2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十六章 不等式選講練習(xí) 理.doc

第十六章不等式選講命題探究解答過程解法一:(1)f(x)=當(dāng)x<-1時, f(x)1無解;當(dāng)-1x2時,由f(x)1得,2x-11,解得1x2;當(dāng)x>2時,由f(x)1解得x>2.所以f(x)1的解集為x|x1.(2)由f(x)x2-x+m得m|x+1|-|x-2|-x2+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-+,且當(dāng)x=時,|x+1|-|x-2|-x2+x=.故m的取值范圍為.解法二:(1)f(x)=其圖象如圖所示:由圖可知f(x)1的解集為x|x1.(2)原式等價于存在xR使得f(x)-x2+xm成立,即mf(x)-x2+xmax,設(shè)g(x)=f(x)-x2+x,由(1)知g(x)=(i)當(dāng)x-1時,g(x)=-x2+x-3,其圖象開口向下,對稱軸方程為x=>-1,g(x)g(-1)=-5;(ii)當(dāng)-1<x<2時,g(x)=-x2+3x-1,其圖象開口向下,對稱軸方程為x=(-1,2),g(x)g=;(iii)當(dāng)x2時,g(x)=-x2+x+3,其圖象開口向下,對稱軸方程為x=<2,g(x)g(2)=1.綜上,g(x)max=,m的取值范圍為考綱解讀考點(diǎn)內(nèi)容解讀要求高考示例?？碱}型預(yù)測熱度1.含絕對值不等式的解法理解絕對值的幾何意義,會證明和求解絕對值不等式掌握2017課標(biāo)全國,23;2016課標(biāo)全國,24解答題2.不等式的證明了解證明不等式的基本方法掌握2017課標(biāo)全國,23;2016課標(biāo)全國,24解答題分析解讀1.本章主要考查絕對值的幾何意義,絕對值不等式的解法及不等式證明的基本方法.2.絕對值不等式及不等式的證明均為高考的常考點(diǎn).本章在高考中以解答題為主,往往涉及含有兩個絕對值的問題,考查分類討論、等價轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合等思想方法,分值約為10分,難度中等.五年高考考點(diǎn)一含絕對值不等式的解法1.(2017課標(biāo)全國,23,10分)已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)當(dāng)a=1時,求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范圍.解析本題考查絕對值不等式的求解.(1)當(dāng)a=1時,不等式f(x)g(x)等價于x2-x+|x+1|+|x-1|-40.當(dāng)x<-1時,式化為x2-3x-40,無解;當(dāng)-1x1時,式化為x2-x-20,從而-1x1;當(dāng)x>1時,式化為x2+x-40,從而1<x.所以f(x)g(x)的解集為.(2)當(dāng)x-1,1時,g(x)=2.所以f(x)g(x)的解集包含-1,1等價于當(dāng)x-1,1時f(x)2.又f(x)在-1,1的最小值必為f(-1)與f(1)之一,所以f(-1)2且f(1)2,得-1a1.所以a的取值范圍為-1,1.2.(2016課標(biāo)全國,24,10分)已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a.(1)當(dāng)a=2時,求不等式f(x)6的解集;(2)設(shè)函數(shù)g(x)=|2x-1|.當(dāng)xR時, f(x)+g(x)3,求a的取值范圍.解析(1)當(dāng)a=2時, f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+26得-1x3.因此f(x)6的解集為x|-1x3.(5分)(2)當(dāng)xR時,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,當(dāng)x=時等號成立,所以當(dāng)xR時, f(x)+g(x)3等價于|1-a|+a3.(7分)當(dāng)a1時,等價于1-a+a3,無解.當(dāng)a>1時,等價于a-1+a3,解得a2.所以a的取值范圍是2,+).(10分)3.(2015課標(biāo),24,10分)選修45:不等式選講已知函數(shù)f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)當(dāng)a=1時,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.解析(1)當(dāng)a=1時,f(x)>1化為|x+1|-2|x-1|-1>0.當(dāng)x-1時,不等式化為x-4>0,無解;當(dāng)-1<x<1時,不等式化為3x-2>0,解得<x<1;當(dāng)x1時,不等式化為-x+2>0,解得1x<2.所以f(x)>1的解集為.(5分)(2)由題設(shè)可得,f(x)=所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個頂點(diǎn)分別為A,B(2a+1,0),C(a,a+1),ABC的面積為(a+1)2.由題設(shè)得(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范圍為(2,+).(10分)教師用書專用(412)4.(2015山東,5,5分)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是() A.(-,4)B.(-,1)C.(1,4)D.(1,5)答案A5.(2014湖南,13,5分)若關(guān)于x的不等式|ax-2|<3的解集為x-<x<,則a=.答案-36.(2015重慶,16,5分)若函數(shù)f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值為5,則實(shí)數(shù)a=.答案-6或47.(2014廣東,9,5分)不等式|x-1|+|x+2|5的解集為.答案x|x-3或x28.(2013江西,15(2),5分)(不等式選做題)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),不等式|x-2|-1|1的解集為.答案0,49.(2013重慶,16,5分)若關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x-5|+|x+3|<a無解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案(-,810.(2015江蘇,21D,10分)選修45:不等式選講解不等式x+|2x+3|2.解析原不等式可化為或解得x-5或x-.綜上,原不等式的解集是.11.(2014課標(biāo),24,10分)選修45:不等式選講設(shè)函數(shù)f(x)=+|x-a|(a>0).(1)證明:f(x)2;(2)若f(3)<5,求a的取值范圍.解析(1)證明:由a>0,得f(x)=+|x-a|=+a2.所以f(x)2.(2)f(3)=+|3-a|.當(dāng)a>3時,f(3)=a+,由f(3)<5得3<a<.當(dāng)0<a3時,f(3)=6-a+,由f(3)<5得<a3.綜上,a的取值范圍是.12.(2014遼寧,24,10分)選修45:不等式選講設(shè)函數(shù)f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1,記f(x)1的解集為M,g(x)4的解集為N.(1)求M;(2)當(dāng)xMN時,證明:x2f(x)+xf(x)2.解析(1)f(x)=當(dāng)x1時,由f(x)=3x-31得x,故1x;當(dāng)x<1時,由f(x)=1-x1得x0,故0x<1.所以f(x)1的解集為M=.(2)證明:由g(x)=16x2-8x+14得164,解得-x.因此N=,故MN=.當(dāng)xMN時, f(x)=1-x,于是x2f(x)+xf(x)2=xf(x)x+f(x)=xf(x)=x(1-x)=-.考點(diǎn)二不等式的證明1.(2017課標(biāo)全國,23,10分)已知a>0,b>0,a3+b3=2.證明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.證明本題考查不等式的證明.(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因?yàn)?a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+(a+b)=2+,所以(a+b)38,因此a+b2.2.(2017江蘇,21D,10分)已知a,b,c,d為實(shí)數(shù),且a2+b2=4,c2+d2=16,證明:ac+bd8.證明本小題主要考查不等式的證明,考查推理論證能力.由柯西不等式可得:(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2).因?yàn)閍2+b2=4,c2+d2=16,所以(ac+bd)264,因此ac+bd8.3.(2016課標(biāo)全國,24,10分)已知函數(shù)f(x)=+,M為不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)證明:當(dāng)a,bM時,|a+b|<|1+ab|.解析(1)f(x)=(2分)當(dāng)x-時,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;(3分)當(dāng)-<x<時, f(x)<2;(4分)當(dāng)x時,由f(x)<2得2x<2,解得x<1.(5分)所以f(x)<2的解集M=x|-1<x<1.(6分)(2)證明:由(1)知,當(dāng)a,bM時,-1<a<1,-1<b<1,從而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.(10分)4.(2015課標(biāo),24,10分)選修45:不等式選講設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d,證明:(1)若ab>cd,則+>+;(2)+>+是|a-b|<|c-d|的充要條件.證明(1)因?yàn)?+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,由題設(shè)a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.因此+>+.(2)(i)若|a-b|<|c-d|,則(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因?yàn)閍+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得+>+.(ii)若+>+,則(+)2>(+)2,即a+b+2>c+d+2.因?yàn)閍+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.綜上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要條件.教師用書專用(59)5.(2013陜西,15A,5分)(不等式選做題)已知a,b,m,n均為正數(shù),且a+b=1,mn=2,則(am+bn)(bm+an)的最小值為.答案26.(2015湖南,16(3),6分)選修45:不等式選講設(shè)a>0,b>0,且a+b=+.證明:(1)a+b2;(2)a2+a<2與b2+b<2不可能同時成立.證明由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b2=2,即a+b2.(2)假設(shè)a2+a<2與b2+b<2同時成立,則由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理,0<b<1,從而ab<1,這與ab=1矛盾.故a2+a<2與b2+b<2不可能同時成立.7.(2014課標(biāo),24,10分)選修45:不等式選講若a>0,b>0,且+=.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說明理由.解析(1)由=+,得ab2,且當(dāng)a=b=時等號成立.故a3+b324,且當(dāng)a=b=時等號成立.所以a3+b3的最小值為4.(2)由(1)知,2a+3b24.由于4>6,從而不存在a,b,使得2a+3b=6.8.(2014福建,21(3),7分)選修45:不等式選講已知定義在R上的函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值為a.(1)求a的值;(2)若p,q,r是正實(shí)數(shù),且滿足p+q+r=a,求證:p2+q2+r23.解析(1)因?yàn)閨x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3,當(dāng)且僅當(dāng)-1x2時,等號成立,所以f(x)的最小值等于3,即a=3.(2)證明:由(1)知p+q+r=3,又因?yàn)閜,q,r是正實(shí)數(shù),所以(p2+q2+r2)(12+12+12)(p1+q1+r1)2=(p+q+r)2=9,即p2+q2+r23.9.(2013課標(biāo)全國,24,10分)選修45:不等式選講設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1,證明:(1)ab+bc+ca;(2)+1.證明(1)由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca得a2+b2+c2ab+bc+ca.由題設(shè)得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)1,即ab+bc+ca.(2)易證+b2a,+c2b,+a2c,故+(a+b+c)2(a+b+c),即+a+b+c.所以+1.三年模擬A組20162018年模擬基礎(chǔ)題組考點(diǎn)一含絕對值不等式的解法1.(2018湖南長沙第二次模擬,23)已知函數(shù)f(x)=|x+a2|+|x-a-1|.(1)證明:f(x);(2)若f(4)<13,求a的取值范圍.解析(1)證明:f(x)=|x+a2|+|x-a-1|(x+a2)-(x-a-1)|=|a2+a+1|=+.(2)因?yàn)閒(4)=|a2+4|+|a-3|=所以f(4)<13或解得-2<a<3,即a的取值范圍是(-2,3).2.(2017廣東汕頭潮陽黃圖盛中學(xué)第三次質(zhì)檢,23)已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.(1)解不等式|g(x)|<5;(2)若對任意x1R,都有x2R,使得f(x1)=g(x2)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析(1)由|x-1|+2|<5,得-5<|x-1|+2<5,-7<|x-1|<3,不等式的解集為x|-2<x<4.(2)因?yàn)槿我鈞1R,都有x2R,使得f(x1)=g(x2)成立,所以y|y=f(x)y|y=g(x),又f(x)=|2x-a|+|2x+3|(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x-1|+22,所以|a+3|2,解得a-1或a-5,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為a-1或a-5.考點(diǎn)二不等式的證明3.(2017山西重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體期末,23)已知|x1-2|<1,|x2-2|<1.(1)求證:2<x1+x2<6,|x1-x2|<2;(2)若f(x)=x2-x+1,求證:|x1-x2|<| f(x1)-f(x2)|<5|x1-x2|.證明(1)|x1-2|<1,-1<x1-2<1,即1<x1<3,同理1<x2<3,2<x1+x2<6.|x1-x2|=|(x1-2)-(x2-2)|x1-2|+|x2-2|.|x1-x2|<2.(2)|f(x1)-f(x2)|=|-x1+x2|=|x1-x2|x1+x2-1|,2<x1+x2<6,1<x1+x2-1<5,|x1-x2|<|f(x1)-f(x2)|<5|x1-x2|.4.(2017湖北八校聯(lián)考,23)設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|,aR.(1)當(dāng)a=2時,解不等式f(x)6-|2x-5|;(2)若關(guān)于x的不等式f(x)4的解集為-1,7,且兩正數(shù)s和t滿足2s+t=a,求證:+6.解析(1)當(dāng)a=2時,f(x)6-|2x-5|即為|x-2|+|2x-5|6,或或由得,x;無解;由得,x,所以,原不等式的解集為.(2)不等式f(x)4即為-4x-a4,a-4xa+4,a-4=-1且a+4=7,a=3,+=(2s+t)=6當(dāng)且僅當(dāng)s=,t=2時,等號成立.B組20162018年模擬提升題組(滿分:40分時間:40分鐘)解答題(共40分)1.(2018四川內(nèi)江第一次模擬,23)已知函數(shù)f(x)=|3x-1|+|x-2|的最小值為m.(1)求m的值;(2)設(shè)實(shí)數(shù)a,b滿足2a2+b2=m,證明:2a+b.解析(1)f(x)=f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,f(x)的最小值為f=.m=.(2)由(1)知,2a2+b2=.2aba2+b2,(2a+b)2=4a2+b2+4ab4a2+b2+2(a2+b2)=3(2a2+b2)=5,2a+b.2.(2018安徽淮南第二中學(xué)、宿城第一中學(xué)第四次考試,23)已知函數(shù)h(x)=-|x-3|.(1)若h(x)-|x-2|n對任意的x>0恒成立,求實(shí)數(shù)n的最小值;(2)若函數(shù)f(x)=求函數(shù)g(x)=f(x)+h(x)的值域.解析(1)h(x)-|x-2|n對任意的x>0恒成立,等價于-|x-3|-|x-2|n對任意的x>0恒成立,等價于-n(|x-2|+|x-3|)min.因?yàn)閨x-2|+|x-3|x-2-(x-3)|=1,當(dāng)且僅當(dāng)x2,3時取到等號,所以-n1,得n-1.所以實(shí)數(shù)n的最小值為-1.(2)因?yàn)閒(x)=g(x)=f(x)+h(x),所以g(x)=f(x)-|x-3|=當(dāng)0<x<3時,+x+22+2=2+2,當(dāng)x3時,x+36.綜上,g(x)2+2.所以函數(shù)g(x)=f(x)+h(x)的值域?yàn)?+2,+).3.(2017福建六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=|2x+1|+|2x-3|.(1)求不等式f(x)6的解集;(2)若關(guān)于x的不等式f(x)-log2(a2-3a)>2恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析(1)原不等式等價于或或解得<x2或-x或-1x<-,不等式f(x)6的解集為x|-1x2.(2)不等式f(x)-log2(a2-3a)>2恒成立log2(a2-3a)+2<f(x)=|2x+1|+|2x-3|恒成立log2(a2-3a)+2<f(x)min恒成立,|2x+1|+|2x-3|(2x+1)-(2x-3)|=4,f(x)的最小值為4,log2(a2-3a)+2<4,即解得-1<a<0或3<a<4.實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-1,0)(3,4).4.(2016河南八市重點(diǎn)高中聯(lián)考,24)已知函數(shù)f(x)=|x+m|-|5-x|(mR).(1)當(dāng)m=3時,求不等式f(x)>6的解集;(2)若不等式f(x)10對任意實(shí)數(shù)x恒成立,求m的取值范圍.解析(1)當(dāng)m=3時,f(x)>6,即|x+3|-|x-5|>6.或或解得x5或4<x<5.故不等式f(x)>6的解集為x|x>4.(2)f(x)=|x+m|-|5-x|(x+m)+(5-x)|=|m+5|.由題意得|m+5|10,即-10m+510,解得-15m5.故m的取值范圍為-15,5.C組20162018年模擬方法題組方法1含絕對值不等式的解法1.(2018四川成都第七中學(xué)一診,23)已知函數(shù)f(x)=m-|x-1|-|x+1|.(1)當(dāng)m=5時,求不等式f(x)>2的解集;(2)若函數(shù)y=x2+2x+3與y=f(x)的圖象恒有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解析(1)當(dāng)m=5時, f(x)=所以不等式f(x)>2的解集為.(2)二次函數(shù)y=x2+2x+3=(x+1)2+2,該函數(shù)在x=-1時取到最小值2,因?yàn)閒(x)=在x-1,1時取到最大值m-2,所以要使二次函數(shù)y=x2+2x+3與函數(shù)y=f(x)的圖象恒有公共點(diǎn),只需m-22,即m4.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是4,+).2.(2017廣東韶關(guān)1月調(diào)研,23)已知函數(shù)f(x)=|x+m|+|2x-1|(mR).(1)當(dāng)m=-1時,求不等式f(x)2的解集;(2)設(shè)關(guān)于x的不等式f(x)|2x+1|的解集為A,且A,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解析(1)當(dāng)m=-1時,f(x)=|x-1|+|2x-1|,則f(x)2|x-1|+|2x-1|2,上述不等式可化為或或解得或或0x或<x<1或1x.原不等式的解集為.(2)f(x)|2x+1|的解集包含,當(dāng)x時,不等式f(x)|2x+1|恒成立,即|x+m|+|2x-1|2x+1|在上恒成立,|x+m|+2x-12x+1在上恒成立,即|x+m|2在上恒成立,-2x+m2在上恒成立,-x-2m-x+2在上恒成立,(-x-2)maxm(-x+2)min,-m0,實(shí)數(shù)m的取值范圍是.方法2與絕對值不等式相關(guān)的最值問題的求解策略3.(2017湖南三湘名校聯(lián)盟三模,23)已知函數(shù)f(x)=|2x-a|-|x-1|.(1)當(dāng)a=1時,求f(x)的最小值;(2)存在x0,2時,使得不等式f(x)0成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析(1)當(dāng)a=1時,f(x)=|2x-1|-|x-1|=f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,x=時, f(x)取到最小值-.(2)不等式f(x)0,即|2x-a|x-1|,兩邊平方并化簡得(3x-a-1)(x-a+1)0.a=2時,f(x)0即x=10,2,符合題意;a<2時,a-1<, f(x)0的解集為,0,2,a-12且0,-1a<2;a>2時,a-1>, f(x)0的解集為,0,2,a-10且2,2<a5.綜上所述,a的取值范圍是-1a5.方法3不等式的證明4.(2017山西孝義九校質(zhì)量監(jiān)測,23)已知函數(shù)f(x)=|x+4|-|x-1|,若不等式f(x)>3的解集為P.(1)求P; (2)若a,bP,且a<b<1,證明:+9.解析(1)f(x)=則當(dāng)x-4時,-5>3不成立;當(dāng)-4<x<1時,2x+3>3,解得x>0,0<x<1;當(dāng)x1時,5>3成立,故P=x|x>0.(2)證明:a>0,b>a,a(b-a)=,當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時取等號,又b<1,故+=b2+(1-b2)=5+9,當(dāng)且僅當(dāng)即a=,b=時取等號.