2019高考數(shù)學 專題十八 圓錐曲線綜合精準培優(yōu)專練 文.doc

培優(yōu)點十八 圓錐曲線綜合1直線過定點例1：已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓的離心率為，過左焦點且垂直于軸的直線交橢圓于，兩點，且（1）求的方程；（2）若直線是圓上的點處的切線，點是直線上任一點，過點作橢圓的切線，切點分別為，設切線的斜率都存在求證：直線過定點，并求出該定點的坐標【答案】（1）；（2）證明見解析，【解析】（1）由已知，設橢圓的方程為，因為，不妨設點，代入橢圓方程得，又因為，所以，所以，所以的方程為（2）依題設，得直線的方程為，即，設，由切線的斜率存在，設其方程為，聯(lián)立得，由相切得，化簡得，即，因為方程只有一解，所以，所以切線的方程為，即，同理，切線的方程為，又因為兩切線都經(jīng)過點，所以，所以直線的方程為，又，所以直線的方程可化為，即，令，得，所以直線恒過定點2面積問題例2：已知橢圓的左、右焦點分別為、，焦距為4，直線與橢圓相交于、兩點，關(guān)于直線的對稱點在橢圓上斜率為的直線與線段相交于點，與橢圓相交于、兩點（1）求橢圓的標準方程；（2）求四邊形面積的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】（1）由橢圓焦距為4，設，連結(jié)，設，則，又，得，解得，所以橢圓方程為（2）設直線方程：，、，由，得，所以，由（1）知直線：，代入橢圓得，得，由直線與線段相交于點，得，而與，知，由，得，所以，四邊形面積的取值范圍3參數(shù)的值與范圍例3：已知拋物線的焦點，點在拋物線上，過焦點的直線交拋物線于，兩點（1）求拋物線的方程以及的值；（2）記拋物線的準線與軸交于點，若，求的值【答案】（1），；（2）【解析】（1）拋物線的焦點，則，拋物線方程為；點在拋物線上，（2）依題意，設，設、，聯(lián)立方程，消去，得所以 ，且，又，則，即，代入得，消去得，則，則，當，解得，故4弦長類問題例4：已知橢圓的左右頂點是雙曲線的頂點，且橢圓的上頂點到雙曲線的漸近線的距離為（1）求橢圓的方程；（2）若直線與相交于，兩點，與相交于，兩點，且，求的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意可知：，又橢圓的上頂點為，雙曲線的漸近線為：，由點到直線的距離公式有：，橢圓方程（2）易知直線l的斜率存在，設直線l的方程為，代入，消去并整理得：，要與相交于兩點，則應有：，設，則有：，又又：，所以有：，將，代入，消去并整理得：，要有兩交點，則由有設、有，將代入有，令，令，所以在內(nèi)恒成立，故函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，故5存在性問題例5：已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上（1）求橢圓的標準方程；（2）是否存在斜率為2的直線，使得當直線與橢圓有兩個不同交點，時，能在直線上找到一點，在橢圓上找到一點，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由【答案】（1）；（2）不存在，見解析【解析】（1）設橢圓的焦距為，則，在橢圓上，故橢圓的方程為（2）假設這樣的直線存在，設直線的方程為，設，的中點為，由，消去，得，且，故且，由，知四邊形為平行四邊形，而為線段的中點，因此為線段的中點，得，又，可得，點不在橢圓上，故不存在滿足題意的直線對點增分集訓一、解答題1已知動圓過點并且與圓相外切，動圓圓心的軌跡為（1）求曲線的軌跡方程；（2）過點的直線與軌跡交于、兩點，設直線，設點，直線交于，求證：直線經(jīng)過定點【答案】（1）；（2）見解析【解析】（1）由已知，軌跡為雙曲線的右支，曲線標準方程（2）由對稱性可知，直線必過軸的定點，當直線的斜率不存在時，知直線經(jīng)過點，當直線的斜率存在時，不妨設直線，直線，當時，得，下面證明直線經(jīng)過點，即證，即，即，由，整理得，即即證經(jīng)過點，直線過定點2已知點在橢圓上，設，分別為橢圓的左頂點、下頂點，原點到直線的距離為（1）求橢圓的方程；（2）設為橢圓在第一象限內(nèi)一點，直線，分別交軸、軸于，兩點，求四邊形的面積【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為橢圓經(jīng)過點，有，由等面積法，可得原點到直線的距離為，聯(lián)立兩方程解得，所以橢圓的方程為（2）設點，則，即直線，令，得從而有，同理，可得所以四邊形的面積為所以四邊形的面積為3已知點為圓的圓心，是圓上的動點，點在圓的半徑上，且有點和上的點，滿足，（1）當點在圓上運動時，判斷點的軌跡是什么？并求出其方程；（2）若斜率為的直線與圓相切，與（1）中所求點的軌跡交于不同的兩點，且（其中是坐標原點），求的取值范圍【答案】（1）是以點，為焦點，焦距為2，長軸長為的橢圓，；（2）【解析】（1）由題意是線段的垂直平分線，所以，所以點的軌跡是以點，為焦點，焦距為2，長軸長為的橢圓，故點的軌跡方程是（2）設直線：，直線與圓相切，得，即，聯(lián)立，消去得：，得，所以，得，解得或，故所求范圍為4已知橢圓的焦距為，離心率為，圓，是橢圓的左右頂點，是圓的任意一條直徑，面積的最大值為2（1）求橢圓及圓的方程；（2）若為圓的任意一條切線，與橢圓交于兩點，求的取值范圍【答案】（1），；（2）【解析】（1）設點到軸距離為，則，易知當線段在軸時，所以橢圓方程為，圓的方程為（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時；設直線方程為：，直線為圓的切線，直線與橢圓聯(lián)立，得，判別式，由韋達定理得：，所以弦長，令，所以；綜上，5如圖，己知、是橢圓的左、右焦點，直線經(jīng)過左焦點，且與橢圓交，兩點，的周長為（1）求橢圓的標準方程；（2）是否存在直線，使得為等腰直角三角形？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由【答案】（1）；（2）不存在，見解析【解析】（1）設橢圓的半焦距為，因為直線與軸的交點為，故又的周長為，即，故，所以，因此，橢圓的標準方程為（2）不存在理由如下：先用反證法證明不可能為底邊，即由題意知，設，假設，則，又，代入上式，消去，得：因為直線斜率存在，所以直線不垂直于軸，所以，故(與，矛盾）聯(lián)立方程，得：，所以矛盾故再證明不可能為等腰直角三角形的直角腰假設為等腰直角三角形，不妨設為直角頂點設，則，在中，由勾股定理得：，此方程無解故不存在這樣的等腰直角三角形