（江蘇專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 第29練 立體幾何中的向量方法、拋物線試題 理.docx

第29練立體幾何中的向量方法、拋物線明晰考情1.命題角度：空間角的計算，頂點在坐標原點的拋物線的標準方程與幾何性質(zhì).2.題目難度：中檔難度.考點一空間角的計算要點重組設(shè)直線l，m的方向向量分別為a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2).平面，的法向量分別為(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同).(1)線線夾角設(shè)l，m的夾角為，則cos.(2)線面夾角設(shè)直線l與平面的夾角為，則sin|cosa，|.(3)二面角設(shè)l的夾角為(0)，則|cos|cos，v|.方法技巧利用空間向量求解立體幾何中的綜合問題，要根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標系，將題中條件數(shù)量化，利用計算方法求解幾何問題.1.如圖，在四棱錐PABCD中，ADBC，ABBC2，ADPD4，BAD60，ADP120，點E為PA的中點.(1)求證：BE平面PCD；(2)若平面PAD平面ABCD，求直線BE與平面PAC所成角的正弦值.(1)證明取PD中點F，連結(jié)CF，EF.因為點E為PA的中點，所以EFAD且EFAD，又因為BCAD且BCAD，所以EFBC且EFBC，所以四邊形BCFE為平行四邊形，所以BECF，又BE平面PCD，CF平面PCD，所以BE平面PCD.(2)解在平面ABCD中，過點D作DGAD，在平面PAD中，過點D作DHAD.因為平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，DG平面ABCD，所以DG平面PAD，又DH平面PAD，所以DGDH，所以DA，DG，DH兩兩互相垂直.以D為原點，DA，DG，DH所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系Dxyz(如圖)，則A(4，0，0)，B(3，0)，C(1，0)，P，E，所以(3，0)，設(shè)n(x，y，z)是平面ACP的一個法向量，則即取x1，則y，z，得n(1，).設(shè)直線BE與平面PAC所成角為，則sin|cosn，|，所以直線BE與平面PAC所成角的正弦值為.2.如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M為EC的中點，AFABBCFEAD.(1)求異面直線BF與DE所成的角的大??；(2)證明：平面AMD平面CDE；(3)求二面角ACDE的余弦值.(1)解如圖所示，以A為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz.設(shè)AB1，依題意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0，1,1)，F(xiàn)(0,0,1)，M，A(0,0,0).則(1,0,1)，(0，1,1)，于是cos，.所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60.(2)證明由，(1,0,1)，(0,2,0)，可得0，0.因此，CEAM，CEAD.又AMADA，AM平面AMD，AD平面AMD，故CE平面AMD.又CE平面CDE，所以平面AMD平面CDE.(3)解設(shè)平面CDE的法向量為u(x，y，z)，則即令x1，可得u(1,1,1).又由題設(shè)知，平面ACD的一個法向量為v(0,0,1).所以cosu，v.因為二面角ACDE為銳角，所以其余弦值為.3.如圖，已知四棱錐PABCD的底面為直角梯形，ABCD，DAB90，PA底面ABCD，且PAADDCAB1，M是PB的中點.(1)證明：平面PAD平面PCD；(2)求AC與PB所成角的余弦值；(3)求平面AMC與平面BMC所成二面角(銳角)的余弦值.(1)證明建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0)，D(1,0,0)，P(0,0,1)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，M.因為(0,0,1)，(0,1,0)，故0，所以APDC.由題設(shè)知ADDC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，所以DC平面PAD.又DC平面PCD，所以平面PAD平面PCD.(2)解因為(1,1,0)，(0,2，1)，所以|，|，2，所以cos，.(3)解設(shè)平面AMC的一個法向量為n1(x1，y1，z1).則取x11，得y11，z12，所以n1(1，1,2).同理可得平面BMC的一個法向量為n2(1,1,2).因為cosn1，n2.所以平面AMC與平面BMC所成二面角(銳角)的余弦值為.4.(2018江蘇省邗江中學(xué)調(diào)研)如圖，在三棱錐ABCD中，已知ABD，BCD都是邊長為2的等邊三角形，E為BD的中點，且AE平面BCD，F(xiàn)為線段AB上一動點，記.(1)當(dāng)時，求異面直線DF與BC所成角的余弦值；(2)當(dāng)CF與平面ACD所成角的正弦值為時，求的值.解連結(jié)CE, 以EB，EC，EA所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0，)，B(1,0,0)，C(0，0)，D(1,0,0)，因為F為線段AB上一動點，且，則(1,0，)(，0，), 所以F(1，0，).(1)當(dāng)時，F(xiàn)，(1，0)，所以cos，所以異面直線DF與BC所成角的余弦值為. (2)(1，)，(1,0，)，設(shè)平面ACD的一個法向量為n(x，y，z)，則取x，得n(，1，1)，設(shè)CF與平面ACD所成的角為，則sin |cos，n|.解得或2(舍去)，所以.考點二拋物線要點重組(1)拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點F到準線的距離，等于焦點到拋物線頂點的距離.牢記它對解題非常有益.(2)求拋物線方程時，若由已知條件可知曲線是拋物線，要依據(jù)題設(shè)條件，弄清拋物線的對稱軸和開口方向，再正確選擇拋物線標準方程.(3)在解題中，拋物線上的點、焦點、準線三者通常與拋物線的定義相聯(lián)系，要注意相互轉(zhuǎn)化.5.(1)已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點M(2，2)，求它的標準方程.(2)已知A，B是拋物線y22px(p0)上不同的兩點，O為坐標原點，若OAOB，且AOB的垂心恰是此拋物線的焦點F，求直線AB的方程.解(1)拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在原點，并且經(jīng)過點M(2，2)，可設(shè)它的標準方程為y22px(p0).點M在拋物線上，(2)22p2，即p2.因此，所求拋物線的標準方程是y24x.(2)如圖所示.設(shè)A(x0，y0)，由題意可知，B(x0，y0).又F是AOB的垂心，則AFOB，kAFkOB1，即1，yx0.又y2px0，x02p.因此直線AB的方程為x.6.已知過拋物線y22px(p0)的焦點，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)兩點，且AB9.(1)求該拋物線的方程；(2)O為坐標原點，C為拋物線上一點，若，求的值.解(1)直線AB的方程是y2，與y22px聯(lián)立，從而有4x25pxp20，又x1,2，所以x1x2.由拋物線定義得ABx1x2p9，所以p4，所以拋物線方程為y28x.(2)由p4,4x25pxp20，化簡得x25x40，從而x11，x24，y12，y24，從而A(1，2)，B(4,4).設(shè)(x3，y3)(1，2)(4,4)(14，24).又因為y8x3，即2(21)28(41)，即(21)241，解得0或2.綜上0或2.7.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A(8，4)，P(2，t)(t0)在拋物線y22px(p0)上.(1)求p，t的值；(2)過點P作PM垂直于x軸，M為垂足，直線AM與拋物線的另一交點為B，點C在直線AM上.若PA，PB，PC的斜率分別為k1，k2，k3，且k1k22k3，求點C的坐標.解(1)將點A(8，4)代入y22px，得p1.所以拋物線的方程為y22x.將點P(2，t)代入y22x，得t2.因為t0，所以t2.(2)依題意，點M的坐標為(2,0)，直線AM的方程為yx.聯(lián)立解得B.所以k1，k22，代入k1k22k3，得k3，從而直線PC的方程為yx，聯(lián)立解得C.8.已知傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線：y22px(p>0)的焦點F，與拋物線相交于A，B兩點，且AB8.(1)求拋物線的方程；(2)過點P(12,8)的兩條直線l1，l2分別交拋物線于點C，D和E，G，線段CD和EG的中點分別為M，N.如果直線l1與l2的傾斜角互余，求證：直線MN經(jīng)過一定點.(1)解由題意可設(shè)直線AB的方程為yx，由消去y整理得x23px0，9p248p2>0，令A(yù)(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x23p，由拋物線的定義得ABx1x2p4p8，p2.拋物線的方程為y24x.(2)證明設(shè)直線l1，l2的傾斜角分別為，由題意知，.直線l1的斜率為k，則ktan.直線l1與l2的傾斜角互余，tantan，直線l2的斜率為.直線CD的方程為y8k(x12)，即yk(x12)8.由消去x整理得ky24y3248k0，設(shè)C(xC，yC)，D(xD，yD)，yCyD，xCxD24，點M的坐標為.以代替點M坐標中的k，可得點N的坐標為(122k28k,2k)，kMN.直線MN的方程為y2kx(122k28k)，即yx10，顯然當(dāng)x10時，y0，故直線MN經(jīng)過定點(10，0).1.如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ABAD，BC，AB1，BDPA2.(1)求異面直線BD與PC所成角的余弦值；(2)求二面角APDC的余弦值.解(1)因為PA平面ABCD，AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以PAAB，PAAD.又ADAB，故分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系.根據(jù)條件得AD.所以B(1,0,0)，D(0，0)，C，P(0,0,2)，從而(1，0)，.設(shè)異面直線BD，PC所成的角為，則cos|cos，|.即異面直線BD與PC所成角的余弦值為.(2)因為AB平面PAD，所以平面PAD的一個法向量為(1,0,0)，設(shè)平面PCD的一個法向量為n(x，y，z)，由n，n，(0，2)，得解得不妨取z3，得n(2,2，3).設(shè)二面角APDC的大小為，則coscos，n.即二面角APDC的余弦值為.2.(2018江蘇省泰州中學(xué)月考)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，四邊形AA1C1C是邊長為4的正方形，AB3，BC5.(1)求直線A1B與平面BB1C1所成角的正弦值；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)證明：在線段BC1上存在點D，使得ADA1B，并求的值.解(1)如圖，以A為原點，AC，AB，AA1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz，則B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4).則(0,0，4)，(4，3,4)，設(shè)平面B1BC1的法向量為m(x，y，z)，則即令x3，則y4，所以m(3,4,0)，又(0,3，4).設(shè)直線A1B與平面BB1C1所成的角為，則sin |cosm，A1B|，所以直線A1B與平面BB1C1所成角的正弦值為.(2)設(shè)平面A1BC1的法向量為n(x，y，z)，則即令z3，則x0，y4，所以n(0,4,3).由(1)可得平面B1BC1的法向量m(3,4,0).所以cosn，m.由圖形知二面角A1BC1B1為銳角，所以二面角A1BC1B1的余弦值為.(3)設(shè)D(x，y，z)是線段BC1上一點，且BC1(01)，所以(x，y3，z) (4，3,4)，解得x4，y33，z4，所以(4，33，4)，由A1B0，得9250，解得.所以在線段BC1上存在點D，使得ADA1B，此時.3.已知拋物線C：y22px(p>0)的焦點F，直線y4與y軸的交點為P，與拋物線C的交點為Q，且QF2PQ.(1)求p的值；(2)已知點T(t，2)為C上一點，M，N是C上異于點T的兩點，且滿足直線TM和直線TN的斜率之和為，證明直線MN恒過定點，并求出定點的坐標.解(1)設(shè)Q(x0,4)，由拋物線定義知QFx0，又QF2PQ，即2x0x0，解得x0，將點Q代入拋物線方程，解得p4.(2)由(1)知，C的方程為y28x，所以點T的坐標為，設(shè)直線MN的方程為xmyn，點M，N，由得y28my8n0，64m232n>0.所以y1,24m2，所以y1y28m，y1y28n，所以kMTkNT，解得nm1，所以直線MN的方程為x1m(y1)，恒過定點(1，1).4.如圖，M，N是焦點為F的拋物線y22px(p>0)上兩個不同的點，且線段MN的中點A的橫坐標為4.(1)求MFNF的值；(2)若p2，直線MN與x軸交于點B，求點B橫坐標的取值范圍.解(1)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x28p，MFx1，NFx2，MFNFx1x2p8.(2)當(dāng)p2時，y24x，若直線MN的斜率不存在，則B(3,0)；若直線MN的斜率存在，設(shè)A(3，t)(t0)，則由(1)知yy4(x1x2)，kMN，直線MN的方程為yt(x3)，點B的橫坐標為xB3，由消去x，得y22ty2t2120，由(2t)24(2t212)>0，可得0<t2<12，點B的橫坐標xB3(3,3).綜上，點B橫坐標的取值范圍是(3,3.