江蘇省2019高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)優(yōu)編增分練：高考附加題加分練四不等式選講.doc

(四)不等式選講 1．已知正數(shù)x，y滿足x2＋y2＝2，求證：x＋y≥2xy. 證明　∵x>0，y>0， ∴要證x＋y≥2xy，只要證(x＋y)2≥4x2y2， 即證x2＋y2＋2xy≥4x2y2. ∵x2＋y2＝2，∴只要證2＋2xy≥4x2y2， 即證2(xy)2－xy－1≤0，即證(2xy＋1)(xy－1)≤0. ∵2xy＋1>0，∴只要證xy≤1. ∵2xy≤x2＋y2＝2，∴xy≤1成立， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)取等號． ∴x＋y≥2xy. 2．已知a，b，c都是正數(shù)且abc＝1，求證：(2＋a)(2＋b)(2＋c)≥27. 證明　由算術(shù)－幾何平均不等式可得 2＋a＝1＋1＋a≥3， 2＋b＝1＋1＋b≥3， 2＋c＝1＋1＋c≥3. 不等式兩邊分別相乘可得， (2＋a)(2＋b)(2＋c)≥333＝27＝27， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝1時(shí)等號成立． 3．已知函數(shù)f(x)＝2|x－2|＋3|x＋3|.若函數(shù)f(x)的最小值為m，正實(shí)數(shù)a，b滿足4a＋25b＝m，求＋的最小值，并求出此時(shí)a，b的值． 解　依題意知，f(x)＝ 當(dāng)x＝－3時(shí)，函數(shù)f(x)有最小值10，故4a＋25b＝10， 故＋＝ ＝≥＝， 當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)等號成立， 此時(shí)a＝，b＝. 4．(2018鎮(zhèn)江調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝|x－a|＋|x＋a|，若對任意x∈R，不等式f(x)>a2－3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　∵對任意x∈R，不等式f(x)>a2－3恒成立， ∴f(x)min>a2－3， 又∵|x－a|＋|x＋a|≥ |x－a－(x＋a)|＝|2a|， ∴|2a|>a2－3， 即|a|2－2|a|－3<0， 解得－1<|a|<3. ∴－3<a<3.