高中數(shù)學(xué) 章末綜合測評(píng)3 空間向量與立體幾何 新人教A版選修21

章末綜合測評(píng)(三)空間向量與立體幾何(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1與向量a(1，3,2)平行的一個(gè)向量的坐標(biāo)是()AB(1，3,2)C DCa(1，3,2)2.2在正方體ABCDA1B1C1D1中，xy()，則()Ax1，yBx1，yCx，y1Dx1，yA()，x1，y.應(yīng)選A3已知A(2，4，1)，B(1,5,1)，C(3，4,1)，D(0,0,0)，令a，b，則ab為()A(5，9,2)B(5,9，2)C(5,9，2)D(5，9，2)Ba(1,0，2)，b(4,9,0)，ab(5,9，2)4已知點(diǎn)A(1,2,1)，B(1,3,4)，D(1,1,1)，若2，則|的值是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342190】A BCDC設(shè)P(x，y，z)，則(x1，y2，z1)，(1x,3y,4z)，由2知x，y，z3，即P.由兩點(diǎn)間距離公式可得|.5在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，下列結(jié)論不正確的是()A B0C0 D0D如圖，故A，B，C選項(xiàng)均正確6設(shè)ABCD的對(duì)角線AC和BD交于E，P為空間任意一點(diǎn)，如圖1所示，若x，則x()圖1A2B3C4D5CE為AC，BD的中點(diǎn)，由中點(diǎn)公式得()，()4.從而x4.7已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，則實(shí)數(shù)等于()A B C DDa，b，c三向量共面，則存在不全為零的實(shí)數(shù)x，y，使cxayb，即(7,5，)x(2，1,3)y(1,4，2)(2xy，x4y,3x2y)，所以解得3x2y.8若向量a(x,4,5)，b(1，2,2)，且a與b的夾角的余弦值為，則x()A3B3C11D3或11A因?yàn)閍b(x,4,5)(1，2,2)x810x2，且a與b的夾角的余弦值為，所以，解得x3或11(舍去)，故選A9若直線l的方向向量為(2,1，m)，平面的法向量為，且l，則m()A2 B3 C4 D5Cl，直線l的方向向量平行于平面的法向量.m4.10直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，則異面直線BA1與AC1所成角為()A30 B45 C60 D90C建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB1，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)，(1,0,1)，(0,1,1)，cos，.，60，即異面直線BA1與AC1所成角為60.11已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342191】A B C DA以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)AA12AB2，則D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，則(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)設(shè)平面BDC1的法向量為n(x，y，z)，則n，n，所以有令y2，得平面BDC1的一個(gè)法向量為n(2，2,1)設(shè)CD與平面BDC1所成的角為，則sin |cosn，|.12在矩形ABCD中，AB3，AD4，PA平面ABCD，PA，那么二面角ABDP的大小為()A30 B45 C60 D75A如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，(3,4,0)設(shè)n(x，y，z)為平面PBD的一個(gè)法向量，則得即令x1，則n.又n1為平面ABCD的一個(gè)法向量，cosn1，n，所求二面角為30.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)13已知正方體ABCDABCD，則下列三個(gè)式子中：；.其中正確的有_，正確；顯然正確；()()0，錯(cuò)誤14若向量m(1,2,0)，n(3,0，2)都與一個(gè)二面角的棱垂直，則m，n分別與兩個(gè)半平面平行，則該二面角的余弦值為_或cosm，n.二面角的余弦值為或.15如圖2正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，O是平面A1B1C1D1的中心，則BO與平面ABC1D1所成角的正弦值為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342192】圖2建立坐標(biāo)系如圖，則B(1,1,0)，O，(1,0,1)是平面ABC1D1的一個(gè)法向量又，BO與平面ABC1D1所成角的正弦值為|cos，|.16設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1的對(duì)角線BD1上，記，當(dāng)APC為鈍角時(shí)，的取值范圍是_建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(1,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，設(shè)P(x，y，z)，則(x，y，z1)，(1,1，1)，由，得(x，y，z1)(1,1，1)，即P(，1)，(1，1)，(，1，1)，由<0得2(1)(1)2<0，解得<<1.由題意知與所成的角不可能為，故<<1.三、解答題(本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17(本小題滿分10分)如圖3，一塊礦石晶體的形狀為四棱柱ABCDA1B1C1D1，底面ABCD是正方形，CC13，CD2，且C1CBC1CD60.圖3(1)設(shè)a，b，c，試用a，b，c表示；(2)已知O為四棱柱ABCDA1B1C1D1的中心，求CO的長. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342193】解(1)由a，b，c，得abc，所以abC(2)O為四棱柱ABCDA1B1C1D1的中心，即O為線段A1C的中點(diǎn)由已知條件得|a|b|2，|c|3，ab0，a，c60，b，c60.由(1)得abc，則|22(abc)2a2b2c22ab2bc2ac2222320223cos 60223cos 6029.所以A1C的長為，所以CO的長為.18(本小題滿分12分)如圖4，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD圖4(1)證明：平面PQC平面DCQ；(2)證明：PC平面BAQ.證明如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.(1)依題意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，則(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1，0)，所以0，0，即PQDQ，PQDC且DQDCD故PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ.(2)根據(jù)題意，(1,0,0)，(0,0,1)，(0,1,0)，故有0，0，所以為平面BAQ的一個(gè)法向量又因?yàn)?0，2,1)，且0，即DAPC，且PC平面BAQ，故有PC平面BAQ.19(本小題滿分12分)如圖5所示，已知點(diǎn)P在正方體ABCDABCD的對(duì)角線BD上，PDA60.圖5(1)求DP與CC所成角的大小(2)求DP與平面AADD所成角的大小解(1)如圖所示，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DA1.則(1,0,0)，(0,0,1)連接BD，BD.在平面BBDD中，延長DP交BD于H.設(shè)(m，m,1)(m>0)，由已知，60，由|cos，可得2m.解得m，所以.因?yàn)閏os，所以，45，即DP與CC所成的角為45.(2)平面AADD的一個(gè)法向量是(0,1,0)，因?yàn)閏os，所以，60，可得DP與平面AADD所成的角為30.20(本小題滿分12分)如圖6，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點(diǎn)圖6(1)求證：平面PBC平面PAC；(2)若AB2，AC1，PA1，求二面角CPBA的余弦值解(1)證明：由AB是圓的直徑，得ACBC，由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC因?yàn)锽C平面PBC所以平面PBC平面PAC(2)過C作CMAP，則CM平面ABC如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線CB，CA，CM為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系在RtABC中，因?yàn)锳B2，AC1，所以BC.又因?yàn)镻A1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)故(，0,0)，(0,1,1)設(shè)平面BCP的法向量為n1(x1，y1，z1)，則所以不妨令y11，則n1(0,1，1)因?yàn)?0,0,1)，(，1,0)，設(shè)平面ABP的法向量為n2(x2，y2，z2)，則所以不妨令x21，則n2(1, ，0)于是cosn1，n2.由圖知二面角CPBA為銳角，故二面角CPBA的余弦值為.21(本小題滿分12分)如圖7，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別在棱DD1，BB1上移動(dòng)，且DPBQ(0<<2)圖7(1)當(dāng)1時(shí)，證明：直線BC1平面EFPQ；(2)是否存在，使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342194】解以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DD1分別為x軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系由已知得B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(xiàn)(1,0,0)，P(0,0，)，(2，0,2)，(1,0，)，(1,1,0)(1)證明：當(dāng)1時(shí)，(1,0,1)，因?yàn)?2,0,2)所以2，可知BC1FP，而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直線BC1平面EFPQ.(2)設(shè)平面EFPQ的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，由得于是可取n(，1)，同理可得平面PQMN的一個(gè)法向量為m(2,2，1)，若存在，使得平面EFPQ與平面PQMN所在的二面角為直二面角，則mn(2,2，1)(，1)0，即(2)(2)10，解得1，故存在1，使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角22(本小題滿分12分)如圖8，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形，平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.圖8(1)求證：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)證明：在線段BC1上存在點(diǎn)D，使得ADA1B，并求的值解(1)因?yàn)锳A1C1C為正方形，所以AA1AC因?yàn)槠矫鍭BC平面AA1C1C，且AA1垂直于這兩個(gè)平面的交線AC，所以AA1平面ABC(2)由(1)知AA1AC，AA1AB由題意知AB3，BC5，AC4，所以ABAC如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)所以(0,3，4)，(4,0,0)設(shè)平面A1BC1的法向量為n(x，y，z)，則即令z3，則x0，y4，所以平面A1BC1的一個(gè)法向量為n(0,4,3)同理可得，平面B1BC1的一個(gè)法向量為m(3,4,0)所以cosn，m.由題意知二面角A1BC1B1為銳角，所以二面角A1BC1B1的余弦值為.(3)證明：假設(shè)D(x1，y1，z1)是線段BC1上一點(diǎn)，且(0,1)，所以(x1，y13，z1)(4，3,4)解得x14，y133，z14，所以(4，33，4)由0，得9250，解得.因?yàn)?,1，所以在線段BC1上存在點(diǎn)D，使得ADA1B此時(shí).我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動(dòng)城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。