黑龍江省齊齊哈爾市2017-2018學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）.doc

齊齊哈爾市20172018學(xué)年度高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：化簡(jiǎn)集合A，然后求交集即可.詳解：由題意可知：，又故選：D點(diǎn)睛：本題考查交集及其運(yùn)算，以及一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題2. 張丘建算經(jīng)中女子織布問題為：某女子善于織布，一天比一天織得快，且從第天開始，每天比前一天多織相同量的布，已知第一天織尺布，一個(gè)月（按天計(jì)）共織尺布，則從第天起每天比前一天多織布（ ）A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺【答案】D【解析】依題意可知這是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，解得.3. 若三點(diǎn)、共線，則有（ ）A. ， B. C. D. 【答案】C【解析】因?yàn)槿c(diǎn), ,共線，所以 ，因此選C.4. 已知角為第二象限角，且，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得tana，代入二倍角的正切公式可得詳解：a是第二象限角，且sina=，cosa=，tana=，tan2a=2=故選：A點(diǎn)睛：本題考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題5. 在中，若，則與的關(guān)系為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：利用正弦定理及大邊對(duì)大角即可得到結(jié)果.詳解：由正弦定理知，sinAsinB，ab，AB故選：B點(diǎn)睛：本題考查了正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6. 在等比數(shù)列中，已知，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：利用等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可.詳解：設(shè)公比為q，a3+a3q2+a3q4=21，3+3q2+3q4=21，解得q2=2a5=a3q2=32=6，故選：A 點(diǎn)睛：比數(shù)列的基本量運(yùn)算問題的常見類型及解題策略：化基本量求通項(xiàng)求等比數(shù)列的兩個(gè)基本元素和，通項(xiàng)便可求出，或利用知三求二，用方程求解化基本量求特定項(xiàng)利用通項(xiàng)公式或者等比數(shù)列的性質(zhì)求解化基本量求公比利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，建立方程組求解化基本量求和直接將基本量代入前項(xiàng)和公式求解或利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解7. 已知，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由向量垂直的條件：即數(shù)量積為0，結(jié)合向量的平方即為模的平方，計(jì)算即可得到t詳解：由（+）（+t），可得（+）（+t）=0，即有+t+（1+t）=0，又，即4+4t（1+t）=0，解得t=1故選：C點(diǎn)睛：本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查向量垂直的條件，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題8. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，若，且，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由圖象可得A=1，由周期公式可得=2，代入點(diǎn)（，0）可得值，進(jìn)而可得f（x）=sin（2x+），再由題意可得x1+x2=，代入計(jì)算可得詳解：由圖象可得A=1，=，解得=2，f（x）=sin（2x+），代入點(diǎn)（，0）可得sin（+）=0+ =k， =k，kZ又| |， =，f（x）=sin（2x+），sin（2+）=1，即圖中點(diǎn)的坐標(biāo)為（，1），又，且f（x1）=f（x2）（x1x2），x1+x2=2=，f（x1+x2）=sin（2+）=，故選：B點(diǎn)睛：已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點(diǎn)法”中相對(duì)應(yīng)的特殊點(diǎn)求.9. 若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)h（x）=x+（x0）和g（x）=t，相當(dāng)于函數(shù)在x0時(shí)，圖象有兩個(gè)交點(diǎn).詳解：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，h（x）=x+（x0）和g（x）=t有兩個(gè)交點(diǎn)，h（x）=x+2=，t，t故選：D點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解10. 已知直三棱柱中，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B詳解：如圖所示，設(shè)M、N、P分別為AB，BB1和B1C1的中點(diǎn)，則AB1、BC1夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角（因異面直線所成角為（0，），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中點(diǎn)Q，則PQM為直角三角形；PQ=1，MQ=AC，ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC22ABBCcosABC=4+1221（）=7，AC=，MQ=；在MQP中，MP=；在PMN中，由余弦定理得cosMNP=；又異面直線所成角的范圍是（0，AB1與BC1所成角的余弦值為點(diǎn)睛：求異面直線所成角的步驟:1平移,將兩條異面直線平移成相交直線2定角,根據(jù)異面直線所成角的定義找出所成角3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函數(shù)求角4結(jié)論11. 若等邊的邊長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，且上一點(diǎn)滿足：，則當(dāng)取得最小值時(shí)，（ ）A. B. C. D. 【答案】C詳解：如圖，可知，x0，y0；M，A，B三點(diǎn)共線，且；x+y=1；=10+，當(dāng)，即3y=x時(shí)取“=”，即取最小值；此時(shí)x=，；N是AB的中點(diǎn)；=故選：C點(diǎn)睛：考查向量加法的平行四邊形法則，三點(diǎn)A，B，C共線的充要條件：，且x+y=1，基本不等式的運(yùn)用，注意基本不等式等號(hào)成立的條件，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式12. 已知函數(shù)若對(duì)任意的，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：對(duì)任意的x1、x2R，都有f（x1）g（x2）f（x）maxg（x）min，分別求出最值即可得出詳解：對(duì)任意的x1、x2R，都有f（x1）g（x2）f（x）maxg（x）min，注意到，又g（x）=|a2|sinx|a2|，故故選：D點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、不等式的解法、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13. 函數(shù)的最大值是_【答案】【解析】分析：利用兩角和正弦公式簡(jiǎn)化為y=，從而得到函數(shù)的最大值.詳解：y=sinx+cosx=函數(shù)的最大值是故答案為：點(diǎn)睛：本題考查了兩角和正弦公式，考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.14. 設(shè)是定義在上的周期為的周期函數(shù)，如圖表示該函數(shù)在區(qū)間上的圖象，則_【答案】2【解析】分析：由題意結(jié)合函數(shù)的周期性和函數(shù)的圖象整理計(jì)算即可求得結(jié)果詳解：由題意可得：f（2018）=f（20186733）=f（1）=2，f（2019）=f（20196733）=f（0）=0，則故選：D點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的周期性，函數(shù)的圖象表示法等，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念的理解和計(jì)算能力，屬于中等題15. 設(shè)，滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)的最大值為，則實(shí)數(shù)_【答案】1【解析】分析：先作出不等式組的圖象，利用目標(biāo)函數(shù)的最大值為2，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，代入 =0即可詳解：先作出不等式組的圖象如圖，目標(biāo)函數(shù)的最大值為2，z= =2，作出直線 =2，由圖象知 =2如平面區(qū)域相交A，由得，即A（，），同時(shí)A（，）也在直線 =0上，23 =0，則b=1，故答案為：1點(diǎn)睛：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及目標(biāo)函數(shù)的意義是解決本題的關(guān)鍵16. 已知三棱錐中，頂點(diǎn)在底面的射影為.給出下列命題：若、兩兩互相垂直，則為的垂心；若、兩兩互相垂直，則有可能為鈍角三角形；若，且與重合，則三棱錐的各個(gè)面都是直角三角形；若，且為邊的中點(diǎn)，則.其中正確命題的序號(hào)是_（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）【答案】【解析】分析：利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理逐一判斷即可.詳解：若PA，PB，PC兩兩互相垂直，容易推出AHBC，同理BHAC，可得H是ABC的垂心，正確；若、兩兩互相垂直，P在底面是射影H在ABC的內(nèi)部，是三角形ABC的垂心，所以不可能是鈍角三角形，不正確；若與重合則PA平面ABC，所以PAAC，PAAB，PABC，又BCAC，所以BC平面PAC，所以BCPC，故四個(gè)面都是直角三角形，正確；當(dāng)PH平面ABC時(shí)，PA2=PH2+HA2，PB2=PH2+BH2，PC2=PH2+CH2，因?yàn)镠是RtABC斜邊AB的中點(diǎn)，所以BH=AH=CH，故PA=PB=PC，故正確；點(diǎn)睛：垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型.(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17. 已知直線及點(diǎn).（1）求經(jīng)過點(diǎn)，且與直線平行的直線方程；（2）求經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角為直線的傾斜角的倍的直線方程.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）根據(jù)平行關(guān)系求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出方程即可；（2）利用二倍角正切公式求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出方程即可.詳解：（答案一）解：（1）設(shè)直線的斜率為，則因?yàn)樗笾本€與平行，所以所求直線的斜率，又所求直線經(jīng)過點(diǎn)，所以所求直線方程為 （2）依題意，所求直線的斜率又所求直線經(jīng)過點(diǎn)，所以所求直線方程為 （答案二）解：（1）設(shè)直線的斜率為，則因?yàn)樗笾本€與平行，所以所求直線的斜率，又所求直線經(jīng)過點(diǎn)，所以所求直線方程為，即（2）依題意，所求直線的斜率又所求直線經(jīng)過點(diǎn)，所以所求直線方程為，即點(diǎn)睛：本題考查了求直線方程問題，考查直線的傾斜角問題，屬于基礎(chǔ)題18. 已知是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）依題意，可求得等比數(shù)列an的公比q=2，又a1=2，于是可求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2），利用裂項(xiàng)相消法求和即可.詳解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，依題意，有整理得，解得（舍去），所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）由（1）知所以所以點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.19. 如圖，三棱柱中，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若底面為正三角形，側(cè)面底面，求四棱錐的體積.【答案】（1）見解析（2）【解析】分析：(1) 連結(jié)，設(shè)，連結(jié)要證平面，轉(zhuǎn)證即可；（2）因?yàn)閭?cè)面底面，所以正的高就是點(diǎn)到平面的距離,故，帶入體積公式即可得到結(jié)果.詳解：證明：（1）連結(jié)，設(shè)，連結(jié)因?yàn)闉槠叫兴倪呅?，所以為中點(diǎn)，從而為的中位線，所以因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?）因?yàn)閭?cè)面底面，所以正的高就是點(diǎn)到平面的距離,也就是四棱錐的高，由條件得因?yàn)椋?，所以四棱錐的底面積所以四棱錐的體積點(diǎn)睛：求錐體的體積要充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，注意求體積的一些特殊方法分割法、補(bǔ)形法、等體積法. 割補(bǔ)法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時(shí)，常用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決等積法：等積法包括等面積法和等體積法等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時(shí)，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計(jì)算得到高的數(shù)值20. 在中，角、的對(duì)邊分別是、，若、成等差數(shù)列.（1）求角的大小；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由等差數(shù)列和正弦定理以及和差角的三角函數(shù)公式可得cosB，由三角形的內(nèi)角的范圍可得B=；（2）把已知數(shù)代入余弦定理整體可得ac=6，代入三角形的面積公式可得詳解：（1）因?yàn)?，成等差?shù)列，所以，由正弦定理得，即，因?yàn)椋?，又，所以?）由余弦定理：，得，即因?yàn)?，所以所以點(diǎn)睛：本題考查正余弦定理解三角形，涉及整體思想和三角形的面積公式，屬于中檔題21. 如圖，四棱錐中，底面，.（1）若，求證：平面平面；（2）若，且，求直線和平面所成角的正切值.【答案】（1）見解析（2）【解析】分析：（1）設(shè)，由條件推斷出ACBD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)推斷出PABD，進(jìn)而利用線面垂直的判定定理推斷出BD平面PAC，又BD平面PBD，推斷出平面PBD平面PAC（2）取點(diǎn)，使，連，則，連因?yàn)榈酌?，所以底面，所以就是直線與平面所成的角詳解：證明：（1）設(shè)，若，則，從而， 所以，即因?yàn)榈酌?，所以又，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面?）取點(diǎn)，使，連，則，連因?yàn)榈酌?，所以底面，所以就是直線與平面所成的角因?yàn)椋?，所以，在中，根?jù)余弦定理，得，解得所以所以當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正切值為點(diǎn)睛：求直線和平面所成角的關(guān)鍵是作出這個(gè)平面的垂線進(jìn)而斜線和射影所成角即為所求，有時(shí)當(dāng)垂線較為難找時(shí)也可以借助于三棱錐的等體積法求得垂線長(zhǎng)，進(jìn)而用垂線長(zhǎng)比上斜線長(zhǎng)可求得所成角的正弦值，當(dāng)空間關(guān)系較為復(fù)雜時(shí)也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求解.22. 平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，距離之比為常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做阿波羅尼斯圓.現(xiàn)已知定點(diǎn)、，圓心為，（1）求滿足上述定義的圓的方程，并指出圓心的坐標(biāo)和半徑；（2）若，且經(jīng)過點(diǎn)的直線交圓于，兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）見解析（2）【解析】分析：（1）根據(jù)定義建立等量關(guān)系，化簡(jiǎn)即可得到圓的方程，進(jìn)而指出圓心的坐標(biāo)和半徑；（2）設(shè)，則的面積，根據(jù)正弦函數(shù)的最值得到結(jié)果.詳解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，整理得，圓心，半徑（2）解法一：在（1）的結(jié)果中，令，則得圓的方程為，即.設(shè)，則的面積當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值8此時(shí)，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，圓心到直線的距離，整理得，解得所以直線的方程為（2）解法二：在（1）的結(jié)果中，令，則得圓的方程為，即（）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，可得弦長(zhǎng)，所以 （）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，圓心到直線的距離，從而弦長(zhǎng)所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的面積取得最大值8因?yàn)?，所以面積的最大值為8，此時(shí)，由，解得所以直線的方程為點(diǎn)睛：錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí)常從以下幾個(gè)方面考慮：利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍