2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 選考4系列選講 第二講 選考4-5 不等式選講 學(xué)案 理.doc

第二講不等式選講考點(diǎn)一含絕對(duì)值不等式的解法1|axb|c，|axb|c型不等式的解法(1)若c>0，則|axb|ccaxbc，|axb|caxbc或axbc，然后根據(jù)a，b的取值求解即可；(2)若c<0，則|axb|c的解集為，|axb|c的解集為R.2|xa|xb|c，|xa|xb|c(c>0)型不等式的解法(1)零點(diǎn)分段討論法(2)絕對(duì)值的幾何意義(3)數(shù)形結(jié)合法解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)|x1|x1|，即f(x)故不等式f(x)>1的解集為.(2)當(dāng)x(0,1)時(shí)|x1|ax1|>x成立等價(jià)于當(dāng)x(0,1)時(shí)|ax1|<1成立若a0，則當(dāng)x(0,1)時(shí)|ax1|1；若a>0時(shí)，則|ax1|<1的解集為.所以1，故0<a2.用零點(diǎn)分段討論法解絕對(duì)值不等式的4步(1)令每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的代數(shù)式為零，并求出相應(yīng)的根；(2)將這些根按從小到大排列，把實(shí)數(shù)集分為若干個(gè)區(qū)間；(3)由所分區(qū)間去掉絕對(duì)值符號(hào)得若干個(gè)不等式，解這些不等式，求出解集；(4)取各個(gè)不等式解集的并集就是原不等式的解集對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2018湖北黃岡模擬)已知函數(shù)f(x)|2xa|2x1|(aR)(1)當(dāng)a1時(shí)，求f(x)2的解集(2)若f(x)|2x1|的解集包含集合，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)|2x1|2x1|，由f(x)2得1.上述不等式化為數(shù)軸上點(diǎn)x到兩點(diǎn)，的距離之和小于等于1，則x，即原不等式的解集為.(2)f(x)|2x1|的解集包含，當(dāng)x時(shí)，不等式f(x)|2x1|恒成立，|2xa|2x12x1，即|2xa|2，2x2a2x2在x上恒成立，(2x2)maxa(2x2)min，0a3.考點(diǎn)二含絕對(duì)值不等式的綜合問題1定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)，等號(hào)成立2定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時(shí)，等號(hào)成立解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)可得f(x)0的解集為x|2x3(2)f(x)1等價(jià)于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，且當(dāng)x2時(shí)等號(hào)成立故f(x)1等價(jià)于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2.角度2：含絕對(duì)值不等式的恒成立問題解(1)由題意得，當(dāng)a2018時(shí)，f(x)因?yàn)閒(x)在2018，)上單調(diào)遞增，所以f(x)的值域?yàn)?018，)(2)由g(x)|x1|，不等式g(x)2>xf(x)恒成立，知|x1|xa|>2恒成立，即(|x1|xa|)min>2.而|x1|xa|(x1)(xa)|1a|，所以|1a|>2，解得a>1或a<3.絕對(duì)值恒成立問題應(yīng)關(guān)注的3點(diǎn)(1)巧用“|a|b|ab|a|b|”求最值(2)f(x)<a恒成立f(x)max<a，f(x)>a恒成立f(x)min>a.(3)f(x)<a有解f(x)min<a，f(x)>a有解f(x)max>a.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1角度1(2018山東淄博模擬)設(shè)函數(shù)f(x)|x4|.(1)若yf(2xa)f(2xa)的最小值為4，求a的值；(2)求不等式f(x)>1x的解集解(1)因?yàn)閒(x)|x4|，所以yf(2xa)f(2xa)|2xa4|2xa4|2xa4(2xa4)|2a|，又yf(2xa)f(2xa)的最小值為4，|2a|4，a2.(2)f(x)|x4|不等式f(x)>1x等價(jià)于解得x>2或x<10，故不等式f(x)>1x的解集為x|x>2或x<102角度2(2018河南鄭州二模)已知函數(shù)f(x)|2x1|，g(x)|x|a.(1)當(dāng)a0時(shí)，解不等式f(x)g(x)；(2)若存在xR，使得f(x)g(x)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)a0時(shí)，由f(x)g(x)得|2x1|x|，兩邊平方整理得3x24x10，解得x1或x，原不等式的解集為(，1.(2)由f(x)g(x)得a|2x1|x|，令h(x)|2x1|x|，則h(x)故h(x)minh，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為a.考點(diǎn)三不等式的證明定理1：設(shè)a，bR，則a2b22ab.當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立定理2：如果a，b為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立定理3：如果a，b，c為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立證明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因?yàn)?ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.證明不等式的方法和技巧(1)如果已知條件與待證明的結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；如果待證的命題以“至少”“至多”等方式給出或是否定性命題、唯一性命題，則考慮用反證法(2)在必要的情況下，可能還需要使用換元法、構(gòu)造法等技巧簡化對(duì)問題的表述和證明尤其是對(duì)含絕對(duì)值不等式的解法或證明，其簡化的基本思路是化去絕對(duì)值號(hào)，轉(zhuǎn)化為常見的不等式(組)求解多以絕對(duì)值的幾何意義或“找零點(diǎn)、分區(qū)間、逐個(gè)解、并起來”為簡化策略，而絕對(duì)值三角不等式，往往作為不等式放縮的依據(jù)對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a>0，b>0，c>0，且abc1.(1)證明：(1a)(1b)(1c)8；(2)證明：.證明(1)1a2，1b2，1c2，(1a)(1b)(1c)2228，abc1，(1a)(1b)(1c)8.(2)abbc22，abac22，bcac22，上面三式相加得，2ab2bc2ca222，即abbcca.又abbcac，.1(2017全國卷)已知函數(shù)f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí)，不等式f(x)g(x)等價(jià)于x2x|x1|x1|40.當(dāng)x<1時(shí)，式化為x23x40，無解；當(dāng)1x1時(shí)，式化為x2x20，從而1x1；當(dāng)x>1時(shí)，式化為x2x40，從而1<x.所以f(x)g(x)的解集為.(2)解法一(等價(jià)轉(zhuǎn)化法)：當(dāng)x1,1時(shí)，g(x)2.所以f(x)g(x)的解集包含1,1等價(jià)于當(dāng)x1,1時(shí)f(x)2.又f(x)在1,1的最小值必為f(1)與f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1a1.所以a的取值范圍為1,1解法二(分類討論法)：當(dāng)x1,1時(shí)，g(x)2，所以f(x)g(x)的解集包含1,1等價(jià)于x1,1時(shí)f(x)2，即x2ax42，當(dāng)x0時(shí)，x2ax42成立；當(dāng)x(0,1時(shí)，x2ax42可化為ax，而yx在(0,1單調(diào)遞增，最大值為1，所以a1；當(dāng)x1,0)時(shí)，x2ax42可化為ax，而yx在1,0)單調(diào)遞增，最小值為1，所以a1.綜上，a的取值范圍為1,12(2018全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)|2x1|x1|.(1)畫出yf(x)的圖象；(2)當(dāng)x0，)時(shí)，f(x)axb，求ab的最小值解(1)f(x)yf(x)的圖象如圖所示(2)由(1)知，yf(x)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，且各部分所在直線斜率的最大值為3，故當(dāng)且僅當(dāng)a3且b2時(shí)，f(x)axb在0，)成立，因此ab的最小值為5.1.不等式選講是高考的選考內(nèi)容之一，考查的重點(diǎn)是不等式的證明、絕對(duì)值不等式的解法等，命題的熱點(diǎn)是絕對(duì)值不等式的求解，以及絕對(duì)值不等式與函數(shù)的綜合問題的求解2此部分命題形式單一、穩(wěn)定，難度中等，備考本部分內(nèi)容時(shí)應(yīng)注意分類討論思想的應(yīng)用專題跟蹤訓(xùn)練(三十三)1(2018廣州二模)設(shè)函數(shù)f(x)|2x3|x1|.(1)解不等式f(x)>4；(2)若x，不等式a1<f(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)f(x)|2x3|x1|，f(x)f(x)>4或或x<2或0<x1或x>1.不等式f(x)>4的解集為(，2)(0，)(2)由(1)知，當(dāng)x<時(shí)，f(x)3x2，當(dāng)x<時(shí)，f(x)3x2>，a1，即a.實(shí)數(shù)a的取值范圍為.2(2018河南新鄉(xiāng)二模)已知函數(shù)f(x)|x4|x1|3.(1)求不等式f(x)2的解集；(2)若直線ykx2與函數(shù)f(x)的圖象有公共點(diǎn)，求k的取值范圍解(1)由f(x)2，得或或解得0x5，故不等式f(x)2的解集為0,5(2)f(x)|x4|x1|3作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，易知直線ykx2過定點(diǎn)C(0，2)，當(dāng)此直線經(jīng)過點(diǎn)B(4,0)時(shí)，k；當(dāng)此直線與直線AD平行時(shí)，k2.故由圖可知，k(，2).3(2018大慶二模)已知f(x)|x3|x1|，g(x)x22mx.(1)求不等式f(x)>4的解集；(2)若對(duì)任意的x1，x2，f(x1)g(x2)恒成立，求m的取值范圍解(1)解法一：不等式f(x)>4即|x3|x1|>4.可得或或解得x<3或x>1，所以不等式的解集為x|x<3或x>1解法二：|x3|x1|x3(x1)|4，當(dāng)且僅當(dāng)(x3)(x1)0，即3x1時(shí)，等號(hào)成立所以不等式的解集為x|x<3或x>1(2)依題意可知f(x)ming(x)max，由(1)知f(x)min4，因?yàn)間(x)x22mx(xm)2m2，所以g(x)maxm2.由m24得m的取值范圍是2m2.4(2018西安一模)設(shè)a、b為正實(shí)數(shù)，且2.(1)求a2b2的最小值；(2)若(ab)24(ab)3，求ab的值解(1)由22得ab，當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)故a2b22ab1，當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)所以a2b2的最小值是1.(2)由2可得ab2ab，(ab)2(ab)24ab8a2b24ab4(ab)3，(ab)22ab10，即(ab1)20，ab10，即ab1.