高中數(shù)學(xué) 專題強(qiáng)化訓(xùn)練1 解三角形 新人教A版必修5

專題強(qiáng)化訓(xùn)練(一)　解三角形 (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，則其面積等于(　　) A．12　　　　　　　　 B. C．28 D．6 D　[由余弦定理得cos A＝＝＝，所以sin A＝，則S△ABC＝bcsin A＝×3×8×＝6.] 2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若3a＝2b，則的值為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432094】 A. B. C．1 D. D　[由正弦定理可得＝＝＝.] 3．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面積為4，若∠ABC＝θ，則cos θ等于(　　) A. B．－ C．± D．± C　[∵S△ABC＝AB·BCsin∠ABC＝×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±＝±.] 4．某人從出發(fā)點(diǎn)A向正東走x m后到B，向左轉(zhuǎn)150°再向前走3 m到C，測得△ABC的面積為 m2，則此人這時(shí)離開出發(fā)點(diǎn)的距離為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432095】 A．3 m B. m C．2 m D. m D　[在△ABC中，S＝AB×BCsin B， ∴＝×x×3×sin 30°，∴x＝. 由余弦定理， 得AC＝ ＝＝(m)．] 5．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面積S△ABC＝，則邊BC的長為(　　) A. B．3 C. D．7 A　[∵S△ABC＝AB·ACsin A＝，∴AC＝1，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC＝.] 二、填空題 6．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，則△ABC的形狀為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432096】 等邊三角形　[由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，即ac＝a2＋c2－ac， ∴(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵B＝60°，△ABC為等邊三角形．] 7．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又知最大角的正弦等于，則三邊長為________． a＝7，b＝5，c＝3　[由題意知a邊最大，sin A＝，∴A＝120°， ∴a2＝b2＋c2－2bccos A. ∴a2＝(a－2)2＋(a－4)2＋(a－2)(a－4)． ∴a2－9a＋14＝0，解得a＝2(舍去)或a＝7. ∴b＝a－2＝5，c＝b－2＝3.] 8．已知三角形ABC的三邊為a，b，c和面積S＝a2－(b－c)2，則cos A＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432097】 　[由已知得S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc ＝－2bccos A＋2bc. 又S＝bcsin A，∴bcsin A＝2bc－2bccos A. ∴4－4cos A＝sin A，平方得17cos2A－32cos A＋15＝0. ∴(17cos A－15)(cos A－1)＝0. ∴cos A＝1(舍去)或cos A＝.] 三、解答題 9．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知cos A＝，sin B＝cos C. (1)求tan C的值； (2)若a＝，求△ABC的面積． [解]　(1)因?yàn)?<A<π，cos A＝， 所以sin A＝＝， 又cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝cos C＋ sinC， 所以cos C＝sin C，tan C＝. (2)由tan C＝得sin C＝，cos C＝，于是sin B＝cos C＝. 由a＝及正弦定理＝得c＝，所以△ABC的面積S△ABC＝acsin B＝×××＝. 10．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cos C·(acos B＋bcos A)＝c. (1)求C； (2)若c＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432098】 [解]　(1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C， 即2cos Csin(A＋B)＝sin C， 故2sin Ccos C＝sin C. 可得cos C＝，所以C＝. (2)由已知得absin C＝. 又C＝，所以ab＝6. 由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7， 故a2＋b2＝13，從而(a＋b)2＝25. 所以△ABC的周長為5＋. [沖A挑戰(zhàn)練] 1．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定 B　[∵bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝＝a＝asin A， ∴sin A＝1. ∵A∈(0，π)， ∴A＝，即△ABC是直角三角形．] 2．鈍角三角形ABC的面積是，AB＝1，BC＝，則AC＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432099】 A．5 B. C．2 D．1 B　[∵S＝AB·BCsin B＝×1×sin B＝， ∴sin B＝，∴B＝或. 當(dāng)B＝時(shí)，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1＋2＋2＝5，∴AC＝，此時(shí)△ABC為鈍角三角形，符合題意； 當(dāng)B＝時(shí)，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此時(shí)AB2＋AC2＝BC2，△ABC為直角三角形，不符合題意．故AC＝.] 3．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝________. 　[因?yàn)锳，C為△ABC的內(nèi)角，且cos A＝，cos C＝， 所以sin A＝，sin C＝， 所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝. 又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝＝×＝.] 4．如圖1­5，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別是67°，30°，此時(shí)氣球的高是46 m，則河流的寬度BC約等于________m．(用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位．參考數(shù)據(jù)：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432100】 圖1­5 60　[根據(jù)已知的圖形可得AB＝.在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，由正弦定理，得＝，所以BC≈2××0.60＝60(m)．] 5．在△ABC中，設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋cos2C＋sin Asin B. (1)求角C的大小； (2)若c＝，求△ABC周長的取值范圍． [解]　(1)由題意知1－sin2A＝sin2B＋1－sin2C＋sin Asin B， 即sin2A＋sin2 B－sin2C＝－sin Asin B， 由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab， 由余弦定理得cos C＝＝＝－， 又∵0<C<π，∴C＝. (2)由正弦定理得＝＝＝2， ∴a＝2sin A，b＝2sin B， 則△ABC的周長為L＝a＋b＋c＝2(sin A＋sin B)＋＝2＋ ＝2sin＋. ∵0<A<，∴<A＋<， ∴<sin≤1， ∴2<2sin＋≤2＋， ∴△ABC周長的取值范圍是(2，2＋]． 我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動(dòng)城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。