高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 3.1 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念 3.1.1 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念學(xué)案 新人教A版選修22

3.1.1　數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解引進(jìn)虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)集的擴(kuò)充過程．(重點(diǎn))2.理解復(fù)數(shù)的概念、表示法及相關(guān)概念．(重點(diǎn)) 3．掌握復(fù)數(shù)的分類及復(fù)數(shù)相等的充要條件．(重點(diǎn)、易混點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．復(fù)數(shù)的概念：z＝a＋bi(a，b∈R) 全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做復(fù)數(shù)集． 2．復(fù)數(shù)相等的充要條件 設(shè)a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d. 3．復(fù)數(shù)的分類 z＝a＋bi(a，b∈R) 思考：復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間存在怎樣的關(guān)系？ [提示] [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)若a，b為實(shí)數(shù)，則z＝a＋bi為虛數(shù)．(　　) (2)復(fù)數(shù)i的實(shí)部不存在，虛部為0.(　　) (3)bi是純虛數(shù)．(　　) (4)如果兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部的差和虛部的差都等于0，那么這兩個復(fù)數(shù)相等．(　　) [答案]　(1)　(2)　(3)　(4)√ 2．復(fù)數(shù)i－2的虛部是(　　) A．i　　 B．－2 C．1 D．2 C　[i－2＝－2＋i，因此虛部是1.] 3．如果(x＋y)i＝x－1，則實(shí)數(shù)x，y的值分別為(　　) A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1 C．x＝1，y＝0 D．x＝0，y＝0 A　[∵(x＋y)i＝x－1， ∴ ∴x＝1，y＝－1.] 4．在下列數(shù)中，屬于虛數(shù)的是________，屬于純虛數(shù)的是________. 【導(dǎo)學(xué)號：31062191】 0,1＋i，πi，＋2i，－i，i. [解析]　根據(jù)虛數(shù)的概念知：1＋i，πi，＋2i，－i，i都是虛數(shù)；由純虛數(shù)的概念知：πi，i都是純虛數(shù)． [答案]　1＋i，πi，＋2i，－i，i　πi，i [合 作 探 究攻 重 難] 復(fù)數(shù)的概念及分類 　實(shí)數(shù)x分別取什么值時，復(fù)數(shù)z＝＋(x2－2x－15)i是①實(shí)數(shù)？②虛數(shù)？③純虛數(shù)？ [解]　①當(dāng)x滿足即x＝5時，z是實(shí)數(shù)． ②當(dāng)x滿足即x≠－3且x≠5時，z是虛數(shù)． ③當(dāng)x滿足即x＝－2或x＝3時，z是純虛數(shù)． [規(guī)律方法]　復(fù)數(shù)分類的關(guān)鍵 (1)利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，對復(fù)數(shù)進(jìn)行分類，關(guān)鍵是根據(jù)分類標(biāo)準(zhǔn)列出實(shí)部、虛部應(yīng)滿足的關(guān)系式.求解參數(shù)時，注意考慮問題要全面，當(dāng)條件不滿足代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b∈R)時應(yīng)先轉(zhuǎn)化形式. (2)注意分清復(fù)數(shù)分類中的條件 設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，則①z為實(shí)數(shù)?b＝0，②z為虛數(shù)?b≠0，③z為純虛數(shù)?a＝0，b≠0，④z＝0?a＝0，且b＝0. [跟蹤訓(xùn)練] 1．若復(fù)數(shù)z＝a2－3＋2ai的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為________. 【導(dǎo)學(xué)號：31062192】 [解析]　(1)由條件知a2－3＋2a＝0， ∴a＝1或a＝－3. [答案]　1或－3 2．實(shí)數(shù)k為何值時，復(fù)數(shù)(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分別是①實(shí)數(shù)；②虛數(shù)；③純虛數(shù)；④零． [解]　由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i. ①當(dāng)k2－5k－6＝0時，z∈R，即k＝6或k＝－1. ②當(dāng)k2－5k－6≠0時，z是虛數(shù)，即k≠6且k≠－1. ③當(dāng)時，z是純虛數(shù)，解得k＝4. ④當(dāng)時，z＝0，解得k＝－1. 復(fù)數(shù)的相等的充要條件 [探究問題] 1．由3>2能否推出3＋i>2＋i？兩個實(shí)數(shù)能比較大小，那么兩個復(fù)數(shù)能比較大小嗎？ 提示：由3>2不能推出3＋i>2＋i，當(dāng)兩個復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)時，可以比較大小，當(dāng)兩個復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時，不能比較大?。? 2．若復(fù)數(shù)z＝a＋bi>0，則實(shí)數(shù)a，b滿足什么條件？ 提示：若復(fù)數(shù)z＝a＋bi>0，則實(shí)數(shù)a，b滿足a>0，且b＝0. 　(1) 若復(fù)數(shù)z＝(m＋1)＋(m2 －9)i<0，則實(shí)數(shù)m的值等于________． (2)已知關(guān)于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的值． [思路探究]　(1)等價轉(zhuǎn)化為虛部為零，且實(shí)部小于零； (2)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件求解． (1)－3　[∵z<0，∴，∴m＝－3.] (2)設(shè)a是原方程的實(shí)根， 則a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0， 即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0＋0i， 所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0， 所以a＝－且2－＋3m＝0， 所以m＝. 母題探究：1.(變條件)若x＝1是方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0的實(shí)數(shù)根，求復(fù)數(shù)m的值． [解]　由題意可知，1＋1－2i＋3m－i＝0，即m＝－＋i. 2．(變條件)若x2＋(1－2i)x＋(3m－i)>0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． [解]　由題意可知，x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝ x2＋x＋3m－(2x＋1)i>0， 故 ， 解得 . 所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為. [規(guī)律方法]　復(fù)數(shù)相等問題的解題技巧 (1)必須是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式才可以根據(jù)實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等列方程組求解. (2)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題，為應(yīng)用方程思想提供了條件，同時這也是復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化思想的體現(xiàn). 提醒：若兩個復(fù)數(shù)能比較大小，則這兩個復(fù)數(shù)必為實(shí)數(shù). [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．已知復(fù)數(shù)z＝a2－(2－b)i的實(shí)部和虛部分別是2和3，則實(shí)數(shù)a，b的值分別是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：31062193】 A.，1　　　　　　　 B.，5 C．，5 D．，1 C　[令，得a＝，b＝5.] 2．給出下列三個命題：(1)若z∈C，則z2≥0；(2)2i－1的虛部是2i；(3)2i的實(shí)部是0.其中正確命題的個數(shù)為(　　) A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 B　[(1)錯誤，例如z＝i，則z2＝－1；(2)錯誤，因?yàn)?i－1虛部是2；(3)正確，因?yàn)?i＝0＋2i.] 3．已知x2－y2＋2xyi＝2i，則實(shí)數(shù)x＝________，y＝________. [解析]　∵x2－y2＋2xyi＝2i， ∴解得或 [答案]　解得或 4．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1則實(shí)數(shù)m的值為________． [解析]　由題意得解得m＝2. [答案]　2 5．實(shí)數(shù)m分別取什么數(shù)值時，復(fù)數(shù)z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i 【導(dǎo)學(xué)號：31062194】 (1)是實(shí)數(shù)；(2)是虛數(shù)；(3)是純虛數(shù)；(4)是0. [解]　由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3. (1)當(dāng)m2－2m－15＝0時，復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)， ∴m＝5或－3； (2)當(dāng)m2－2m－15≠0時，復(fù)數(shù)z為虛數(shù)， ∴m≠5且m≠－3. (3)當(dāng)時，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)， ∴m＝－2. (4)當(dāng)時，復(fù)數(shù)z是0， ∴m＝－3. 我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。