陜西省石泉縣高中數(shù)學(xué) 第四章 定積分 4.1.1 定積分的實(shí)際背景教案 北師大版選修2-2.doc

1.1 定積分的實(shí)際背景面積和路程問題2課標(biāo)要求了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念。三維目標(biāo)（一）知識(shí)與能力：了解求曲邊梯形面積的過程和解決有關(guān)汽車行駛路程問題的過程的共同點(diǎn)；（二）過程與方法：1.體會(huì)求汽車行駛的路程有關(guān)問題的過程；2.感受在其過程中滲透的思想方法：分割、以不變代變、求和、取極限（逼近）。（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀：認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在日常生產(chǎn)生活中的重要作用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)，完善數(shù)學(xué)的正確數(shù)學(xué)意識(shí)。教材分析本節(jié)的主要內(nèi)容是展現(xiàn)定積分的實(shí)際背景，形成定積分的概念.教材設(shè)計(jì)了3個(gè)實(shí)例求曲邊梯形面積、根據(jù)物體運(yùn)動(dòng)的速度求路程、求物體拉力做的功，通過這些問題的解決，總結(jié)這些問題的解決思路即通過分割求和、加細(xì)、減小誤差，然后再研究提高精確度的過程，這個(gè)過程是定積分思想的核心，為定積分概念的引人奠定了背景和方法的基礎(chǔ)。學(xué)情分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了求曲邊梯形面積、根據(jù)物體運(yùn)動(dòng)的速度求路程、求物體拉力做的功，為定積分概念的引人奠定了背景和方法的基礎(chǔ)。教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握過程步驟：分割、以不變代變、求和、逼近（取極限）難點(diǎn)：過程的理解提煉的課題定積分的概念教學(xué)手段運(yùn)用教學(xué)資源選擇專家伴讀教學(xué)過程四、教學(xué)過程（一）、創(chuàng)設(shè)情景復(fù)習(xí)：1連續(xù)函數(shù)的概念；2求曲邊梯形面積的基本思想和步驟；利用導(dǎo)數(shù)我們解決了“已知物體運(yùn)動(dòng)路程與時(shí)間的關(guān)系，求物體運(yùn)動(dòng)速度”的問題反之，如果已知物體的速度與時(shí)間的關(guān)系，如何求其在一定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程呢？（二）、新課探析問題：汽車以速度組勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過時(shí)間所行駛的路程為如果汽車作變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻的速度為（單位：km/h），那么它在01(單位：h)這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程（單位：km）是多少？ 分析：與求曲邊梯形面積類似，采取“以不變代變”的方法，把求勻變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題，化歸為勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上，由于的變化很小，可以近似的看作汽車作于速直線運(yùn)動(dòng)，從而求得汽車在每個(gè)小區(qū)間上行駛路程的近似值，在求和得（單位：km）的近似值，最后讓趨緊于無窮大就得到（單位：km）的精確值（思想：用化歸為各個(gè)小區(qū)間上勻速直線運(yùn)動(dòng)路程和無限逼近的思想方法求出勻變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）解：（1）分割在時(shí)間區(qū)間上等間隔地插入個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間： ， 記第個(gè)區(qū)間為，其長度為把汽車在時(shí)間段，上行駛的路程分別記作： ， 顯然，（2）近似代替當(dāng)很大，即很小時(shí)，在區(qū)間上，可以認(rèn)為函數(shù)的值變化很小，近似的等于一個(gè)常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似的等于左端點(diǎn)處的函數(shù)值，從物理意義上看，即使汽車在時(shí)間段上的速度變化很小，不妨認(rèn)為它近似地以時(shí)刻處的速度作勻速直線運(yùn)動(dòng)，即在局部小范圍內(nèi)“以勻速代變速”，于是的用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內(nèi)“以直代取”，則有 （3）求和由，=從而得到的近似值 （4）取極限當(dāng)趨向于無窮大時(shí)，即趨向于0時(shí)，趨向于，從而有 思考：結(jié)合求曲邊梯形面積的過程，你認(rèn)為汽車行駛的路程與由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積有什么關(guān)系？結(jié)合上述求解過程可知，汽車行駛的路程在數(shù)據(jù)上等于由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積一般地，如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度函數(shù)為，那么我們也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，利用“以不變代變”的方法及無限逼近的思想，求出它在ab內(nèi)所作的位移例、彈簧在拉伸的過程中，力與伸長量成正比，即力（為常數(shù)，是伸長量），求彈簧從平衡位置拉長所作的功 分析：利用“以不變代變”的思想，采用分割、近似代替、求和、取極限的方法求解解： 將物體用常力沿力的方向移動(dòng)距離，則所作的功為1分割在區(qū)間上等間隔地插入個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間： ， 記第個(gè)區(qū)間為，其長度為 把在分段，上所作的功分別記作：，（2）近似代替有條件知： （3）求和=從而得到的近似值 （4）取極限所以得到彈簧從平衡位置拉長所作的功為：（四）、課堂小結(jié)：求汽車行駛的路程有關(guān)問題的過程。