（江蘇專用）2019高考數(shù)學二輪復習 第四篇 一 函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想試題 理.docx

函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想數(shù)學教學的最終目標，是要讓學生會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界.數(shù)學素養(yǎng)就是指學生學習數(shù)學應當達成的有特定意義的綜合性能力，數(shù)學核心素養(yǎng)高于具體的數(shù)學知識技能，具有綜合性、整體性和持久性，反映數(shù)學本質與數(shù)學思想，數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學思想方法在具體學習領域的表現(xiàn).二輪復習中如果能自覺滲透數(shù)學思想，加強個人數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)，就會在復習中高屋建瓴，對整體復習起到引領和導向作用.一、函數(shù)與方程思想在不等式中的應用函數(shù)與不等式的相互轉化，把不等式轉化為函數(shù)，借助函數(shù)的圖象和性質可解決相關的問題，常涉及不等式恒成立問題、比較大小問題.一般利用函數(shù)思想構造新函數(shù)，建立函數(shù)關系求解.1.若0<x1<x2<1，則x2和x1的大小關系為_.答案x2>x1解析設g(x)(0<x<1)，則g(x).又0<x<1，g(x)<0，函數(shù)g(x)在(0,1)上是減函數(shù).又0<x1<x2<1，g(x1)>g(x2)，x2>x1.2.(2018宿州調研)已知定義在R上的偶函數(shù)滿足f(x)x34x(x0)，若f(12m)f(m)，則實數(shù)m的取值范圍是_.答案1，)解析由題意可知，定義在R上的偶函數(shù)f(x)x34x(x0)，因為yx3，y4x在x0時都是單調遞增的函數(shù)，故函數(shù)f(x)x34x在x0時為增函數(shù)，又函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，故圖象關于y軸對稱，所以f(12m)f(m)，只需|12m|m|，即m1，).3.已知定義在R上的函數(shù)g(x)的導函數(shù)為g(x)，滿足g(x)g(x)<0，若函數(shù)g(x)的圖象關于直線x2對稱，且g(4)1，則不等式>1的解集為_.答案(，0)解析函數(shù)g(x)的圖象關于直線x2對稱，g(0)g(4)1.設f(x)，則f(x).又g(x)g(x)<0，f(x)<0，f(x)在R上單調遞減.又f(0)1，f(x)>f(0)，x<0.4.若x2,1時，不等式ax3x24x30恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_.答案6，2解析當2x<0時，不等式轉化為a.令f(x)(2x<0)，則f(x)，故f(x)在2，1上單調遞減，在(1,0)上單調遞增，此時有af(x)minf(1)2.當x0時，不等式恒成立.當0<x1時，a，則f(x)在(0,1上單調遞增，此時有af(x)maxf(1)6.綜上，實數(shù)a的取值范圍是6，2.二、函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應用數(shù)列的通項與前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，可用函數(shù)的觀點去處理數(shù)列問題，常涉及最值問題或參數(shù)范圍問題，一般利用二次函數(shù)；等差數(shù)列或等比數(shù)列的基本量的計算一般化歸為方程(組)來解決.5.已知an是等差數(shù)列，a1010，其前10項和S1070，則其公差d_.答案解析設等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，則即解得d.6.在等差數(shù)列an中，若a1<0，Sn為其前n項和，且S7S17，則Sn取最小值時n的值為_.答案12解析由已知得，等差數(shù)列an的公差d>0, 設Snf(n)，則f(n)為二次函數(shù)，又由f(7)f(17)知，f(n)的圖象開口向上，關于直線n12對稱，故Sn取最小值時n的值為12.7.(2018江蘇海安高級中學月考)已知等比數(shù)列an的公比q>1，其前n項和為Sn，若S42S21，則S6的最小值為_.答案23解析S42S21，21a1(1q)(q21)1，q>1，S6(1qq2)(1qq2)(1q)q21323，當且僅當q21(q>1)時取等號，S6的最小值為23.8.設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S42，S50，S63，則nSn的最小值為_.答案9解析由已知得Sn，故nSn.令f(x)，則f(x)x25x，令f(x)0，得x0或x，f(x)在上單調遞減，在上單調遞增.又n是正整數(shù)，當n3時，nSn9，當n4時，nSn8，故當n3時，nSn取得最小值9.三、函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應用解析幾何中求斜率、截距、半徑、點的坐標、離心率、幾何量等經常要用到方程(組)的思想；直線與圓錐曲線的位置關系問題，可以通過轉化為一元二次方程，利用判別式進行解決；求變量的取值范圍和最值問題常轉化為求函數(shù)的值域、最值，用函數(shù)的思想分析解答.9.以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點.已知AB4，DE2，則C的焦點到準線的距離為_.答案4解析不妨設拋物線C：y22px(p>0)，圓的方程設為x2y2r2(r>0)，如圖，又可設A(x0,2)，D，點A(x0,2)在拋物線y22px上，82px0，點A(x0,2)在圓x2y2r2上，x8r2，點D在圓x2y2r2上，52r2，聯(lián)立，解得p4，即C的焦點到準線的距離為p4.10.如圖，已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的右頂點為A，O為坐標原點，以A為圓心的圓與雙曲線C的一條漸近線交于P，Q兩點，若PAQ60，且3，則雙曲線C的離心率為_.答案解析因為PAQ60，APAQ，所以APAQPQ，設AQ2R，又3，則OPPQR.雙曲線C的漸近線方程是yx，A(a,0)，所以點A到直線yx的距離d，所以2(2R)2R23R2，即a2b23R2(a2b2)，在OQA中，由余弦定理得，OA2OQ2QA22OQQAcos60(3R)2(2R)223R2R7R2a2.由得所以雙曲線C的離心率為e.11.設橢圓中心在坐標原點，A(2,0)，B(0,1)是它的兩個頂點，直線ykx(k>0)與AB相交于點D，與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點.若6，則k的值為_.答案或解析依題意得橢圓的方程為y21，直線AB，EF的方程分別為x2y2，ykx(k>0).如圖，設D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(xiàn)(x2，kx2)，其中x1<x2，且x1，x2滿足方程(14k2)x24，故x2x1 .由6知，x0x16(x2x0)，得x0(6x2x1)x2 .由點D在AB上知x02kx02，得x0.所以，化簡得24k225k60，解得k或k.12.已知直線l：yk(x1)與拋物線C：y24x交于不同的兩點A，B，且以AB為直徑的圓過拋物線C的焦點F，則k_.答案或解析點F的坐標為(1,0)，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1k(x11)，y2k(x21)，當k0時，l與C只有一個交點，不合題意，因此k0.將yk(x1)代入y24x，消去y，得k2x22(k22)xk20，依題意知，x1，x2是的不相等的兩個實根，則由以AB為直徑的圓過F，得AFBF，即kAFkBF1，所以1，即x1x2y1y2(x1x2)10，所以x1x2k2(x11)(x21)(x1x2)10，所以(1k2)x1x2(k21)(x1x2)1k20，把x1,2代入得2k210，解得k，經檢驗k適合式.綜上所述，k.一、數(shù)形結合思想在解方程或函數(shù)零點問題中的應用討論方程的解(或函數(shù)零點)的問題一般可以構造兩個函數(shù)，將方程解的個數(shù)轉化為兩條曲線的交點個數(shù).構造函數(shù)時，要先對方程進行變形，盡量構造兩個比較熟悉的函數(shù).1.函數(shù)f(x)2x的零點個數(shù)為_.答案1解析在同一平面直角坐標系下，作出函數(shù)y12x和y2的圖象，如圖所示.函數(shù)f(x)2x的零點等價于2x的根，等價于函數(shù)y12x和y2圖象的交點橫坐標.由圖可知只有一個交點，所以有一個零點.2.若關于x的方程kx2有四個不同的實數(shù)解，則k的取值范圍為_.答案解析x0是方程的一個實數(shù)解；當x0時，方程kx2可化為(x4)|x|，x4，設f(x)(x4)|x|(x4且x0)，y，則兩函數(shù)圖象有三個非零交點.f(x)(x4)|x|的大致圖象如圖所示，由圖可得0<<4, 解得k>.所以k的取值范圍為.3.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x1)f(x1)，當x1,0時，f(x)x3，則關于x的方程f(x)|cosx|在上的所有實數(shù)解之和為_.答案7解析因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(x1)f(x1)f(x1)，所以函數(shù)f(x)的周期為2.又當x1,0時，f(x)x3，由此在同一平面直角坐標系內作出函數(shù)y1f(x)與y2|cos x|的圖象如圖所示.由圖象知關于x的方程f(x)|cos x|在上的實數(shù)解有7個.不妨設x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7，則由圖得x1x24，x3x52，x41，x6x70，所以方程f(x)|cos x|在上的所有實數(shù)解的和為42107.4.(2018無錫檢測)設函數(shù)f(x)若方程f(x)mx0恰好有3個根，則實數(shù)m的取值范圍為_.答案(0,1)解析當x0時，xlog2(x1)mx0，所以x0是方程的一個根；當x1時，1mx，所以m，當1<x<1且x0時，令xlog2(x1)mx，則mlog2(x1)，畫出關于g(x)的函數(shù)圖象，如圖.所以滿足ym和yg(x)的圖象有兩個交點的m的取值范圍為0<m<1，因為x0是方程f(x)mx0的一個根，所以方程f(x)mx有3個根的m的取值范圍為0<m<1.二、數(shù)形結合思想在求解不等式或參數(shù)范圍中的應用構建函數(shù)模型，分析函數(shù)的單調性并結合其圖象特征研究量與量之間的大小關系、求參數(shù)的取值范圍或解不等式.5.(2018全國改編 )設函數(shù)f(x)則滿足f(x1)f(2x)的x的取值范圍是_.答案(，0)解析方法一當即x1時，f(x1)f(2x)即為2(x1)22x，即(x1)2x，解得x1.因此不等式的解集為(，1.當時，不等式組無解.當即1x0時，f(x1)f(2x)即122x，解得x0.因此不等式的解集為(1,0).當即x0時，f(x1)1，f(2x)1，不合題意.綜上，不等式f(x1)f(2x)的解集為(，0).方法二f(x)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.由圖可知，當x10且2x0時，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，故f(x1)f(2x)轉化為x12x.此時x1.當2x0且x10時，f(2x)1，f(x1)1，滿足f(x1)f(2x).此時1x0.綜上，不等式f(x1)f(2x)的解集為(，1(1,0)(，0).6.設A(x，y)|x2(y1)21，B(x，y)|xym0，則使AB成立的實數(shù)m的取值范圍是_.答案1，)解析集合A是圓x2(y1)21上的點的集合，集合B是不等式xym0表示的平面區(qū)域內的點的集合，要使AB，則應使圓被平面區(qū)域所包含(如圖)，即直線xym0應與圓相切或相離(在圓的左下方)，而當直線與圓相切時，有1，又m>0，所以m1，故m的取值范圍是1，).7.若不等式|x2a|xa1對xR恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_.答案解析作出y1|x2a|和y2xa1的簡圖，如圖所示.依題意得2a22a，故a.8.已知函數(shù)f(x)若存在兩個不相等的實數(shù)x1，x2，使得f(x1)f(x2)，則實數(shù)a的取值范圍為_.答案0，)解析根據(jù)題意知f(x)是一個分段函數(shù)，當x1時，是一個開口向下的二次函數(shù)，對稱軸方程為xa；當x<1時，是一個一次函數(shù).當a>1時，如圖(1)所示，符合題意；當0a1時，如圖(2)所示，符合題意；當a<0時，如圖(3)所示，此時函數(shù)在R上單調遞減，不滿足題意.綜上所述，可得a0.三、數(shù)形結合思想在解析幾何中的應用在解析幾何的解題過程中，通常要數(shù)形結合，挖掘題中所給的代數(shù)關系式和幾何關系式，構建解析幾何模型并應用模型的幾何意義求最值或范圍；常見的幾何結構的代數(shù)形式主要有：比值可考慮直線的斜率；二元一次式可考慮直線的截距；根式分式可考慮點到直線的距離；根式可考慮兩點間的距離.9.已知圓C：(x3)2(y4)21和兩點A(m,0)，B(m,0)(m>0).若圓C上存在點P，使得APB90，則m的最大值為_.答案6解析根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標為(3,4)，半徑r1，且AB2m，因為APB90，連結OP，可知OPABm.要求m的最大值，即求圓C上的點P到原點O的最大距離.因為OC5，所以(OP)maxOCr6，即m的最大值為6.10.設雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為直徑的圓與雙曲線左支的一個交點為P.若以A1A2為直徑的圓與直線PF2相切，則雙曲線C的離心率為_.答案解析如圖所示，設以A1A2為直徑的圓與直線PF2的切點為Q，連結OQ，則OQPF2.又PF1PF2，O為F1F2的中點，所以PF12OQ2a.又PF2PF12a，所以PF24a.在RtF1PF2中，由PFPFF1F，得4a216a220a24c2，即e.11.已知拋物線的方程為x28y，F(xiàn)是其焦點，點A(2,4)，在此拋物線上求一點P，使APF的周長最小，此時點P的坐標為_.答案解析因為(2)2<84，所以點A(2,4)在拋物線x28y的內部，如圖，設拋物線的準線為l，過點P作PQl于點Q，過點A作ABl于點B，連結AQ，由拋物線的定義可知，APF的周長為PFPAAFPQPAAFAQAFABAF，當且僅當P，B，A三點共線時，APF的周長取得最小值，即ABAF.因為A(2,4)，所以不妨設APF的周長最小時，點P的坐標為(2，y0)，代入x28y，得y0.故使APF的周長最小的點P的坐標為.12.已知P是直線l：3x4y80上的動點，PA，PB是圓x2y22x2y10的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，則四邊形PACB面積的最小值為_.答案2解析連結PC，由題意知圓的圓心C(1,1)，半徑為1，從運動的觀點看問題，當動點P沿直線3x4y80向左上方或右下方無窮遠處運動時，RtPAC的面積SPACPAACPA越來越大，從而S四邊形PACB也越來越大；當點P從左上、右下兩個方向向中間運動時，S四邊形PACB變小，顯然，當點P到達一個最特殊的位置，即CP垂直于直線l時，S四邊形PACB有唯一的最小值，此時PC3，從而PA2，所以(S四邊形PACB)min2PAAC2.1.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且在0,1上是減函數(shù)，則f，f，f的大小關系為_.答案f<f<f解析因為f(x2)f(x)，所以T4，又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x1)f(x1)f(1x)，即f(x)圖象關于x1對稱.作圖，由圖知f<f<f.2.分別在曲線y2lnx與直線y2x3上各取一點M，N，則MN的最小值為_.答案解析設直線y2xt與曲線y2lnx相切于點Q(a，b)，而函數(shù)y2lnx的導數(shù)為y，令2，解得a1，求得Q(1,0)，點Q到直線y2x3的距離為d，即MN的最小值為.3.在三棱錐ABCD中，ABC為等邊三角形，AB2，BDC90，二面角ABCD的大小為150，則三棱錐ABCD的外接球的表面積為_.答案28解析滿足題意的三棱錐ABCD如圖所示，設三棱錐ABCD的外接球的球心為O，半徑為R，BCD，ABC的外接圓的圓心分別為O1，O2，可知O，O1，O2在同一平面內，由二面角ABCD的大小為150，得OO1O21509060.依題意，可得BCD，ABC的外接圓的半徑分別為r1，r22sin602，所以即解得R，所以三棱錐ABCD的外接球的表面積為4R228.4.過雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點F作直線yx的垂線，垂足為A，交雙曲線左支于B點，若2，則該雙曲線的離心率為_.答案解析設F(c,0)，則直線AB的方程為y(xc)，代入雙曲線漸近線方程yx，得A.由2，可得B，把B點坐標代入1，得1，c25a2，離心率e.5.記實數(shù)x1，x2，xn中最小數(shù)為minx1，x2，xn，則定義在區(qū)間0，)上的函數(shù)f(x)minx21，x3,13x的最大值為_.答案8解析在同一坐標系中作出三個函數(shù)yx21，yx3，y13x的圖象如圖.由圖可知，在實數(shù)集R上，minx21，x3,13x為yx3上A點下方的射線，拋物線AB之間的部分，線段BC與直線y13x在點C下方的部分的組合體.顯然，在區(qū)間0，)上，在C點時，yminx21，x3,13x取得最大值.解方程組得點C(5,8).所以f(x)max8.6.已知函數(shù)f(x)|lg(x1)|，若1ab且f(a)f(b)，則a2b的取值范圍為_.答案(6，)解析由圖象可知b2,1a2，lg(a1)lg(b1)，則a，則a2b2b2(b1)3，由對勾函數(shù)的性質知，當b時，f(b)2(b1)3單調遞增，b2，a2b2b6.7.已知函數(shù)f(x)若不等式f(x)mx恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為_.答案32，0解析函數(shù)f(x)及ymx的圖象如圖所示，由圖象可知，當m>0時，不等式f(x)mx不恒成立，設過原點的直線與函數(shù)f(x)x23x2(x<1)相切于點A(x0，x3x02)，因為f(x0)2x03，所以該切線方程為y(x3x02)(2x03)(xx0)，因為該切線過原點，所以(x3x02)x0(2x03)，解得x0，即該切線的斜率k23.由圖象得23m0.8.已知函數(shù)f(x)xsinx，若存在x2,1，使得f(x2x)f(xk)<0成立，則實數(shù)k的取值范圍是_.答案(1，)解析由題意知函數(shù)f(x)xsin x的定義域為R，f(x)(x)sin(x)f(x)，即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且f(x)1cos x>0在R上恒成立，即函數(shù)f(x)在R上單調遞增.若x2，1，使得f(x2x)f(xk)<0成立，即f(x2x)<f(xk)，所以f(x2x)<f(kx)，即x2x<kx，則問題轉化為x2,1，k>x22x，令g(x)x22x，x2,1.則k>g(x)ming(1)1，故實數(shù)k的取值范圍是(1，).9.已知正四棱錐的體積為，則正四棱錐的側棱長的最小值為_.答案2解析如圖所示，設正四棱錐的底面邊長為a，高為h.則該正四棱錐的體積Va2h，故a2h32，即a2.則其側棱長為l.令f(h)h2，則f(h)2h，令f(h)0，解得h2.當h(0,2)時，f(h)<0，f(h)單調遞減；當h(2，)時，f(h)>0，f(h)單調遞增，所以當h2時，f(h)取得最小值f(2)2212，故lmin2.10.若函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是_.答案 (0,2)解析由f(x)|2x2|b有兩個零點，可得|2x2|b有兩個不等的實根，從而可得函數(shù)y1|2x2|的圖象與函數(shù)y2b的圖象有兩個交點，如圖所示.結合函數(shù)的圖象，可得0<b<2.11.已知橢圓C1：1和圓C2：x2(y1)2r2 (r>0)，若兩條曲線沒有公共點，則r的取值范圍是_.答案(0,1)解析方法一聯(lián)立C1和C2的方程，消去x，得到關于y的方程y22y10r20，方程可變形為r2y22y10，把r2y22y10看作關于y的函數(shù).由橢圓C1可知，2y2，因此，求使圓C2與橢圓C1有公共點的r的集合，等價于在定義域為y2,2的情況下，求函數(shù)r2f(y)y22y10的值域.由f(2)1，f(2)9，f，可得f(y)的值域為，即r，它的補集就是圓C2與橢圓C1沒有公共點的r的集合，因此，兩條曲線沒有公共點的r的取值范圍是(0,1).方法二聯(lián)立C1和C2的方程消去x，得到關于y的方程y22y10r20.兩條曲線沒有公共點，等價于方程y22y10r20要么沒有實數(shù)根，要么有兩個根y1，y22,2.若沒有實數(shù)根，則44(10r2)<0，解得r>或r<.若兩個根y1，y22,2，設(y)y22y10r2，其圖象的對稱軸方程為y2,2.則又r>0，解得0<r<1.因此，兩條曲線沒有公共點的r的取值范圍是(0,1).12.若關于x的不等式ex1x0在上恰成立，則實數(shù)a的取值集合為_.答案2解析關于x的不等式ex1x0在上恰成立函數(shù)g(x)在上的值域為.因為g(x)，令(x)ex(x1)1，x，則(x)x(ex1).因為x，所以(x)>0，故(x)在上單調遞增，所以(x)>0.因此g(x)>0，故g(x)在上單調遞增，則g(x)g2，所以a2，解得a2，所以a的取值集合為2.