【十年高考】江蘇省2004高考數(shù)學(xué)真題分類匯編：數(shù)列 Word版含解析

數(shù)列一、選擇填空題1.（江蘇2004年4分）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Sn=(對(duì)于所有n1)，且4=54，則1的數(shù)值是 . 【答案】2?！究键c(diǎn)】數(shù)列的求和?！痉治觥扛鶕?jù)4=S4S3列式求解即可：Sn=，4=54，且4=S4S3，解得。2.（江蘇2005年5分）在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項(xiàng)，前三項(xiàng)和為21，則=【 】A33 B72 C84 D189【答案】C?！究键c(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)?！痉治觥扛鶕?jù)等比數(shù)列中，首項(xiàng)，前三項(xiàng)和為21，可求得，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，分別求得，和代入，即可得到答案：在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項(xiàng)，前三項(xiàng)和為21，3+3+32=21。=2。故選C。3.（江蘇2006年5分）對(duì)正整數(shù)n，設(shè)曲線在2處的切線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則數(shù)列的前項(xiàng)和的公式是【答案】?！究键c(diǎn)】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線切線的斜率，數(shù)列通項(xiàng)公式以及等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式?！痉治觥?，。曲線在2處的切線的斜率為，切點(diǎn)為（2，）。所以切線方程為。把，代入，得。數(shù)列的前項(xiàng)和為。4.（江蘇2008年5分）將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：123456789101112131415按照以上排列的規(guī)律，第行（）從左向右的第3個(gè)數(shù)為【答案】?！究键c(diǎn)】歸納推理，等比數(shù)列的前項(xiàng)和。【分析】前n1 行共有正整數(shù)12（1）個(gè)，即個(gè)，第n 行第3 個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第3個(gè)，即為。6.（江蘇2009年5分）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，令，若數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，則= .【答案】?！究键c(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的應(yīng)用，等價(jià)轉(zhuǎn)化能力和分析問題的能力?！痉治觥?，數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中， 有連續(xù)四項(xiàng)在集合中。 按絕對(duì)值的順序排列上述數(shù)值，相鄰相鄰兩項(xiàng)相除發(fā)現(xiàn)24，36，54，81成等比數(shù)列，是中連續(xù)的四項(xiàng)，比為。7.（江蘇2010年5分）函數(shù)的圖像在點(diǎn)()處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，為正整數(shù)，則【答案】21?！究键c(diǎn)】拋物線的性質(zhì), 函數(shù)的切線方程,數(shù)列的通項(xiàng)?！痉治觥壳蟪龊瘮?shù)在點(diǎn)()處的切線方程，然后令=0代入求出的值，再結(jié)合得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，再得到的值：函數(shù)在點(diǎn)()處的切線方程為：，當(dāng)時(shí)，解得。8.（江蘇2011年5分）設(shè)，其中成公比為q的等比數(shù)列，成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是【答案】。【考點(diǎn)】等差數(shù)列、等比數(shù)列的意義和性質(zhì)，不等式的性質(zhì)。【分析】由題意得，要求的最小值，只要求的最小值，而的最小值為1，。9、（2012江蘇卷6） 現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，若從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則它小于8的概率是 【解析】組成滿足條件的數(shù)列為：從中隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)共有取法種，其中小于的取法共有種，因此取出的這個(gè)數(shù)小于的概率為.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查古典概型.在利用古典概型解決問題時(shí)，關(guān)鍵弄清基本事件數(shù)和基本事件總數(shù)，本題要注意審題，“一次隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)”，意味著這兩個(gè)數(shù)不能重復(fù)，這一點(diǎn)要特別注意.10、（2013江蘇卷14）14在正項(xiàng)等比數(shù)列中，則滿足的最大正整數(shù) 的值為 。答案： 1412二、解答題1.（江蘇2004年12分）設(shè)無窮等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.()若首項(xiàng)，公差，求滿足的正整數(shù)k；()求所有的無窮等差數(shù)列an，使得對(duì)于一切正整數(shù)都有成立.【答案】解：（I）當(dāng)時(shí)，由，即。 又。（II）設(shè)數(shù)列an的公差為d，則在中分別取=1，2,得。解得。若成立；若故所得數(shù)列不符合題意。若；若。綜上，共有3個(gè)滿足條件的無窮等差數(shù)列：an : an=0，即0，0，0，；an : an=1，即1，1，1，；an : an=2n1，即1，3，5，?！究键c(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的性質(zhì)?！痉治觥浚↖）利用等差數(shù)列的求和公式表示出前n項(xiàng)的和，代入到求得。（）設(shè)數(shù)列an的公差為d，在 Sn2=(Sn)2中分別取=1，2求得，代入到前n項(xiàng)的和中分別求得d，進(jìn)而對(duì)和d進(jìn)行驗(yàn)證，最后綜合求得答案。2.（江蘇2005年14分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且，其中A.B為常數(shù)求A與B的值；（2分）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（6分）證明：不等式對(duì)任何正整數(shù)都成立（6分）【答案】解：（1）由已知，得，由，知，即，解得。（2）由（1）得 得， 得 。，。 ， 。 ，。又 ，數(shù)列為等差數(shù)列。（3）由（2） 可知，要證，只要證。因?yàn)?，故只要證，即只要證。因?yàn)?，由于以上過程是可逆的，所以命題得證。【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用。【分析】（1）由題意知，從而解得A=20，B=8。（2）由（）得，所以在式中令，可得由此入手能夠推出數(shù)列an為等差數(shù)列。（3）由（2）可知，然后用分析法可以使命題得證。3.（江蘇2006年14分）設(shè)數(shù)列、滿足：，（n=1,2,3,），證明為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且（=1,2,3,）【答案】證明：必要性：設(shè)是公差為的等差數(shù)列，則。（=1,2,3,）成立。又(常數(shù))（=1,2,3,）數(shù)列為等差數(shù)列。充分性： 設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且（=1,2,3,）， ，得。又， 。從而有 。得。，即, ，由得（=1,2,3,）。由此不妨設(shè)（=1,2,3,）則 (常數(shù))。由此， 從而。 得。(常數(shù)=1,2,3,)。所以數(shù)列是等差數(shù)列。【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)，必要條件、充分條件與充要條件的判斷?！痉治觥勘绢}主要考查等差數(shù)列、充要條件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力，理解公差的涵義，能把文字?jǐn)⑹鲛D(zhuǎn)化為符號(hào)關(guān)系式利用遞推關(guān)系是解決數(shù)列的重要方法，熟練掌握等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及其由來。5.（江蘇2007年16分）已知 是等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，（1）若是大于的正整數(shù)，求證：；（4分）（2）若是某一正整數(shù)，求證：是整數(shù)，且數(shù)列中每一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)；（8分）（3）是否存在這樣的正數(shù)，使等比數(shù)列中有三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，寫出一個(gè)的值，并加以說明；若不存在，請(qǐng)說明理由；（4分）【答案】解：設(shè)的公差為，由，知，（）（1）證：，。（2）證：，且，解得，或，但，。是正整數(shù)，是整數(shù)，即是整數(shù)。設(shè)數(shù)列中任意一項(xiàng)為，設(shè)數(shù)列中的某一項(xiàng)=，現(xiàn)在只要證明存在正整數(shù)，使得，即在方程中有正整數(shù)解即可。， 。若，則，那么。當(dāng)時(shí)，只要考慮的情況，是正整數(shù)。是正整數(shù)。數(shù)列中任意一項(xiàng)為與數(shù)列的第項(xiàng)相等，從而結(jié)論成立。（3）設(shè)數(shù)列中有三項(xiàng)成等差數(shù)列，則有2。設(shè)，則2。令，則。，解得。即存在使得中有三項(xiàng)成等差數(shù)列。【考點(diǎn)】數(shù)列的求和，等差數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的性質(zhì)【分析】（1）設(shè)的公差為，由，把代入，即可表示出，題設(shè)得證。（2）利用，可得，整理即可求得，從而可判定是整數(shù)，即是整數(shù)。設(shè)數(shù)列中任意一項(xiàng)為，設(shè)數(shù)列中的某一項(xiàng)=，只要證明存在正整數(shù)，使得，即在方程中有正整數(shù)解即可。（3）設(shè)數(shù)列中有三項(xiàng)成等差數(shù)列，利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)建立等式，設(shè)，從而可得以2，令，求得。6.（江蘇2008年16分）（1）設(shè)是各項(xiàng)均不為零的（）項(xiàng)等差數(shù)列，且公差，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)后得到的數(shù)列（按原來的順序）是等比數(shù)列（i）當(dāng)時(shí)，求的數(shù)值；（ii）求的所有可能值（2）求證：對(duì)于給定的正整數(shù)()，存在一個(gè)各項(xiàng)及公差均不為零的等差數(shù)列，其中任意三項(xiàng)（按原來的順序）都不能組成等比數(shù)列【答案】解：（1）（i）當(dāng)n=4時(shí), 中不可能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，否則等差數(shù)列中連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，則推出d=0。 若刪去，則，即化簡得，得。若刪去，則，即化簡得，得。綜上，得或。（ii）當(dāng)n=5時(shí), 中同樣不可能刪去，否則出現(xiàn)連續(xù)三項(xiàng)。若刪去，則，即化簡得，因?yàn)?，所以不能刪去；當(dāng)n6時(shí)，不存在這樣的等差數(shù)列。事實(shí)上，在數(shù)列中，由于不能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，若刪去，則必有，這與矛盾；同樣若刪去也有，這與矛盾；若刪去中任意一個(gè)，則必有，這與矛盾。(或者說：當(dāng)n6時(shí)，無論刪去哪一項(xiàng)，剩余的項(xiàng)中必有連續(xù)的三項(xiàng))。綜上所述，。（2）假設(shè)對(duì)于某個(gè)正整數(shù)，存在一個(gè)公差為d的項(xiàng)等差數(shù)列，其中（）為任意三項(xiàng)成等比數(shù)列，則，即，化簡得 （*）由知，與同時(shí)為0或同時(shí)不為0。當(dāng)與同時(shí)為0時(shí)，有與題設(shè)矛盾；故與同時(shí)不為0，所以由（*）得。，且x、y、z為整數(shù)，上式右邊為有理數(shù)，從而為有理數(shù)。對(duì)于任意的正整數(shù)，只要為無理數(shù)，相應(yīng)的數(shù)列就是滿足題意要求的數(shù)列。例如項(xiàng)數(shù)列1，滿足要求?！究键c(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)，等比關(guān)系的確定，等比數(shù)列的性質(zhì)【分析】（1）根據(jù)題意，對(duì)=4，=5時(shí)數(shù)列中各項(xiàng)的情況逐一討論，利用反證法結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行論證，從而推廣到4的所有情況（2）利用反證法結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行論證即可。7.（江蘇2009年14分）學(xué)設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，滿足。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（2）試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項(xiàng)。【答案】解：（1）設(shè)公差為，則，由性質(zhì)得。，即。又由得，解得，。數(shù)列的通項(xiàng)公式為；前項(xiàng)和。（2）為數(shù)列中的項(xiàng)，為整數(shù)，且為正整數(shù)，。經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意的正整數(shù)只有?！究键c(diǎn)】數(shù)列的求和，等差數(shù)列的性質(zhì)?！痉治觥浚?）先把已知條件用及表示，然后聯(lián)立方程求出，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式可求。（2）先把已知化簡可得，然后結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式可尋求滿足的條件。8.（江蘇2010年16分）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（用表示）；（2）設(shè)為實(shí)數(shù)，對(duì)滿足的任意正整數(shù)，不等式都成立。求證：的最大值為?！敬鸢浮拷猓海?）由題意知：， ，化簡，得：，當(dāng)時(shí)，適合情形。故所求。（2）， 恒成立。 又，故，即的最大值為?！究键c(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和以及基本不等式?！痉治觥浚?）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合已知，列出關(guān)于、的方程，求出，從而推出，再利用與的關(guān)系求出。（2）利用（1）的結(jié)論，對(duì)進(jìn)行化簡，轉(zhuǎn)化為基本不等式問題求解，求出的最大值的范圍。9.（江蘇2011年16分）設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，已知對(duì)任意整數(shù)屬于M，當(dāng)>時(shí)，都成立.（1）設(shè)M=1，求的值；（2）設(shè)M=3，4，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】解：（1）由題設(shè)知，當(dāng)時(shí)，即，。又，當(dāng)時(shí)，的值為8。(2) 由題設(shè)知, 當(dāng)，且時(shí)，且，兩式相減得，即，當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列，且也成等差數(shù)列。當(dāng)時(shí)， ，且。 當(dāng)時(shí)，即。當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列，從而。由式知，即。當(dāng)時(shí)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，從而由式知，從而，。，對(duì)任意都成立。又由（可知，且。解得。，。數(shù)列為等差數(shù)列，由知，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為?！究键c(diǎn)】數(shù)列遞推式，數(shù)列與函數(shù)的綜合。【分析】（1）由集合M的元素只有一個(gè)1，得到=1，所以當(dāng)大于1即大于等于2時(shí)，都成立，變形后，利用化簡，得到當(dāng)大于等于2時(shí)，此數(shù)列除去首項(xiàng)后為一個(gè)等差數(shù)列，根據(jù)第2項(xiàng)的值和確定出的等差寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，因?yàn)?大于2，所以把=5代入通項(xiàng)公式即可求出第5項(xiàng)的值；（2）由，利用數(shù)列遞推式得到，從而求出，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式。10.（江蘇2011年附加10分）設(shè)整數(shù)，是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，其中，（1）記為滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求；（2）記為滿足是整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求【答案】解：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)滿足條件，。（2）設(shè)為正整數(shù)，記為滿足條件以及的點(diǎn)的個(gè)數(shù)。只要討論的情形。由,知，且,設(shè)，其中，則，將代入上式，化簡得，?！究键c(diǎn)】計(jì)數(shù)原理，數(shù)列遞推式?！痉治觥浚?）為滿足的點(diǎn)P 的個(gè)數(shù)，顯然的坐標(biāo)的差值，與中元素個(gè)數(shù)有關(guān)，直接寫出的表達(dá)式即可。（2）設(shè)為正整數(shù)，記為滿足題設(shè)條件以及的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，討論1的情形，推出，根據(jù)的范圍 ，說明是3的倍數(shù)和余數(shù)，然后求出。11.（2012年江蘇省16分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列和滿足：，（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，且是等比數(shù)列，求和的值【答案】解：（1），。 。 。 數(shù)列是以1 為公差的等差數(shù)列。（2），。 。（） 設(shè)等比數(shù)列的公比為，由知，下面用反證法證明 若則，當(dāng)時(shí)，與（）矛盾。 若則，當(dāng)時(shí)，與（）矛盾。 綜上所述，。，。 又，是公比是的等比數(shù)列。 若，則，于是。 又由即，得。 中至少有兩項(xiàng)相同，與矛盾。 。 。【考點(diǎn)】等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)，基本不等式，反證法。【解析】（1）根據(jù)題設(shè)和，求出，從而證明而得證。 （2）根據(jù)基本不等式得到，用反證法證明等比數(shù)列的公比。從而得到的結(jié)論，再由知是公比是的等比數(shù)列。最后用反證法求出。12、（2013江蘇卷19）19本小題滿分16分。設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和。記，其中為實(shí)數(shù)。（1）若，且成等比數(shù)列，證明： （）；（2）若是等差數(shù)列，證明：。13本小題滿分16分。設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)。（1）若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的取值范圍；（2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論。19證明：是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和（1） 成等比數(shù)列 左邊= 右邊=左邊=右邊原式成立（2）是等差數(shù)列設(shè)公差為，帶入得： 對(duì)恒成立由式得： 由式得：法二：證：（1）若，則，當(dāng)成等比數(shù)列，即：，得：，又，故由此：，故：（）（2）， ()若是等差數(shù)列，則型觀察()式后一項(xiàng)，分子冪低于分母冪，故有：，即，而0，故經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)是等差數(shù)列1、 （2013江蘇卷23）卷 附加題2、 23本小題滿分10分。設(shè)數(shù)列，即當(dāng)時(shí)，記，對(duì)于，定義集合（1）求集合中元素的個(gè)數(shù)； （2）求集合中元素的個(gè)數(shù)。23本題主要考察集合數(shù)列的概念與運(yùn)算計(jì)數(shù)原理等基礎(chǔ)知識(shí)，考察探究能力及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法分析解決問題能力及推理論證能力。（1）解：由數(shù)列的定義得：，集合中元素的個(gè)數(shù)為5（2）證明：用數(shù)學(xué)歸納法先證事實(shí)上， 當(dāng)時(shí)， 故原式成立 假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即 故原式成立則：，時(shí)，綜合得： 于是由上可知：是的倍數(shù)而，所以是的倍數(shù)又不是的倍數(shù)，而所以不是的倍數(shù)故當(dāng)時(shí)，集合中元素的個(gè)數(shù)為于是當(dāng)時(shí)，集合中元素的個(gè)數(shù)為又故集合中元素的個(gè)數(shù)為