2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 第七章 平面解析幾何 考點(diǎn)測(cè)試45 直線的方程 文（含解析）.docx

第七章　平面解析幾何 考點(diǎn)測(cè)試45　直線的方程 高考概覽 考綱研讀 1．理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式 2．能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直 3．掌握確定直線位置的幾何要素 4．掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式等)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系 一、基礎(chǔ)小題 1．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一條直線，則參數(shù)m滿足的條件是(　　) A．m≠－ B．m≠0 C．m≠0且m≠1 D．m≠1 答案　D 解析　由解得m＝1，故m≠1時(shí)方程表示一條直線． 2．直線xsin＋ycos＝0的傾斜角α是(　　) A．－ B． C． D． 答案　D 解析　∵tanα＝－＝－tan＝tan，α∈[0，π)，∴α＝． 3．過點(diǎn)(－1,2)且傾斜角為30的直線方程為(　　) A．x－3y＋6＋＝0 B．x－3y－6＋＝0 C．x＋3y＋6＋＝0 D．x＋3y－6＋＝0 答案　A 解析　∵k＝tan30＝，∴直線方程為y－2＝(x＋1)．即x－3y＋6＋＝0．故選A． 4．已知直線l1：(k－3)x＋(5－k)y＋1＝0與l2：2(k－3)x－2y＋3＝0垂直，則k的值為(　　) A．1或3 B．1或5 C．1或4 D．1或2 答案　C 解析　由題意可得，(k－3)2(k－3)＋(5－k)(－2)＝0，整理得k2－5k＋4＝0，解得k＝1或k＝4．故選C． 5．如圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則(　　) A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2 C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2 答案　D 解析　直線l1的傾斜角α1是鈍角，故k1<0，直線l2與l3的傾斜角α2與α3均為銳角，且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2，故選D． 6．如果AC<0，且BC<0，那么直線Ax＋By＋C＝0不經(jīng)過(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 解析　由已知得直線Ax＋By＋C＝0在x軸上的截距－>0，在y軸上的截距－>0，故直線經(jīng)過一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限．故選C． 7．在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與直線x＋y－＝0關(guān)于x軸對(duì)稱，則直線l的傾斜角為(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　直線的斜截式方程為y＝－x＋，即直線的斜率k＝tanα＝－，即α＝，所以直線l的傾斜角為，故選B． 8．在下列四個(gè)命題中，正確的有(　　) ①坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率； ②直線的傾斜角的取值范圍為[0，180]； ③若一直線的斜率為tanα，則此直線的傾斜角為α； ④若一直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tanα． A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 答案　A 解析　當(dāng)傾斜角α＝90時(shí)，其斜率不存在，故①④不正確；直線的傾斜角α的取值范圍為[0，180)，故②不正確；直線的斜率k＝tan210這是可以的，此時(shí)傾斜角α＝30而不是210，故③不正確．故選A． 9．直線x＋(a2＋1)y＋1＝0的傾斜角的取值范圍是(　　) A．0， B．，π C．0，∪，π D．，∪，π 答案　B 解析　∵直線的斜率k＝－，∴－1≤k<0，則傾斜角的取值范圍是，π． 10．直線2x－my＋1－3m＝0，當(dāng)m變動(dòng)時(shí)，所有直線都通過定點(diǎn)(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　∵當(dāng)m變動(dòng)時(shí)，(2x＋1)－m(y＋3)＝0恒成立，∴2x＋1＝0，y＋3＝0，∴x＝－，y＝－3，定點(diǎn)為．故選D． 11．設(shè)點(diǎn)A(－2,3)，B(3,2)，若直線ax＋y＋2＝0與線段AB沒有交點(diǎn)，則a的取值范圍是(　　) A．∪ B． C． D．∪ 答案　B 解析　直線ax＋y＋2＝0恒過點(diǎn)M(0，－2)，且斜率為－a，∵kMA＝＝－，kMB＝＝， 畫圖可知－a>－且－a<，∴a∈． 12．已知直線l：ax＋y－2－a＝0在x軸和y軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)a＝________． 答案　1或－2 解析　顯然a＝0不符合題意，當(dāng)a≠0時(shí)，令x＝0，則直線l在y軸上的截距為2＋a；令y＝0，得直線l在x軸上的截距為1＋．依題意2＋a＝1＋，解得a＝1或a＝－2． 二、高考小題 13．(2013四川高考)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點(diǎn)A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距離之和最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是________． 答案　(2,4) 解析　由已知得kAC＝＝2，kBD＝＝－1，所以直線AC的方程為y－2＝2(x－1)， 即2x－y＝0，① 直線BD的方程為y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0，② 聯(lián)立①②解得 所以直線AC與直線BD的交點(diǎn)為P(2,4)，此點(diǎn)即為所求點(diǎn)． 因?yàn)閨PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|AC|＋|BD|， 取異于P點(diǎn)的任一點(diǎn)P′． 則|P′A|＋|P′B|＋|P′C|＋|P′D| ＝(|P′A|＋|P′C|)＋(|P′B|＋|P′D|) >|AC|＋|BD|＝|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|． 故P點(diǎn)就是到點(diǎn)A，B，C，D的距離之和最小的點(diǎn)．故應(yīng)填(2,4)． 14．(2014四川高考)設(shè)m∈R，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x＋my＝0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx－y－m＋3＝0交于點(diǎn)P(x，y)，則|PA||PB|的最大值是________． 答案　5 解析　易知A(0,0)，B(1,3)，且PA⊥PB，∴|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，∴|PA||PB|≤＝5(當(dāng)且僅當(dāng)|PA|＝|PB|＝時(shí)取“＝”)． 三、模擬小題 15．(2018重慶一診)若過點(diǎn)P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－2,1) B．(－1,2) C．(－∞，0) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案　A 解析　∵過點(diǎn)P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角，∴直線的斜率小于0，即<0，即<0，解得－2<a<1，故選A． 16．(2018佛山質(zhì)檢)在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：ax＋y＋b＝0和直線l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　) 答案　B 解析　當(dāng)a，b≠0時(shí)，兩直線在x軸上的截距符號(hào)相同，故選B． 17．(2019石家莊調(diào)研)已知直線l的斜率為k(k≠0)，它在x軸，y軸上的截距分別為k,2k，則直線l的方程為(　　) A．2x－y－4＝0 B．2x－y＋4＝0 C．2x＋y－4＝0 D．2x＋y＋4＝0 答案　D 解析　依題意得直線l過點(diǎn)(k,0)和(0,2k)，所以其斜率k＝＝－2，由點(diǎn)斜式得直線l的方程為y＝－2(x＋2)，化為一般式是2x＋y＋4＝0．故選D． 18．(2018廣西南寧三中月考)設(shè)點(diǎn)P是曲線y＝x3－x＋上的任意一點(diǎn)，P點(diǎn)處切線的傾斜角α的取值范圍是(　　) A．0，∪，π B．，π C．0，∪，π D．， 答案　C 解析　因?yàn)閥′＝3x2－≥－，即切線斜率k≥－，所以切線傾斜角α的取值范圍是0，∪，π． 19．(2018江西宜春豐城九中月考)直線l過點(diǎn)A(1,2)，且不經(jīng)過第四象限，則直線l的斜率的取值范圍為(　　) A．0， B．[0,1] C．[0,2] D．0， 答案　C 解析　因?yàn)橹本€l過點(diǎn)A(1,2)，且不經(jīng)過第四象限，作出圖象，如圖所示，當(dāng)直線位于如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi)時(shí)滿足條件，由圖可知，當(dāng)直線l過A且平行于x軸時(shí)，斜率取得最小值，kmin＝0；當(dāng)直線l過A(1,2)，O(0,0)時(shí)，斜率取得最大值，kmax＝2，所以直線l的斜率的取值范圍是[0,2]．故選C． 20．(2018豫南九校聯(lián)考)若θ是直線l的傾斜角，且sinθ＋cosθ＝，則l的斜率為(　　) A．－ B．－或－2 C．或2 D．－2 答案　D 解析　∵sinθ＋cosθ＝，?、? ∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝， ∴2sinθcosθ＝－，∴(sinθ－cosθ)2＝， 易知sinθ>0，cosθ<0， ∴sinθ－cosθ＝，?、? 由①②解得∴tanθ＝－2，即l的斜率為－2，故選D． 21．(2018江蘇調(diào)研)已知經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線l的方程為________． 答案　2x－3y＝0或x＋y－5＝0 解析　設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a，若a＝0，即l過點(diǎn)(0,0)和(3,2)， ∴l(xiāng)的方程為y＝x，即2x－3y＝0． 若a≠0，則設(shè)l的方程為＋＝1， ∵l過點(diǎn)(3,2)，∴＋＝1，∴a＝5， ∴l(xiāng)的方程為x＋y－5＝0， 綜上可知，直線l的方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0． 22．(2019滄州月考)已知直線y＝x＋k與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積不小于1，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________． 答案　(－∞，－1]∪[1，＋∞) 解析　令y＝0，則x＝－2k．令x＝0，則y＝k．故直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S＝|k||－2k|＝k2．由題意知，三角形的面積不小于1，可得k2≥1，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是k≥1或k≤－1． 一、高考大題 本考點(diǎn)在近三年高考中未涉及此題型． 二、模擬大題 1．(2018山西長(zhǎng)治月考)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC邊的中點(diǎn)M在y軸上，BC邊的中點(diǎn)N在x軸上，求： (1)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)； (2)直線MN的方程． 解　(1)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y)，則有 ＝0，＝0． ∴x＝－5，y＝－3， 即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－5，－3)． (2)由題意知，M，N(1,0)， ∴直線MN的方程為x－＝1， 即5x－2y－5＝0． 2．(2018四川達(dá)州月考)直線l過點(diǎn)P(1,4)，分別交x軸的正方向和y軸的正方向于A，B兩點(diǎn)． (1)當(dāng)|PA||PB|最小時(shí)，求l的方程； (2)當(dāng)|OA|＋|OB|最小時(shí)，求l的方程． 解　依題意，l的斜率存在，且斜率為負(fù)． 設(shè)l：y－4＝k(x－1)(k<0)． 令y＝0，可得A； 令x＝0，可得B(0,4－k)． (1)|PA||PB|＝ ＝－(1＋k2)＝－4≥8．(注意k<0) ∴當(dāng)且僅當(dāng)＝k且k<0， 即k＝－1時(shí)，|PA||PB|取最小值． 這時(shí)l的方程為x＋y－5＝0． (2)|OA|＋|OB|＝＋(4－k)＝5－≥9． ∴當(dāng)且僅當(dāng)k＝且k<0，即k＝－2時(shí)，|OA|＋|OB|取最小值．這時(shí)l的方程為2x＋y－6＝0． 3．(2018福建華安月考)設(shè)直線l的方程為(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)． (1)若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程； (2)若a>－1，直線l與x，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OMN面積取最小值時(shí)直線l的方程． 解　(1)當(dāng)直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，該直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0，此時(shí)a＋2＝0，解得a＝－2，此時(shí)直線l的方程為－x＋y＝0，即x－y＝0；當(dāng)直線l不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，即a≠－2且a≠－1時(shí)，由直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等可得＝2＋a，解得a＝0，此時(shí)直線l的方程為x＋y－2＝0． 所以直線l的方程為x－y＝0或x＋y－2＝0． (2)由直線方程可得M，N(0,2＋a)， 因?yàn)閍>－1， 所以S△OMN＝(2＋a) ＝＝ ≥＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)a＋1＝，即a＝0時(shí)等號(hào)成立． 此時(shí)直線l的方程為x＋y－2＝0． 4．(2018福建漳州月考)在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)．光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P(如圖)．若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，求AP的長(zhǎng)？ 解　以AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系， 由題意可知B(4,0)，C(0，4)，A(0，0)，則直線BC的方程為x＋y－4＝0， 設(shè)P(t,0)(0<t<4)，由對(duì)稱知識(shí)可得點(diǎn)P關(guān)于BC所在直線的對(duì)稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(4,4－t)，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(－t,0)，根據(jù)反射定律可知P1P2所在直線就是光線RQ所在直線． 由P1，P2兩點(diǎn)坐標(biāo)可得P1P2所在直線的方程為y＝(x＋t)，設(shè)△ABC的重心為G，易知G． 因?yàn)橹匦腉，在光線RQ上， 所以有＝，即3t2－4t＝0， 所以t＝0或t＝，因?yàn)?<t<4， 所以t＝，即AP＝．