（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第19講 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)學(xué)案 理 新人教A版.docx

第19講　三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)(下表中k∈Z) 函數(shù) y=sin x y=cos x y=tan x 圖像 定義域 R R x　　x∈R,且x≠ kπ+π2,k∈Z 值域 　　　 　　　 　　　 周期性 2π 2π π 奇偶性 　　　 　　　 奇函數(shù) 單調(diào)性 2kπ-π2,2kπ+π2上為增函數(shù);　　　　　　　上為減函數(shù) [2kπ,2kπ+π]上為減函數(shù);　　　　　　上為增函數(shù) kπ-π2,kπ+π2上為增函數(shù) 對稱 中心 　　　　 kπ+π2,0 kπ2,0 對稱軸 x=kπ+π2 　　　　 無 常用結(jié)論 1.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=2π|ω|,函數(shù)y=tan(ωx+φ)的最小正周期T=π|ω|. 2.正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半周期,相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是14周期.正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半周期. 3.三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,偶函數(shù)一般可化為y=Acos ωx+b的形式. 題組一　常識題 1.[教材改編] 函數(shù)y=2sin(2x-1)的最小正周期是　　　　. 2.[教材改編] 若函數(shù)y=Asin x+1(A>0)的最大值是3,則它的最小值是　　　　. 3.[教材改編] 函數(shù)y=2cos x在[-π,0]上是　　　　函數(shù),在[0,π]上是　　　　函數(shù). 4.[教材改編] 函數(shù)f(x)=tanx-1的定義域為　　　　　　　. 題組二　常錯題 ◆索引:忽視y=Asin x(或y=Acos x)中A對函數(shù)單調(diào)性的影響;忽視函數(shù)的定義域;忽視正、余弦函數(shù)的有界性;忽視正切函數(shù)的周期性. 5.函數(shù)y=1-2cos x的單調(diào)遞減區(qū)間是　　　　　　　. 6.函數(shù)y=cos xtan x的值域是　　　　　. 7.函數(shù)y=-cos2x+3cos x-1的最大值為 　　　　. 8.函數(shù)y=tanx+π4圖像的對稱中心是　　　　　　. 探究點一　三角函數(shù)的定義域 例1 (1)函數(shù)f(x)=2-log2x+tanx+π3的定義域為　　　　　　　　　. (2)函數(shù)y=ln(2cos x+1)+sinx的定義域為　　　　　　　　　. [總結(jié)反思] 求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡單的三角函數(shù)不等式(組),常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)的圖像來求解. 變式題 (1)函數(shù)y=sinx-cosx的定義域為　　　　　　　　　. (2)函數(shù)f(x)=sinx-13+2sinx的定義域是　　　　　　　　　. 探究點二　三角函數(shù)的值域或最值 例2 (1)函數(shù)y=2cos 2x-sin x+1的最大值是　　　　. (2)[2018滄州質(zhì)檢] 已知x∈-π4,π6,則函數(shù)f(x)=2cos xsinx+π3-3sin2x+sin xcos x的最大值與最小值之和為　　　　. [總結(jié)反思] 求解三角函數(shù)的值域(最值)的幾種方法: ①形如y=asin x+bcos x+c的三角函數(shù),化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求值域(最值); ②形如y=asin2x+bsin x+c的三角函數(shù),可設(shè)t=sin x,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值); ③形如y=asin xcos x+b(sin xcos x)+c的三角函數(shù),可設(shè)t=sin xcos x,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值). 變式題 (1)函數(shù)f(x)=sinx-π4-cosx-π4的最大值為 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.2 C.22 D.22 (2)函數(shù)y=cos x-sin x+4sin xcos x的值域是　　　　　　. 探究點三　三角函數(shù)性質(zhì)的有關(guān)問題 微點1　三角函數(shù)的周期性 例3 (1)在函數(shù)①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos2x+π6,④y=tan2x-π4中,最小正周期為π的所有函數(shù)為 (　　) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ (2)若函數(shù)f(x)=1+asinax+π6(a>0)的最大值為3,則f(x)的最小正周期為　　　　. [總結(jié)反思] (1)公式法:函數(shù)y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=2π|ω|,y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=π|ω|;(2)圖像法:利用三角函數(shù)圖像的特征求周期. 微點2　三角函數(shù)的對稱性 例4 (1)[2018廣西賀州聯(lián)考] 若函數(shù)f(x)與g(x)的圖像有一條相同的對稱軸,則稱這兩個函數(shù)互為同軸函數(shù).下列四個函數(shù)中,與f(x)=12x2-x互為同軸函數(shù)的是(　　) A.g(x)=cos(2x-1) B.g(x)=sin πx C.g(x)=tan x D.g(x)=cos πx (2)[2018重慶合川區(qū)三模] 函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的圖像關(guān)于直線x=π3對稱,它的最小正周期為π,則函數(shù)f(x)的圖像的一個對稱中心是(　　) A.π3,0 B.π12,0 C.5π12,0 D.-π12,0 [總結(jié)反思] (1)對于函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),其圖像的對稱軸一定經(jīng)過函數(shù)圖像的最高點或最低點,對稱中心一定是函數(shù)的零點,因此在判斷直線x=x0或點(x0,0)是否是函數(shù)圖像的對稱軸或?qū)ΨQ中心時,可通過檢驗f(x0)的值進行判斷. (2)函數(shù)圖像的對稱性與周期T之間有如下結(jié)論:①若函數(shù)圖像相鄰的兩條對稱軸分別為x=a與x=b,則最小正周期T=2|b-a|;②若函數(shù)圖像相鄰的兩個對稱中心分別為(a,0),(b,0),則最小正周期T=2|b-a|;③若函數(shù)圖像相鄰的對稱中心與對稱軸分別為(a,0)與x=b,則最小正周期T=4|b-a|. 微點3　三角函數(shù)的單調(diào)性 例5 (1)[2018烏魯木齊一檢] 已知π3為函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)0<φ<π2的一個零點,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 (　　) A.2kπ-5π12,2kπ+π12(k∈Z) B.2kπ+π12,2kπ+7π12(k∈Z) C.kπ-5π12,kπ+π12(k∈Z) D.kπ+π12,kπ+7π12(k∈Z) (2)[2018合肥一中月考] 已知ω>0,函數(shù)f(x)=cosωx+π3在π3,π2上單調(diào)遞增,則ω的取值范圍是(　　) A.23,103 B.23,103 C.2,103 D.2,103 [總結(jié)反思] (1)形如y=Asin(ωx+φ)的函數(shù)的單調(diào)性問題,一般是將ωx+φ看成一個整體,再結(jié)合圖像利用y=sin x的單調(diào)性求解;(2)如果函數(shù)中自變量的系數(shù)為負值,要根據(jù)誘導(dǎo)公式把自變量系數(shù)化為正值,再確定其單調(diào)性. 應(yīng)用演練 1.【微點3】[2018西安八校聯(lián)考] 已知函數(shù)f(x)=cos(x+θ)(0<θ<π)在x=π3處取得最小值,則f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是 (　　) A.π3,π B.π3,2π3 C.0,2π3 D.2π3,π 2.【微點3】[2018浙江余姚中學(xué)月考] 設(shè)f(x)=cos x,若a=f(ln 2),b=f(ln π),c=fln13,則下列關(guān)系式正確的是 (　　) A.a>b>c B.b>c>a C.a>c>b D.b>a>c 3.【微點2】[2019九江一中月考] 已知函數(shù)f(x)=Asinωx+π6的圖像上相鄰兩個對稱中心之間的距離為2,則函數(shù)的對稱軸方程可能是 (　　) A.x=1 B.x=14 C.x=23 D.x=-1 4.【微點1】[2018上海金山區(qū)二模] 函數(shù)y=3sin2x+π3的最小正周期T=　　　　. 第19講　三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 考試說明 1.能畫出函數(shù)y=sin x,y=cos x,y=tan x的圖像,了解三角函數(shù)的周期性. 2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖像與x軸的交點等),理解正切函數(shù)在區(qū)間-π2,π2內(nèi)的單調(diào)性. 【課前雙基鞏固】 知識聚焦 1.[-1,1]　[-1,1]　R　奇函數(shù)　偶函數(shù)　2kπ+π2,2kπ+3π2　[2kπ-π,2kπ]　(kπ,0)　x=kπ 對點演練 1.π　[解析] 最小正周期T=2πω=2π2=π. 2.-1　[解析] 依題意得A+1=3,所以A=2,所以函數(shù)y=2sin x+1的最小值為1-2=-1. 3.增　減　[解析] 由余弦函數(shù)的單調(diào)性,得函數(shù)y=2cos x在[-π,0]上是增函數(shù),在[0,π]上是減函數(shù). 4.π4+kπ,π2+kπ(k∈Z)　[解析] 由題意知tan x≥1,所以π4+kπ≤x<π2+kπ(k∈Z). 5.[2kπ-π,2kπ](k∈Z)　[解析] 函數(shù)y=1-2cos x的單調(diào)遞減區(qū)間即函數(shù)y=-cos x的單調(diào)遞減區(qū)間,即函數(shù)y=cos x的單調(diào)遞增區(qū)間,即為[2kπ-π,2kπ](k∈Z). 6.(-1,1)　[解析] ∵x≠π2+kπ(k∈Z),y=cos xtan x=sin x,∴y=sin x∈(-1,1),即函數(shù)y=cos xtan x的值域是(-1,1). 7.1　[解析] 設(shè)t=cos x,則-1≤t≤1,所以y=-t2+3t-1=-t-322+54,當t=1時,函數(shù)取得最大值1. 8.kπ2-π4,0(k∈Z)　[解析] 由x+π4=kπ2(k∈Z),得x=kπ2-π4(k∈Z),所以函數(shù)y=tanx+π4圖像的對稱中心為kπ2-π4,0(k∈Z). 【課堂考點探究】 例1　[思路點撥] 根據(jù)偶次根式和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及正切函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于x的不等式組求解. (1)x0<x≤4且x≠π6且x≠7π6　(2)x2kπ≤x<2kπ+2π3,k∈Z　[解析] (1)依題意得2-log2x≥0,x+π3≠kπ+π2,k∈Z,得0<x≤4且x≠kπ+π6,k∈Z,所以函數(shù)f(x)的定義域是x0<x≤4且x≠π6且x≠7π6. (2)由題意得2cosx+1>0,sinx≥0,即cosx>-12,sinx≥0,解得2kπ-2π3<x<2kπ+2π3,k∈Z,2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z,所以2kπ≤x<2kπ+2π3,k∈Z, 所以函數(shù)的定義域為x2kπ≤x<2kπ+2π3,k∈Z. 變式題　(1)x2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4,k∈Z (2)x2kπ-π3<x<2kπ+4π3,k∈Z [解析] (1)由題意知sin x-cos x≥0.作出函數(shù)y=sin x和y=cos x的圖像,如圖所示. 在[0,2π]內(nèi),滿足sin x=cos x的x的值為π4,5π4,再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2π,得原函數(shù)的定義域為x2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4,k∈Z. (2)依題意知,3+2sin x>0,即sin x>-32,結(jié)合函數(shù)y=sin x的圖像(圖略),可得函數(shù)f(x)的定義域為x2kπ-π3<x<2kπ+4π3,k∈Z. 例2　[思路點撥] (1)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為以sin x為自變量的二次函數(shù)求最值;(2)將函數(shù)化為f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式,再利用函數(shù)的單調(diào)性求最值. (1)4916　(2)1　[解析] (1)由題知,y=2cos 2x-sin x+1=2-4sin2x-sin x+1=-4sinx+182+4916,當sin x=-18時,函數(shù)取得最大值,最大值為4916. (2)由題可知,f(x)=2cos xsinxcosπ3+cosxsinπ3-3sin2x+sin xcos x=2sin xcos x+3cos2x-3sin2x=sin 2x+3cos 2x=2sin2x+π3. 因為x∈-π4,π6,所以2x+π3∈-π6,2π3,所以當2x+π3=π2,即x=π12時,函數(shù)取得最大值,即為2sinπ2=2;當2x+π3=-π6,即x=-π4時,函數(shù)取得最小值,即為2sin-π6=-1.所以最大值與最小值之和為2-1=1. 變式題　(1)B　(2)-2-2,178　[解析] (1)∵f(x)=sinx-π4-cosx-π4=2sinx-π4-π4=2sinx-π2=-2cos x,∴當x=(2k+1)π(k∈Z)時,f(x)取得最大值2. (2)令t=cos x-sin x,則t=2cosx+π4∈[-2,2],又t2=1-2sin xcos x,所以sin xcos x=1-t22,所以y=t+41-t22=-2t2+t+2=-2t-142+178.因為t∈[-2,2],所以當t=14時,y取得最大值178;當t=-2時,y取得最小值-2-2.所以函數(shù)的值域是-2-2,178. 例3　[思路點撥] (1)根據(jù)三角函數(shù)的周期性,求出各個函數(shù)的最小正周期,從而得出結(jié)論;(2)首先求出參數(shù)a,再求最小正周期. (1)A　(2)π　[解析] (1)對于①,y=cos|2x|=cos 2x,則它的最小正周期為2π2=π; 對于②,y=|cos x|的最小正周期為122π1=π; 對于③,y=cos2x+π6的最小正周期為2π2=π; 對于④,y=tan2x-π4的最小正周期為π2. 故選A. (2)∵函數(shù)f(x)=1+asinax+π6(a>0)的最大值為1+a,∴1+a=3,∴a=2, 因此f(x)的最小正周期為2πa=π. 例4　[思路點撥] (1)函數(shù)f(x)的圖像的對稱軸為直線x=1,逐一驗證各選項,可得符合條件的函數(shù);(2)由周期求出ω=2,再由圖像關(guān)于直線x=π3對稱,求得φ=-π6,進而可求得f(x)的圖像的對稱中心. (1)D　(2)B　[解析] (1)易知f(x)=12x2-x的圖像關(guān)于直線x=1對稱.對于選項A,函數(shù)g(x)的圖像的對稱軸為直線x=12+kπ2(k∈Z);對于選項B,函數(shù)g(x)的圖像的對稱軸為直線x=12+k(k∈Z);對于選項C,函數(shù)g(x)的圖像不存在對稱軸;對于選項D,函數(shù)g(x)的圖像的對稱軸為直線x=k(k∈Z),當k=1時,其中有一條對稱軸為直線x=1,符合題意.故選D. (2)由題意可得2πω=π,∴ω=2,∴f(x)=Asin(2x+φ). ∵函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=π3對稱,∴fπ3=Asin2π3+φ=A,即sin2π3+φ=1.∵|φ|<π2,∴φ=-π6,故函數(shù)f(x)=Asin2x-π6.令2x-π6=kπ,k∈Z,可得x=kπ2+π12,k∈Z,故函數(shù)f(x)的圖像的對稱中心為kπ2+π12,0,k∈Z.結(jié)合選項可知, 函數(shù)f(x)的圖像的一個對稱中心是π12,0.故選B. 例5　[思路點撥] (1)由條件求出φ,根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求解;(2)先求出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,由π3,π2是所求單調(diào)遞增區(qū)間的子集得出ω的取值范圍. (1)C　(2)C　[解析] (1)∵π3為函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)0<φ<π2的一個零點, ∴fπ3=sin2π3+φ=0, ∴2π3+φ=kπ(k∈Z),解得φ=kπ-2π3(k∈Z). ∵0<φ<π2,∴φ=π3, ∴f(x)=sin2x+π3,令-π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ(k∈Z),則kπ-5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z), 故選C. (2)令2kπ-π≤ωx+π3≤2kπ,k∈Z,∵ω>0,∴2kπω-4π3ω≤x≤2kπω-π3ω,k∈Z, ∴函數(shù)f(x)=cosωx+π3的單調(diào)遞增區(qū)間為2kπω-4π3ω,2kπω-π3ω,k∈Z. ∵f(x)在π3,π2上單調(diào)遞增, ∴π2≤2kπω-π3ω,π3≥2kπω-4π3ω,k∈Z, 解得6k-4≤ω≤4k-23,k∈Z.由題意知,π2-π3≤122πω,∴0<ω≤6,∴2≤ω≤103. 應(yīng)用演練 1.A　[解析] ∵函數(shù)f(x)=cos(x+θ)(0<θ<π)在x=π3處取得最小值,∴cosπ3+θ=-1,∴π3+θ=π+2kπ,k∈Z,又∵0<θ<π,∴θ=2π3,即f(x)=cosx+2π3.令-π+2kπ≤x+2π3≤2kπ,k∈Z,解得-5π3+2kπ≤x≤-2π3+2kπ,k∈Z,又∵x∈[0,π],∴k=1,∴f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是π3,π,故選A. 2.C　[解析] 因為函數(shù)f(x)=cos x是偶函數(shù),所以c=fln13=f(ln 3).因為0<ln 2<ln 3<ln π<π,且函數(shù)f(x)在[0,π]上單調(diào)遞減,所以f(ln 2)>f(ln 3)>f(ln π),即a>c>b.故選C. 3.C　[解析] 由題可知,函數(shù)的最小正周期T=22=4,所以ω=2π4=π2.令π2x+π6=kπ+π2,k∈Z,解得x=2k+23,k∈Z,結(jié)合選項可知,x=23滿足條件.故選C. 4.π　[解析] 易知T=2π2=π. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【備選理由】 例1考查余弦函數(shù)的有界性、二次函數(shù)在指定區(qū)間上的值域問題;例2考查根據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)無最值求參數(shù)范圍的問題;例3考查抽象函數(shù)比較大小的問題,考查函數(shù)的單調(diào)性和對稱性以及三角函數(shù)的知識,是較好的綜合題;例4綜合考查正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的單調(diào)性,并結(jié)合充要條件進行考查. 例1　[配合例2使用] 已知函數(shù)f(x)=1+4cos x-4sin2x,x∈-π4,2π3,則f(x)的值域為　　　　. [答案] [-4,5] [解析] f(x)=1+4cos x-4sin2x=1+4cos x-4(1-cos2x)=4cos2x+4cos x-3=4cosx+122-4,因為x∈-π4,2π3,所以cos x∈-12,1,所以4cosx+122-4∈[-4,5],故函數(shù)f(x)的值域為[-4,5]. 例2　[配合例2使用] 若函數(shù)f(x)=sinωx+π6(ω>0)在區(qū)間(π,2π)內(nèi)沒有最值,則ω的取值范圍是 (　　) A.0,112∪14,23 B.0,16∪13,23 C.14,23 D.13,23 [解析] B　由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)y=sin x的單調(diào)區(qū)間為kπ+π2,kπ+3π2,k∈Z. 由kπ+π2≤ωx+π6≤kπ+3π2,k∈Z, 得kπ+π3ω≤x≤kπ+4π3ω,k∈Z. ∵函數(shù)f(x)=sinωx+π6(ω>0)在區(qū)間(π,2π)內(nèi)沒有最值, ∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(π,2π)內(nèi)單調(diào), ∴(π,2π)?kπ+π3ω,kπ+4π3ω,k∈Z, 即kπ+π3ω≤π,kπ+4π3ω≥2π,k∈Z,解得k+13≤ω≤k2+23,k∈Z. 由k+13<k2+23,k∈Z,得k<23,k∈Z, ∴當k=0時,得13≤ω≤23; 當k=-1時,得-23≤ω≤16,又ω>0,故0<ω≤16. 綜上得,ω的取值范圍是0,16∪13,23. 故選B. 例3　[配合例4使用] [2018豫西南示范性高中聯(lián)考] 已知定義在R上的函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞減,f(x+1)的圖像關(guān)于直線x=-1對稱,若α,β是鈍角三角形中的兩個銳角,則f(sin α)和f(cos β)的大小關(guān)系為 (　　) A.f(sin α)>f(cos β) B.f(sin α)<f(cos β) C.f(sin α)=f(cos β) D.以上情況均有可能 [解析] B　已知f(x+1)的圖像關(guān)于直線x=-1對稱,可得到f(x)的圖像關(guān)于直線x=0對稱,故函數(shù)f(x)是偶函數(shù).因為α,β為鈍角三角形中的兩個銳角,所以α+β<π2,所以α<π2-β,故得到sin α<sinπ2-β=cos β,且sin α∈(0,1),cos β∈(0,1).因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞減,所以函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,故f(sin α)<f(cos β).故選B. 例4　[配合例5使用] [2018四川雙流中學(xué)一模] “φ=3π4”是“函數(shù)y=cos 2x與函數(shù)y=sin(2x+φ)在區(qū)間0,π4上的單調(diào)性相同”的 (　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 [解析] A　由題意可得,函數(shù)y=cos 2x在區(qū)間0,π4上單調(diào)遞減. 當φ=3π4時,函數(shù)y=sin2x+3π4,x∈0,π4,可得2x+3π4∈3π4,5π4, ∴函數(shù)y=sin2x+3π4在區(qū)間0,π4上單調(diào)遞減,∴充分性成立; 易知當φ=2π3時,函數(shù)y=sin(2x+φ)在區(qū)間0,π4上也單調(diào)遞減,∴必要性不成立. ∴“φ=3π4”是“函數(shù)y=cos 2x與函數(shù)y=sin(2x+φ)在區(qū)間0,π4上的單調(diào)性相同”的充分不必要條件.