2019屆高考數(shù)學總復習 模塊七 選考模塊 第20講 坐標系與參數(shù)方程學案 文.docx

第20講坐標系與參數(shù)方程1.2016全國卷 在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=acost,y=1+asint(t為參數(shù),a>0).在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:=4cos.(1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標方程;(2)直線C3的極坐標方程為=0,其中0滿足tan0=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a.試做 2.2017全國卷 在直角坐標系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為x=2+t,y=kt(t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為x=-2+m,y=mk(m為參數(shù)).設l1與l2的交點為P,當k變化時,P的軌跡為曲線C.(1)寫出C的普通方程;(2)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,設l3:(cos+sin)-2=0,M為l3與C的交點,求M的極徑.試做 命題角度坐標系與參數(shù)方程(1)利用x=cos,y=sin以及2=x2+y2可將極坐標方程與直角坐標方程互化.(2)化參數(shù)方程為普通方程的關鍵是消參,可以利用加減消元法、平方消元法、代入法等.在參數(shù)方程與普通方程的互化過程中,必須使兩種方程中的x,y的取值范圍保持一致.(3)解決極坐標問題的一般思路:將曲線的極坐標方程聯(lián)立,再根據(jù)限制條件求出極坐標;在對極坐標的意義和應用不太熟悉的時候,可將極坐標方程化為直角坐標方程,求出交點坐標,再將其化為極坐標.(4)解決坐標系與參數(shù)方程中求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時,一般方法是先分別化為普通方程或直角坐標方程后再求解,也可直接利用極坐標的幾何意義求解,解題時要結合題目自身特點,靈活選擇方程的類型.解答1極坐標與簡單曲線的極坐標方程1 在平面直角坐標系xOy中,已知直線l:x+3y=53,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,圓C的極坐標方程為=4sin.(1)求直線l的極坐標方程和圓C的直角坐標方程;(2)射線OP:=6(0)與圓C的交點為O,A,與直線l的交點為B,求線段AB的長.聽課筆記【考場點撥】將直角坐標方程化為極坐標方程時,只要運用公式x=cos及y=sin,直接代入并化簡即可; 將極坐標方程化為直角坐標方程時,常用極坐標方程兩邊同乘(或同除以),將極坐標方程構造成含有sin,cos,2的形式,然后利用公式代換化簡得到直角坐標方程.【自我檢測】以平面直角坐標系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,且在兩種坐標系中取相同的長度單位.曲線C的極坐標方程是2=161+3cos2.(1)求曲線C的直角坐標方程;(2)設曲線C與x軸正半軸及y軸正半軸交于點M,N,在第一象限內任取曲線C上一點P,求四邊形OMPN面積的最大值.解答2簡單曲線的參數(shù)方程2 已知曲線C的極坐標方程是-4sin=0,以極點為原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線l過點M(1,0),傾斜角為34.(1)求曲線C的直角坐標方程與直線l的參數(shù)方程;(2)設直線l與曲線C交于A,B兩點,求|MA|+|MB|的值.聽課筆記【考場點撥】高考中直線參數(shù)方程問題的注意點:(1)利用直線的參數(shù)方程x=x0+tcos,y=y0+tsin(t為參數(shù))中參數(shù)的幾何意義求解時,若A,B為直線上兩點,其對應的參數(shù)分別為t1,t2,線段AB的中點為M,點M所對應的參數(shù)為t0,P(x0,y0),則以下結論在解題中經(jīng)常用到:t0=t1+t22;|AB|=|t2-t1|;|PA|PB|=|t1t2|.(2)用參數(shù)方程的幾何意義解題時,參數(shù)方程必須是標準形式,即滿足參數(shù)t前面的系數(shù)的平方和等于1,否則會出現(xiàn)錯誤.【自我檢測】在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為x=1+tcos,y=3+tsin,t為參數(shù),0,).以坐標原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,圓C的極坐標方程為=8sin+6.(1)求圓C的圓心的直角坐標;(2)設點P(1,3),若直線l與圓C交于A,B兩點,求證:|PA|PB|為定值,并求出該定值.解答3極坐標與參數(shù)方程的綜合應用3 在直角坐標系xOy中,曲線C1:x=3cos,y=sin(為參數(shù)),在以O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:(cos-sin)=4.(1)寫出曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程;(2)若曲線C1上有一動點M,曲線C2上有一動點N,求|MN|最小時M點的坐標.聽課筆記【考場點撥】高考中利用參數(shù)解題的幾點應用:(1)在圓錐曲線截直線的弦長問題中的應用.這類問題通常是過某一定點作一直線與圓錐曲線相交于A,B兩點,所求問題與定點到A,B兩點的距離有關,主要利用定點在直線AB上以及參數(shù)t的幾何意義,結合根與系數(shù)的關系進行處理.(2)解決中點問題.可利用t0=t1+t22結合t的幾何意義去解決.(3)與直線有關的最值、范圍問題.這類問題主要是線段的兩個端點在圓錐曲線上,求相應的最大值和最小值問題.解決此類問題時可以先利用參數(shù)方程中的參數(shù)去表示,然后利用三角函數(shù)的相關知識求解.【自我檢測】以平面直角坐標系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,并在兩種坐標系中取相同的長度單位.曲線C1的極坐標方程為sin2-4cos=0,曲線C2的參數(shù)方程為x=-1+2cos,y=2sin(為參數(shù)).(1)求曲線C1的直角坐標方程及曲線C2的普通方程;(2)已知點P12,0,直線l的參數(shù)方程為x=12+22t,y=22t(t為參數(shù)),設直線l與曲線C1 交于M,N兩點,求1|PM|+1|PN|的值.模塊七選考模塊第20講坐標系與參數(shù)方程 典型真題研析1.解:(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓.將x=cos,y=sin代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標方程為2-2sin+1-a2=0.(2)曲線C1,C2的公共點的極坐標滿足方程組2-2sin+1-a2=0,=4cos.若0,則由方程組得16cos2-8sincos+1-a2=0,由已知tan=2,可得16cos2-8sincos=0,從而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.當a=1時,極點也為C1,C2的公共點,在C3上,所以a=1.2.解:(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1:y=k(x-2),消去參數(shù)m得l2的普通方程l2:y=1k(x+2).設P(x,y),由題設得y=k(x-2),y=1k(x+2),消去k得x2-y2=4(y0),所以C的普通方程為x2-y2=4(y0).(2)C的極坐標方程為2(cos2-sin2)=4(0<<2,).聯(lián)立2(cos2-sin2)=4,(cos+sin)-2=0,得cos-sin=2(cos+sin).故tan=-13,從而cos2=910,sin2=110.代入2(cos2-sin2)=4得2=5,所以交點M的極徑為5. 考點考法探究解答1例1解:(1)在x+3y=53中,令x=cos,y=sin,得cos+3sin=53,化簡得2sin+6=53,即為直線l的極坐標方程.由=4sin得2=4sin,又2=x2+y2,y=sin,所以x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4,即為圓C的直角坐標方程.(2)由題知A=4sin6=2,B=532sin(6+6)=5,所以|AB|=|A-B|=3.【自我檢測】解:(1)2=161+3cos2可變形為2+32cos2=16,又2=x2+y2,cos=x,x2+y2+3x2=16,曲線C的直角坐標方程為x24+y216=1.(2)由已知和(1)可得M(2,0),N(0,4),設P(2cos,4sin),0,2,則S四邊形OMPN=SOMP+SONP=1224sin+1242cos=4sin+4cos=42sin+4,由0,2,得+44,34,于是42sin+442,當且僅當+4=2,即=4時取等號,四邊形OMPN面積的最大值為42.解答2例2解:(1)因為-4sin=0,所以2=4sin,所以x2+y2=4y,即曲線C的直角坐標方程為x2+(y-2)2=4.直線l的參數(shù)方程為x=1+tcos34,y=tsin34(t為參數(shù)),即x=1-22t,y=22t(t為參數(shù)).(2)設點A,B對應的參數(shù)分別為t1,t2,將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程得1-22t2+22t-22=4,整理得t2-32t+1=0,所以t1+t2=32,t1t2=1,所以t1>0,t2>0,所以|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=t1+t2=32.【自我檢測】解:(1)由=8sin+6得2=43sin+4cos,所以圓C的直角坐標方程為x2+y2-4x-43y=0,圓心C的坐標為(2,23).(2) 證明:將x=1+tcos,y=3+tsin代入x2+y2-4x-43y=0,整理得t2-(23sin+2cos)t-12=0,設點A,B所對應的參數(shù)分別為t1,t2,則t1t2=-12,P(1,3),|PA|PB|=|t1t2|=12,為定值.解答3例3解:(1)由題知曲線C1的普通方程為x29+y2=1.由(cos-sin)=4及x=cos,y=sin得C2的直角坐標方程為x-y-4=0.(2)設M(3cos,sin),結合圖像可知,|MN|的最小值即為點M到直線C2的距離的最小值.點M到直線C2的距離d=|3cos-sin-4|2=|10cos(+)-4|2,其中tan=13,當cos(+)=1時,d最小,即|MN|最小.此時,3cos-sin=10,結合sin2+cos2=1可得cos=31010,sin=-1010.即此時M點的坐標為91010,-1010.【自我檢測】解:(1)因為sin2-4cos=0,所以2sin2-4cos=0,所以y2=4x,即曲線C1的直角坐標方程為y2=4x.因為x=-1+2cos,y=2sin,所以(x+1)2+y2=4,即曲線C2的普通方程為(x+1)2+y2=4.(2)將直線l的參數(shù)方程x=12+22t,y=22t代入y2=4x,整理得t2-42t-4=0,設M,N兩點對應的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=42,t1t2=-4,所以1|PM|+1|PN|=1|t1|+1|t2|=|t1|+|t2|t1t2|=|t1-t2|t1t2|=(t1+t2)2-4t1t2|t1t2|=3.備選理由 在解決取值范圍問題時常用三角函數(shù),備用例1是對例3應用的一個補充.例1配例3使用 在平面直角坐標系xOy中,直線l經(jīng)過點P(-3,0),其傾斜角為,以原點O為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,且在兩種坐標系中取相同的長度單位,已知曲線C的極坐標方程為2-2cos-3=0.(1)若直線l與曲線C有公共點,求傾斜角的取值范圍;(2)設M(x,y)為曲線C上任意一點,求x+y的取值范圍.解:(1)將曲線C的極坐標方程2-2cos-3=0化為直角坐標方程為x2+y2-2x-3=0,直線l的參數(shù)方程為x=-3+tcos,y=tsin(t為參數(shù)),將直線l的參數(shù)方程代入x2+y2-2x-3=0,整理得t2-8tcos+12=0,直線l與曲線C有公共點,=64cos2-480,cos32或cos-32,又0,),的取值范圍是0,656,.(2)曲線C的直角坐標方程x2+y2-2x-3=0可化為(x-1)2+y2=4,其參數(shù)方程為x=1+2cos,y=2sin(為參數(shù)).M(x,y)為曲線C上任意一點,x+y=1+2cos+2sin=1+22sin+4,x+y的取值范圍是1-22,1+22.