2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.1.1 數(shù)列學(xué)案（含解析）新人教B版必修5.docx

2.1.1數(shù)列學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解數(shù)列及其有關(guān)概念.2.理解數(shù)列的通項(xiàng)公式，并會用通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的任意一項(xiàng).3.對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項(xiàng)寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式知識點(diǎn)一數(shù)列及其有關(guān)概念1按照一定次序排列起來的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一項(xiàng)都和它的序號有關(guān)，各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)(或首項(xiàng))，第2項(xiàng)，第n項(xiàng)，.2.數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，an，簡記為an思考數(shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是同一個(gè)數(shù)列嗎？答案不是順序不一樣知識點(diǎn)二通項(xiàng)公式如果數(shù)列的第n項(xiàng)an與序號n之間的關(guān)系可以用一個(gè)函數(shù)式anf(n)來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式不是所有數(shù)列都能寫出通項(xiàng)公式，若數(shù)列有通項(xiàng)公式，通項(xiàng)公式表達(dá)式不一定唯一知識點(diǎn)三數(shù)列的分類1按項(xiàng)數(shù)分類：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列，項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫做無窮數(shù)列2按項(xiàng)的大小變化分類：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞增數(shù)列；從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞減數(shù)列；各項(xiàng)都相等的數(shù)列叫做常數(shù)列11,1,1,1是一個(gè)數(shù)列()2數(shù)列1,3,5,7，的第10項(xiàng)是21.()3每一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式()4如果一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，那么它一定是遞減數(shù)列()題型一數(shù)列的分類例1下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是()A1，B1，2，3，4，C1，D1，答案C解析A，B都是遞減數(shù)列，D是有窮數(shù)列，只有C符合題意反思感悟判斷數(shù)列的單調(diào)性時(shí)一定要確保每一項(xiàng)均大于(或均小于)后一項(xiàng)，不能有例外跟蹤訓(xùn)練1下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是擺動數(shù)列？哪些是常數(shù)列？(1)2010,2012,2014,2016,2018；(2)0，；(3)1，；(4)，；(5)1,0，1，sin，；(6)9,9,9,9,9,9.解(1)(6)是有窮數(shù)列；(1)(2)是遞增數(shù)列；(3)是遞減數(shù)列；(4)(5)是擺動數(shù)列；(6)是常數(shù)列題型二由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式例2寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：(1)1，；(2)，2，8；(3)9,99,999,9999.解(1)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對值都是序號的倒數(shù)，并且奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an，nN.(2)數(shù)列中的項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察：，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an，nN.(3)各項(xiàng)加1后，變?yōu)?0,100,1000,10000，此數(shù)列的通項(xiàng)公式為10n，可得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an10n1，nN.反思感悟要由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，只需觀察分析數(shù)列中項(xiàng)的構(gòu)成規(guī)律，看哪些部分不隨序號的變化而變化，哪些部分隨序號的變化而變化，確定變化部分隨序號變化的規(guī)律，繼而將an表示為n的函數(shù)關(guān)系跟蹤訓(xùn)練2寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：(1)，；(2)，；(3)7,77,777,7777.解(1)這個(gè)數(shù)列前4項(xiàng)的分母都是序號數(shù)乘以比序號數(shù)大1的數(shù)，并且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an，nN.(2)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的分母都是比序號大1的數(shù)，分子都是比序號大1的數(shù)的平方減1，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an，nN.(3)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)可以變?yōu)?，99，999，9999，即(101)，(1001)，(10001)，(100001)，即(101)，(1021)，(1031)，(1041)，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an(10n1)，nN.題型三數(shù)列通項(xiàng)公式的簡單應(yīng)用例3(1)已知數(shù)列，那么0.94,0.96，0.98，0.99中是該數(shù)列中某一項(xiàng)值的數(shù)應(yīng)當(dāng)有()A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)答案C解析數(shù)列，的通項(xiàng)公式為an，0.94，0.96，0.98，0.99，都在數(shù)列中，故有3個(gè)(2)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n210n4.問當(dāng)n為何值時(shí)，an取得最小值？并求出最小值解an2n210n422，當(dāng)n2或3時(shí)，an取得最小值，其最小值為a2a38.反思感悟(1)判斷某數(shù)是不是該數(shù)列的項(xiàng)，相當(dāng)于已知y求x，若求出的x是正整數(shù)，則y是該數(shù)列的項(xiàng)，否則不是(2)利用函數(shù)的性質(zhì)研究數(shù)列的單調(diào)性與最值跟蹤訓(xùn)練3(1)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(nN)，那么是這個(gè)數(shù)列的第_項(xiàng)答案10解析，n(n2)1012，n10.(2)已知數(shù)列an中，ann225n(nN)，則數(shù)列an的最大項(xiàng)是第_項(xiàng)答案12或13解析an22是關(guān)于n的二次函數(shù)，又nN，當(dāng)n12或n13時(shí)，an最大歸納法求數(shù)列的通項(xiàng)公式典例觀察圖中5個(gè)圖形的相應(yīng)小圓圈的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，猜想第n個(gè)圖中有_小圓圈答案n2n1解析觀察圖中5個(gè)圖形小圓圈的個(gè)數(shù)分別為1,121,231,341,451.故第n個(gè)圖中小圓圈的個(gè)數(shù)為(n1)n1n2n1.素養(yǎng)評析歸納是邏輯推理的一類，可以發(fā)現(xiàn)新命題本例完美詮釋了“觀察現(xiàn)象，歸納規(guī)律，大膽猜想，小心求證”這一認(rèn)識發(fā)展規(guī)律1下列敘述正確的是()A數(shù)列1,3,5,7與7,5,3,1是相同的數(shù)列B數(shù)列0,1,2,3，可以表示為nC數(shù)列0,1,0,1，是常數(shù)列D數(shù)列是遞增數(shù)列答案D解析由數(shù)列的通項(xiàng)an知，an1an>0，即數(shù)列是遞增數(shù)列，故選D.2數(shù)列2,3,4,5，的一個(gè)通項(xiàng)公式為()Aann，nNBann1，nNCann2，nNDan2n，nN答案B解析這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)都比序號大1，所以，它的一個(gè)通項(xiàng)公式為ann1，nN.3數(shù)列an中，an2n23，nN，則125是這個(gè)數(shù)列的第_項(xiàng)答案8解析令2n23125，解得n8(n8舍去)所以125是該數(shù)列的第8項(xiàng)4已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an，nN，則a1_；an1_.答案1解析a11，an1.5寫出數(shù)列：1，3,5，7,9，的一個(gè)通項(xiàng)公式解該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an(1)n+1(2n1)，nN.1與集合中元素的性質(zhì)相比較，數(shù)列中的項(xiàng)也有三個(gè)性質(zhì)(1)確定性：一個(gè)數(shù)在不在數(shù)列中，即一個(gè)數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)是確定的(2)可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)(3)有序性：一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān)，而且也與這些數(shù)的排列次序有關(guān)2并非所有的數(shù)列都能寫出它的通項(xiàng)公式例如，的不同近似值，依據(jù)精確的程度可形成一個(gè)數(shù)列3,3.1，3.14，3.141，它沒有通項(xiàng)公式根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí)，需仔細(xì)觀察分析，抓住其幾方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相鄰項(xiàng)的變化特征；(3)拆項(xiàng)后的特征；(4)各項(xiàng)的符號特征和絕對值特征并對此進(jìn)行聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、歸納3如果一個(gè)數(shù)列有通項(xiàng)公式，則它的通項(xiàng)公式可以有多種形式一、選擇題1已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an，nN，則該數(shù)列的前4項(xiàng)依次為()A1,0,1,0B0,1,0,1C,0,0D2,0,2,0答案A解析當(dāng)n分別等于1,2,3,4時(shí)，a11，a20，a31，a40.2已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann2n50，nN，則8是該數(shù)列的()A第5項(xiàng)B第6項(xiàng)C第7項(xiàng)D非任何一項(xiàng)答案C解析解n2n508，得n7或n6(舍去)3數(shù)列1,3,6,10，的一個(gè)通項(xiàng)公式是()Aann2n1BanCanDann21答案C解析令n1,2,3,4，代入A，B，C，D檢驗(yàn)，即可排除A，B，D，故選C.4數(shù)列，的第10項(xiàng)是()A.B.C.D.答案C解析由數(shù)列的前4項(xiàng)可知，數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an，nN，當(dāng)n10時(shí)，a10.5已知an1an30，nN，則數(shù)列an是()A遞增數(shù)列B遞減數(shù)列C常數(shù)列D不能確定答案A解析an1an3an，nN，即該數(shù)列每一項(xiàng)均小于后一項(xiàng)，故數(shù)列an是遞增數(shù)列6設(shè)an(nN)，那么an1an等于()A.B.C.D.答案D解析an，an1，an1an.7數(shù)列0.3,0.33,0.333,0.3333，的一個(gè)通項(xiàng)公式an等于()A.(10n1) B.(10n1)C.D.(10n1)答案C解析代入n1檢驗(yàn)，排除A，B，D，故選C.8如圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(簡稱ICME7)的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖2的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1A1A2A2A3A7A81，如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去，記OA1，OA2，OAn，的長度構(gòu)成數(shù)列an，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為()Aann，nNBan，nNCan，nNDann2，nN答案C解析OA11，OA2，OA3，OAn，a11，a2，a3，an，.二、填空題9觀察數(shù)列的特點(diǎn)，用一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)填空：1，_，.答案3解析由于數(shù)列的前幾項(xiàng)中根號下的數(shù)都是由小到大的奇數(shù)，所以需要填空的數(shù)為3.10數(shù)列3,5,9,17,33，的一個(gè)通項(xiàng)公式是_答案an2n1，nN11323是數(shù)列n(n2)的第_項(xiàng)答案17解析由ann22n323，解得n17(負(fù)值舍去)323是數(shù)列n(n2)的第17項(xiàng)三、解答題12在數(shù)列an中，a12，a1766，通項(xiàng)公式an是n的一次函數(shù)(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)判斷88是不是數(shù)列an中的項(xiàng)？解(1)設(shè)anknb，k0.則解得an4n2，nN.(2)令an88，即4n288，解得n22.5N.88不是數(shù)列an中的項(xiàng)13在數(shù)列an中，ann(n8)20，nN，請回答下列問題：(1)這個(gè)數(shù)列共有幾項(xiàng)為負(fù)？(2)這個(gè)數(shù)列從第幾項(xiàng)開始遞增？(3)這個(gè)數(shù)列中有無最小值？若有，求出最小值；若無，請說明理由解(1)因?yàn)閍nn(n8)20(n2)(n10)，所以當(dāng)0<n<10，nN時(shí)，an<0，所以數(shù)列an共有9項(xiàng)為負(fù)(2)因?yàn)閍n1an2n7，所以當(dāng)an1an>0時(shí)，n>，故數(shù)列an從第4項(xiàng)開始遞增(3)ann(n8)20(n4)236，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)n4時(shí)，an取得最小值36，即這個(gè)數(shù)列有最小值，最小值為36.14已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an(nN)，則a3_.答案解析a32-3，a4，a3.15已知數(shù)列，nN.(1)求證：該數(shù)列是遞增數(shù)列；(2)在區(qū)間內(nèi)有無數(shù)列中的項(xiàng)？若有，有幾項(xiàng)；若沒有，請說明理由(1)證明an1，an1an0，nN，an是遞增數(shù)列(2)解令<an<，<n<，當(dāng)且僅當(dāng)n2時(shí)，上式成立，故區(qū)間內(nèi)有數(shù)列中的項(xiàng)，且只有一項(xiàng)為a2.