2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 立體幾何 第8課時(shí) 空間向量的應(yīng)用(二) 空間的角與距離練習(xí) 理.doc

第8課時(shí) 空間向量的應(yīng)用(二) 空間的角與距離1在正方體ABCDA1B1C1D1中，M是AB的中點(diǎn)，則sin，的值等于()A.B.C. D.答案B解析分別以DA，DC，DD1為x，y，z軸建系，令A(yù)D1，(1，1，1)，(1，0)cos，.sin，.2已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，AA12AB，E為AA1的中點(diǎn)，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為()A. B.C. D.答案C解析如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系設(shè)AA12AB2，則B(1，1，0)，E(1，0，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，2)(0，1，1)，(0，1，2)cos，.3若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于120，則直線l與平面所成的角等于()A120 B60C30 D150答案C解析設(shè)直線l與平面所成的角為，則sin|cos120|，又090.30.4(2018天津模擬)已知長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，則直線BC1與平面DBB1D1所成角的正弦值為()A. B.C. D.答案C解析由題意，連接A1C1，交B1D1于點(diǎn)O，連接BO.在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，C1OB1D1.易得C1O平面DBB1D1，C1BO即為直線BC1與平面DBB1D1所成的角在RtOBC1中，OC12，BC12，直線BC1與平面DBB1D1所成角的正弦值為，故選C.5.(2018遼寧沈陽和平區(qū)模擬)如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB14，則直線BB1與平面ACD1所成角的正弦值為()A. B.C. D.答案A解析如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系則A(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，4)，B(2，2，0)，B1(2，2，4)，(2，2，0)，(2，0，4)，(0，0，4)設(shè)平面ACD1的法向量為n(x，y，z)，則即取x2，則y2，z1，故n(2，2，1)是平面ACD1的一個(gè)法向量設(shè)直線BB1與平面ACD1所成的角是，則sin|cosn，|.故選A.6若正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都相等，D是A1C1的中點(diǎn)，則直線AD與平面B1DC所成角的正弦值為()A. B.C. D.答案B解析間接法：由正三棱柱的所有棱長都相等，依據(jù)題設(shè)條件，可知B1D平面ACD，B1DDC，故B1DC為直角三角形設(shè)棱長為1，則有AD，B1D，DC，SB1DC.設(shè)A到平面B1DC的距離為h，則有VAB1DCVB1ADC，hSB1DCB1DSADC.h，h.設(shè)直線AD與平面B1DC所成的角為，則sin.向量法：如圖，取AC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)各棱長為2，則有A(0，1，0)，D(0，0，2)，C(0，1，0)，B1(，0，2)設(shè)n(x，y，z)為平面B1CD的法向量，則有n(0，2，1)sin，n.7(2018山東師大附中模擬，理)如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ABCD，ADCD，AB，PA，DAAB，點(diǎn)Q在PB上，且滿足PQQB13，則直線CQ與平面PAC所成角的正弦值為_答案解析方法一：如圖，過點(diǎn)Q作QHCB交PC于點(diǎn)H.DAAB，DCAB，在RtADC中，AC.PA平面ABCD，在RtPAC中，PC.取AB的中點(diǎn)M，連接CM，DCAB，CMAD，在RtCMB中，CB，又PB2PA2AB216，PC2CB2PB2，CBPC.QHBC，QHPC.PACB，PAQH.由可得，QH平面PAC，QCH是直線CQ與平面PAC所成的角QHBC，HCPC，CQ，sinQCH.方法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AP所在的直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，P(0，0，)，C(，0)，B(0，0)，PQPB，Q(0，)，可知平面PAC的一個(gè)法向量為m(1，1，0)，又(，)，|cosm，|，故直線CQ與平面PAC所成角的正弦值為.8(2018上海八校聯(lián)考)如圖所示為一名曰“塹堵”的幾何體，已知AE底面BCFE，DFAE，DFAE1，CE，四邊形ABCD是正方形(1)九章算術(shù)中將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，判斷四面體EABC是否為鱉臑，若是，寫出其每一個(gè)面的直角，并證明；若不是，請(qǐng)說明理由(2)記AB與平面AEC所成的角為，求cos2的值答案(1)略(2)解析(1)AE底面BCFE，EC，EB，BC都在底面BCFE上，AEEC，AEEB，AEBC.四邊形ABCD是正方形，BCAB，BC平面ABE.又BE平面ABE，BCBE，四面體EABC是鱉臑，AEB，AEC，CBE，ABC為直角(2)AE1，CE，AEEC，AC2，又ABCD為正方形BC2，BE.作BOEC于O，則BO平面AEC，連接OA，則OA為AB在面AEC上的射影BAO，由等面積法得BEBCECOB.OB，sin，cos212sin2.提示本題也可用向量法求解9.(2016課標(biāo)全國，理)如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM2MD，N為PC的中點(diǎn)(1)證明：MN平面PAB；(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值答案(1)略(2)解析(1)由已知得AMAD2.取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN.由N為PC的中點(diǎn)知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MNAT.因?yàn)锳T平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)取BC的中點(diǎn)E，連接AE.由ABAC得AEBC，從而AEAD，且AE.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.由題意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(，2，0)，N(，1，2)，(0，2，4)，(，1，2)，(，1，2)設(shè)n(x，y，z)為平面PMN的法向量，則即可取n(0，2，1)于是|cosn，|.所以直線AN與平面PMN所成角的正弦值為.10如圖所示，在四棱臺(tái)ABCDA1B1C1D1中，AA1底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，BAD120，ABAA12A1B12.(1)若M為CD中點(diǎn)，求證：AM平面AA1B1B；(2)求直線DD1與平面A1BD所成角的正弦值答案(1)略(2)解析(1)四邊形ABCD為菱形，BAD120，連接AC，如圖，則ACD為等邊三角形，又M為CD中點(diǎn)，AMCD，由CDAB，得AMAB，AA1底面ABCD，AM平面ABCD，AMAA1，又ABAA1A，AM平面AA1B1B.(2)四邊形ABCD為菱形，BAD120，ABAA12A1B12，DM1，AM，AMDBAM90，又AA1底面ABCD，以AB，AM，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A1(0，0，2)，B(2，0，0)，D(1，0)，D1(，2)，(，2)，(3，0)，(2，0，2)，設(shè)平面A1BD的法向量為n(x，y，z)，則yxz，令x1，則n(1，1)，直線DD1與平面A1BD所成角的正弦值為sin|cosn，|.11.(2018山西太原一模)如圖，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，BE平面ABCD，DFBE，且DF2BE2，EF3.(1)證明：平面ACF平面BEFD；(2)若二面角AEFC是直二面角，求直線AE與平面ABCD所成角的正切值答案(1)略(2)解析(1)四邊形ABCD是菱形，ACBD.BE平面ABCD，BEAC，BDBEB，AC平面BEFD，平面ACF平面BEFD.(2)設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，由(1)得ACBD，分別以O(shè)A，OB為x軸和y軸，過點(diǎn)O作垂直于平面ABCD的直線為z，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，BE平面ABCD，BEBD，DFBE，DFBD，BD2EF2(DFBE)28，BD2.設(shè)OAa(a>0)，則A(a，0，0)，C(a，0，0)，E(0，1)，F(xiàn)(0，2)，(0，2，1)，(a，1)，(a，1)設(shè)m(x1，y1，z1)是平面AEF的法向量，則即令z12，m(，1，2)是平面AEF的一個(gè)法向量，設(shè)n(x2，y2，z2)是平面CEF的法向量，則即令z22，n(，1，2)是平面CEF的一個(gè)法向量，二面角AEFC是直二面角，mn90，a.BE平面ABCD，BAE是直線AE與平面ABCD所成的角，AB2，tanBAE.故直線AE與平面ABCD所成角的正切值為.1.(2017山西臨汾一模)如圖所示，點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外，PA平面ABCD，PAAB，則PB與AC所成的角是()A90 60C45 30答案B解析將其還原成正方體ABCDPQRS，顯然PBSC，ACS為正三角形，ACS60.2.(2018成都一診)如圖，正四棱錐PABCD的體積為2，底面積為6，E為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，則直線BE與平面PAC所成的角為()A60 B30C45 D90答案A解析如圖，正四棱錐PABCD中，根據(jù)底面積為6可得，BC.連接BD，交AC于點(diǎn)O，連接PO，則PO為正四棱錐PABCD的高，根據(jù)體積公式可得，PO1.因?yàn)镻O底面ABCD，所以POBD，又BDAC，POACO，所以BD平面PAC，連接EO，則BEO為直線BE與平面PAC所成的角在RtPOA中，因?yàn)镻O1，OA，所以PA2，OEPA1，在RtBOE中，因?yàn)锽O，所以tanBEO，即BEO60.3.如圖，平面ABCD平面ABEF，四邊形ABCD是正方形，四邊形ABEF是矩形，且AFADa，G是EF的中點(diǎn)，則GB與平面AGC所成角的正弦值為()A. B.C. D.答案C解析設(shè)GB與平面AGC所成的角為.如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(0，2a，0)，C(0，2a，2a)，G(a，a，0)，(a，a，0)，(0，2a，2a)，(a，a，0)，設(shè)平面AGC的法向量為n1(x1，y1，1)，由n1(1，1，1)sin.4已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，AA12AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于()A. B.C. D.答案A解析如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接C1O，過C作CHC1O于點(diǎn)H.CH平面C1BD，HDC為CD與平面BDC1所成的角5(2018黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)期末)在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，點(diǎn)D在棱BB1上，若BD3，則AD與平面AA1C1C所成角的正切值為()A. B.C. D.答案B解析取AC的中點(diǎn)E，連接BE，如圖所示，可得()，即52cos42(為與的夾角)，cos，sin，tan，又BE平面AA1C1C，所求角的正切值為.6(2016北京東城質(zhì)量調(diào)研)在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，側(cè)棱AA12，D，E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.則A1B與平面ABD所成角的余弦值是()A. B.C. D.答案B解析以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，CC1所在直線為z軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)CACBa，則A(a，0，0)，B(0，a，0)，A1(a，0，2)，D(0，0，1)，E(，1)，G(，)，(，)，(0，a，1)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，平面ABD，0，解得a2.(，)，(2，2，2)，平面ABD，為平面ABD的一個(gè)法向量cos<，>，A1B與平面ABD所成的角的余弦值為.7(2018太原模擬)在三棱錐ABCD中，底面BCD為邊長是2的正三角形，頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影為BCD的中心，若E為BC的中點(diǎn)，且直線AE與底面BCD所成角的正切值為2，則三棱錐ABCD外接球的表面積為()A3 B4C5 D6答案D解析頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影為BCD的中心，而且BCD是正三角形，三棱錐ABCD是正三棱錐，ABACAD.令底面BCD的重心(即中心)為P，BCD是邊長為2的正三角形，DE是BC邊上的高，DE，PE，DP.直線AE與底面BCD所成角的正切值為2，即tanAEP2，AP，AE2AP2EP2，AD2，于是ABACADBCCDDB2，三棱錐ABCD為正四面體構(gòu)造正方體，由面上的對(duì)角線構(gòu)成正四面體，故正方體的棱長為，正方體的體對(duì)角線長為，外接球的半徑為，外接球的表面積為4()26.8(2018江西臨海上一中一模)已知在正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長為1.點(diǎn)E是棱A1B1的中點(diǎn)，則直線AE與平面BDD1B1所成角的正弦值是_答案解析取AB的中點(diǎn)為F，連接B1F，過點(diǎn)F作FGBD，垂足為G，連接B1G，由正方體性質(zhì)知BB1FG，BDBB1B，BD平面BDD1B1，BB1平面BDD1B1，所以FG平面BDD1B1，故FB1G為FB1與平面BDD1B1所成的角，所以FG，B1F，所以sinFB1G.又因?yàn)锳EB1F，所以直線AE與平面BDD1B1所成角的正弦值是.9(2014福建，理)在平面四邊形ABCD中ABBDCD1，ABBD，CDBD.將ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如圖所示(1)求證：ABCD；(2)若M為AD中點(diǎn)，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值答案(1)略(2)解析(1)平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD.又CD平面BCD，ABCD.(2)過點(diǎn)B在平面BCD內(nèi)作BEBD，如圖所示由(1)知AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD，ABBE，ABBD.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系依題意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M，則(1，1，0)，(0，1，1)設(shè)平面MBC的法向量n(x0，y0，z0)，則即取z01，得平面MBC的一個(gè)法向量n(1，1，1)設(shè)直線AD與平面MBC所成角為，則sin|cosn，|，即直線AD與平面MBC所成角的正弦值為.10(2017浙江)如圖，已知四棱錐PABCD，PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PCAD2DC2CB，E為PD的中點(diǎn)(1)證明：CE平面PAB；(2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值解析(1)如圖，設(shè)PA中點(diǎn)為F，連接EF，F(xiàn)B.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PD，PA中點(diǎn)，所以EFAD且EFAD，又因?yàn)锽CAD，BCAD，所以EFBC且EFBC，即四邊形BCEF為平行四邊形，所以CEBF，因此CE平面PAB.(2)分別取BC，AD的中點(diǎn)為M，N.連接PN交EF于點(diǎn)Q，連接MQ.因?yàn)镋，F(xiàn)，N分別是PD，PA，AD的中點(diǎn)，所以Q為EF中點(diǎn)，在平行四邊形BCEF中，MQCE.由PAD為等腰直角三角形得PNAD.由DCAD，N是AD的中點(diǎn)得BNAD.所以AD平面PBN，由BCAD得BC平面PBN，那么平面PBC平面PBN.過點(diǎn)Q作PB的垂線，垂足為H，連接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影，所以QMH是直線CE與平面PBC所成的角設(shè)CD1.在PCD中，由PC2，CD1，PD得CE，在PBN中，由PNBN1，PB得QH，在RtMQH中，QH，MQ，所以sinQMH，所以，直線CE與平面PBC所成角的正弦值是.