2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 專題突破練（1）函數(shù)的綜合問題（理）（含解析）.docx

專題突破練(1)　函數(shù)的綜合問題 一、選擇題 1．函數(shù)f(x)＝的零點個數(shù)為(　　) A．3 B．2 C．7 D．0 答案　B 解析　解法一：由f(x)＝0得 或 解得x＝－2或x＝e． 因此函數(shù)f(x)共有2個零點． 解法二：函數(shù)f(x)的圖象如圖所示， 由圖象知函數(shù)f(x)共有2個零點．故選B． 2．已知A(2，5)，B(4，1)，若點P(x，y)在線段AB上，則的最大值為(　　) A． B．1 C． D． 答案　C 解析　由題意，得線段AB：y－1＝(x－4)?y＝－2x＋9(2≤x≤4)，所以＝＝－1＋≤，當(dāng)x＝2時等號成立，即的最大值為．故選C． 3．若變量x，y滿足|x|－ln ＝0，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是(　　) 答案　B 解析　由|x|－ln ＝0得y＝＝畫出圖象可知選B． 4．(2018貴陽模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝log2(2＋x)－1，則f(－6)＝(　　) A．2 B．4 C．－2 D．－4 答案　C 解析　因為f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)．而在x≥0時，f(x)＝log2(2＋x)－1，所以f(－6)＝－f(6)＝－[log2(2＋6)－1]＝－(log28－1)＝－2．故選C． 5．(2018唐山模擬)已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，若f(－2)＝0，則滿足xf(x)＞0的x的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2)∪(0，2) B．(－2，0)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2，0)∪(0，2) 答案　A 解析　因為f(x)是偶函數(shù)且在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞增，又f(－2)＝0，所以f(2)＝0，即在區(qū)間(－∞，－2)和(2，＋∞)上，f(x)＜0；在區(qū)間(－2，2)上，f(x)＞0，所以xf(x)＞0等價于和即得x<－2或0<x<2．故選A． 6．(2018廣東潮州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝，則使得f(x2－2x)>f(3x－6)成立的x的取值范圍是(　　) A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(2，3) C．(－∞，2) D．(3，＋∞) 答案　A 解析　易得函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)＝＝1－為單調(diào)增函數(shù)，故函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，依題意得x2－2x>3x－6，解得x<2或x>3．故選A． 7．(2018佛山質(zhì)檢一)已知函數(shù)f(x)＝ 則下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(　　) A．f(sinx) B．f(cosx) C．xf(sinx) D．x2f(cosx) 答案　C 解析　易知f(x)為偶函數(shù)，即滿足?x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立．研究g(x)＝xf(sinx)，g(－x)＝－xf[sin(－x)]＝－xf(－sinx)＝－xf(sinx)＝－g(x)，故g(x)＝xf(sinx)為奇函數(shù)．故選C． 8．(2019青島質(zhì)檢)已知a＞b＞1，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．a(chǎn)a＜bb B．a(chǎn)ln b＞bln a C．a(chǎn)ln a＞bln b D．a(chǎn)b＜ba 答案　C 解析　取a＝e，b＝，則B項明顯錯誤；對于D項，若ab＜ba成立，則ln ab＜ln ba，則bln a＜aln b，由B項錯誤得D項錯誤；因為a＞b＞1，所以ln a＞ln b＞0，由同向不等式相乘得aln a＞bln b，進一步得ln aa＞ln bb，所以aa＞bb，所以A項錯誤，C項正確．故選C． 9．若x，y∈R，且滿足則x＋y＝(　　) A．－4 B．－3 C．3 D．4 答案　B 解析　函數(shù)f(t)＝t3＋2018t(t∈R)是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)，故若f(u)＋f(v)＝0，則必有u＋v＝0，本題中，u＝x＋4，v＝y(tǒng)－1，∴x＋4＋y－1＝0?x＋y＝－3．故選B． 10．(2018長沙統(tǒng)考)函數(shù)f(x)＝2x＋的圖象大致為(　　) 答案　A 解析　f(x)＝2x＋＝2x－＋1，其定義域為(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．令u(x)＝2x，v(x)＝－．由于u(x)和v(x)都在(－∞，－1)和(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(－∞，－1)上和(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，排除C，D；又當(dāng)x趨向負(fù)無窮時，2x趨近于0，－趨近于0，所以f(x)接近于1，所以選A． 11．(2018大慶質(zhì)檢一)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0，＋∞)時，f′(x)<0．若a＝fln ，b＝fln －，c＝f(e0．1)，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．b<a<c B．b<c<a C．c<a<b D．a(chǎn)<c<b 答案　C 解析　依題意，有f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，而且f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則由其圖象知f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，從而奇函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減．則由ln －＝ln 1－<ln＝－1，0>ln >ln ＝－1，e0．1>0，知ln －<ln <e0．1，從而結(jié)合f(x)的單調(diào)性，有fln －>fln >f(e0．1)，即c<a<b．故選C． 12．(2018長沙統(tǒng)考)設(shè)平行于x軸的直線l分別與函數(shù)y＝2x和y＝2x＋1的圖象相交于點A，B，若函數(shù)y＝2x的圖象上存在點C，使得△ABC為等邊三角形，則這樣的直線l(　　) A．不存在 B．有且只有一條 C．至少有兩條 D．有無數(shù)條 答案　B 解析　如圖，設(shè)直線l的方程為y＝a(a＞0)，則點A(log2a，a)，B(log2a－1，a)． 因為直線AB平行于x軸，所以|AB|＝1．取AB中點D，連接CD，因為△ABC是等邊三角形，所以CD⊥AB，且|AD|＝，|CD|＝，所以點Clog2a－，a－．因為點C在y＝2x的圖象上，所以a－＝2log2a－＝，解得a＝，所以直線l只有一條．故選B． 二、填空題 13．若關(guān)于x的不等式x2－4x－2－a>0在區(qū)間[1，4]內(nèi)有解，則實數(shù)a的取值范圍是________． 答案　(－∞，－2) 解析　不等式x2－4x－2－a>0在區(qū)間[1，4]內(nèi)有解等價于a<(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈[1，4]，∴g(x)≤g(4)＝－2，∴a<－2． 14．若存在b∈[1，2]，使得2b(b＋a)≥4，則實數(shù)a的取值范圍是________． 答案　[－1，＋∞) 解析　由題可得2b(a＋b)≥4?a＋b≥4b?a≥4b－b，即存在b∈[1，2]使得a≥4b－b，因為y＝4x－x在R是單調(diào)遞減的，所以4b－b在區(qū)間[1，2]上的范圍為[－1，1]，則a≥－1，故填[－1，＋∞)． 15．已知函數(shù)g(x)的圖象與函數(shù)f(x)＝log3x(x>0)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，若g(a)g(b)＝3(其中a>0且b>0)，則＋的最小值為________． 答案　9 解析　依題意可知g(x)＝3x，∴g(a)g(b)＝3a3b＝3a＋b＝3即a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝5＋＋≥9當(dāng)且僅當(dāng)a＝，b＝取“＝”． 16．如圖，在第一象限內(nèi)，矩形ABCD的三個頂點A，B，C分別在函數(shù)y＝logx，y＝x，y＝x的圖象上，且矩形的邊分別平行于兩坐標(biāo)軸，若點A的縱坐標(biāo)是2，則點D的坐標(biāo)是________． 答案　， 解析　由2＝logx可得點A，2，由2＝x可得點B(4，2)，因為4＝，所以點C的坐標(biāo)為4，，所以點D的坐標(biāo)為，． 三、解答題 17．(2018湖北荊州摸底)已知定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)，滿足f(mn)＝f(m)＋f(n)(m，n>0)，且當(dāng)x>1時，有f(x)>0． (1)求證：f＝f(m)－f(n)； (2)求證：f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)； (3)比較f與的大?。? 解　(1)證明：∵f(m)＝f＝f＋f(n)， ∴f＝f(m)－f(n)． (2)證明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， 則f(x2)－f(x1)＝f． ∵0<x1<x2，∴>1，∴f>0， ∴f(x2)>f(x1)， ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)． (3)f－ ＝f＋f－ ＝＋ ＝f＋f ＝f ∵≥1，∴f≥0， 故f≥． 18．(2018浙江寧波統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)，g(x)＝x|x－a|． (1)若g(x)為奇函數(shù)，求a的值并判斷g(x)的單調(diào)性(單調(diào)性不需證明)； (2)對任意x1∈[1，＋∞)，總存在唯一的x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，求正實數(shù)a的取值范圍． 解　(1)∵g(x)為奇函數(shù)， ∴g(x)＋g(－x)＝x(|x－a|－|x＋a|)＝0恒成立． ∴a＝0．此時g(x)＝x|x|，在R上單調(diào)遞增． (2)x1∈[1，＋∞)，f(x)＝log2(x＋1)， ∴f(x1)∈[1，＋∞)，g(x)＝ ①當(dāng)a≤2時，g(x2)在[2，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴g(2)＝4－2a≤1，a≥，∴≤a≤2． ②當(dāng)2<a<4時，g(x2)在[2，a]上單調(diào)遞減，在[a，＋∞)上單調(diào)遞增． ∴g(2)＝－4＋2a<1，a<，∴2<a<． ③當(dāng)a≥4時，g(x2)在2，上單調(diào)遞增，在，a上單調(diào)遞減，在[a，＋∞)上單調(diào)遞增． ∴g＝－2＋<1，－2<a<2，不成立． 綜上可知≤a＜． 19．(2018福建四校聯(lián)考)某工廠生產(chǎn)一種儀器的元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制，會產(chǎn)生一些次品，根據(jù)經(jīng)驗知道，其次品率P與日產(chǎn)量x(萬件)之間滿足關(guān)系：P＝(其中c為小于6的正常數(shù))． (注：次品率＝次品數(shù)/生產(chǎn)量，如P＝0．1表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，有1件為次品，其余為合格品．) 已知每生產(chǎn)1萬件合格的儀器可以盈利2萬元，但每生產(chǎn)1萬件次品將虧損1萬元，故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量． (1)試將生產(chǎn)這種儀器的元件每天的盈利額T(萬元)表示為日產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)； (2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？ 解　(1)當(dāng)x>c時，P＝， ∴T＝x2－x1＝0； 當(dāng)1≤x≤c時，P＝， ∴T＝x2－x1＝． 綜上，日盈利額T(萬元)與日產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)關(guān)系為T＝ (2)由(1)，當(dāng)x>c時，每天的盈利額為0，∴1≤x≤c， ①當(dāng)3≤c<6時，T＝＝15－2(6－x)＋≤15－12＝3(當(dāng)且僅當(dāng)x＝3時取等號)，Tmax＝3，此時x＝3； ②當(dāng)1≤c<3時，由T′＝＝知函數(shù)T＝在[1，3]上遞增， ∴當(dāng)x＝c時，∴Tmax＝． 綜上，若3≤c<6，則當(dāng)日產(chǎn)量為3萬件時，可獲得最大利潤； 若1≤c<3，則當(dāng)日產(chǎn)量為c萬件時，可獲得最大利潤． 20．(2018天津模擬)統(tǒng)計表明某型號汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/小時)的函數(shù)為y＝x3－x＋8(0<x<120)． (1)當(dāng)x＝64千米/小時時，行駛100千米耗油量多少升？ (2)若油箱有22．5升油，則該型號汽車最多行駛多少千米？ 解　(1)當(dāng)x＝64千米/小時時，要行駛100千米需要＝小時， 要耗油643－64＋8＝11．95(升)． (2)設(shè)22．5升油能使該型號汽車行駛a千米，由題意得， x3－x＋8＝22．5， 所以a＝， 設(shè)h(x)＝x2＋－， 則當(dāng)h(x)最小時，a取最大值， h′(x)＝x－＝， 令h′(x)＝0?x＝80， 當(dāng)x∈(0，80)時，h′(x)<0，當(dāng)x∈(80，120)時，h′(x)>0， 故當(dāng)x∈(0，80)時，函數(shù)h(x)為減函數(shù)，當(dāng)x∈(80，120)時，函數(shù)h(x)為增函數(shù)， 所以當(dāng)x＝80時，h(x)取得最小值，此時a取最大值為 ＝200． 所以若油箱有22．5升油，則該型號汽車最多行駛200千米．