5.964 4.(2)K21.8，1.8<6.635，不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為7班與8班的成績是否優(yōu)秀(大于145分)與班級有關系我國經濟發(fā)展進入新常態(tài)，需要轉變經濟發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經濟結構，實現經濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調發(fā)展，推進新型城鎮(zhèn)化，推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調等現實挑戰(zhàn)。