江蘇省2019高考數(shù)學二輪復習 專題五 解析幾何 第1講 直線與圓學案.doc

第1講直線與圓考情考向分析高考考查重點是求直線和圓的方程、直線間的平行和垂直關系、距離、直線與圓的位置關系，此類問題難度屬于中檔，偶爾出現(xiàn)解答題其中直線方程和圓的標準方程與一般方程是C級要求熱點一直線、圓的方程例1(1)在平面直角坐標系xOy中，過點M(1,0)的直線l與圓x2y25交于A，B兩點，其中點A在第一象限，且2，則直線l的方程為_答案xy10解析方法一易知l的斜率必存在，設l：yk(x1)由2，可設BM2t，MAt，如圖，過原點O作OHl于點H，則BH.設OHd，在RtOBH中，d22r25，在RtOMH中，d22OM21，解得d2.所以d2，解得k1或k1，因為點A在第一象限，2，由圖知k1，所以l：xy10.方法二設A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以(1x2，y2)，(x11，y1)因為2，所以有即又代入可得解得x12，代入可得y11，又點A在第一象限，故A(2,1)，由點A和點M的坐標可得直線AB的方程為xy10.(2)已知圓M的圓心在x軸上，且圓心在直線l1：x2的右側，若圓M截直線l1所得的弦長為2，且與直線l2：2xy40相切，則圓M的方程為_答案(x1)2y24解析由已知，可設圓M的圓心坐標為(a,0)，a2，半徑為r，則解得圓M的方程為(x1)2y24.思維升華求具備一定條件的直線或圓的方程時，其關鍵是尋找確定直線或圓的兩個幾何要素，待定系數(shù)法也是經(jīng)常使用的方法，解題時要注意平面幾何知識的應用跟蹤演練1(1)過點P(4,0)的直線l與圓C：(x1)2y25相交于A，B兩點，若點A恰好是線段PB的中點，則直線l的方程為_答案x3y40解析設AB的中點為D，則CDAB，設CDd，ADx，則PAAB2x，在RtACD中，由勾股定理得d2x2r25，在RtPDC中，由勾股定理得d29x2CP225，由解得d2.易知直線l的斜率一定存在，設為k，則l：yk(x4)，圓心C(1,0)到直線l的距離為d，解得k2，k，所以直線l的方程為y(x4)，即為x3y40.(2)若圓上一點A(2,3)關于直線x2y0的對稱點仍在圓上，且圓與直線xy10相交的弦長為2，則圓的方程為_答案(x6)2(y3)252或(x14)2(y7)2244解析設圓的方程為(xa)2(yb)2r2，點A(2,3)關于直線x2y0的對稱點仍在圓上，說明圓心在直線x2y0上，即a2b0，且(2a)2(3b)2r2.而圓與直線xy10相交的弦長為2，故r222，由，解得或所以所求圓的方程為(x6)2(y3)252或(x14)2(y7)2244.熱點二直線與圓、圓與圓的位置關系例2(2018江蘇儀征中學檢測)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2y24x0及點A， B.(1)若直線l平行于AB，與圓C相交于M，N兩點，MNAB，求直線l的方程；(2)在圓C上是否存在點P，使得PA2PB212 ？若存在，求點P的個數(shù)；若不存在，請說明理由解(1)圓C的標準方程為2y24，所以圓心C，半徑為2.因為lAB, A， B，所以直線l的斜率為1，設直線l的方程為xym0, 則圓心C到直線l的距離為d.因為MNAB2，而CM2d22，所以42, 解得m0或m4，故直線l的方程為xy0或xy40.(2)假設圓C上存在點P，設P，則2y24，PA2PB2222212，即x2y22y30，即x224, 因為<<22，所以圓2y24與圓x224相交，所以點P的個數(shù)為2.思維升華(1)判斷直線與圓的位置關系的常見方法：幾何法：利用d與r的關系；代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用判斷；點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交(2)判斷圓與圓的位置關系，一般用幾何法，其步驟為：確定兩圓的圓心坐標和半徑長；利用平面內(nèi)兩點間的距離公式求出圓心距d，r1r2，|r1r2|；比較d，r1r2，|r1r2|的大小，寫出結論跟蹤演練2(1)設直線yx2a與圓C：x2y22ay20相交于A，B兩點，若AB2，則圓C的面積為_答案4解析圓C：x2y22ay20，即C：x2(ya)2a22，圓心為C(0，a)，半徑r，C到直線yx2a的距離d.又由AB2，得22a22，解得a22，所以圓C的面積為(a22)4.(2)(2018蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：(x1)2y22，點A(2,0)，若圓C上存在點M，滿足MA2MO210，則點M的縱坐標的取值范圍是_答案解析設點M(x，y)，因為MA2MO210，所以(x2)2y2x2y210, 即x2y22x30，因為(x1)2y22，所以y22(x1)2，所以x22(x1)22x30，化簡得x.因為y22(x1)2，所以y2，所以y.熱點三 直線、圓的綜合問題例3如圖所示，已知圓A的圓心在直線y2x上，且該圓存在兩點關于直線xy10對稱，又圓A與直線l1：x2y70相切，過點B(2,0)的動直線l與圓A相交于M，N兩點，Q是MN的中點，直線l與l1相交于點P.(1)求圓A的方程；(2)當MN2時，求直線l的方程；(3)()是否為定值？如果是，求出此定值；如果不是，請說明理由解(1)由圓存在兩點關于直線xy10對稱知圓心A在直線xy10上由得A(1,2)，設圓A的半徑為R，圓A與直線l1：x2y70相切，R2，圓A的方程為(x1)2(y2)220.(2)當直線l與x軸垂直時，易知x2符合題意；當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為yk(x2)，即kxy2k0，連結AQ，則AQMN，MN2，AQ1.由AQ1，得k，直線l的方程為3x4y60，所求直線l的方程為x2或3x4y60.(3)AQBP，0，()22()2；當直線l與x軸垂直時，得P，則，又(1,2)，()210；當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為yk(x2)，由解得P，()2210，綜上所述，()為定值10.思維升華直線、圓的綜合問題包括和圓有關的定點定值問題、范圍問題及探究性問題解決的基本思路有兩種：代數(shù)法和幾何法，解題時要注意充分利用方程、向量及圖形的特征跟蹤演練3(2016江蘇)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2y212x14y600及其上一點A(2,4)(1)設圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x6上，求圓N的標準方程；(2)設平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且BCOA，求直線l的方程；(3)設點T(t,0)滿足：存在圓M上的兩點P和Q，使得，求實數(shù)t的取值范圍解(1)圓M的方程化為標準形式為(x6)2(y7)225，圓心M(6,7)，半徑r5，由題意，設圓N的方程為(x6)2(yb)2b2(b0)且b5.解得b1，圓N的標準方程為(x6)2(y1)21.(2)kOA2，可設l的方程為y2xm，即2xym0.又BCOA2.由題意，圓M的圓心M(6,7)到直線l的距離為d2.即2，解得m5或m15.直線l的方程為2xy50或2xy150.(3)由，則四邊形AQPT為平行四邊形，又P，Q為圓M上的兩點，PQ2r10.TAPQ10，即10，解得22t22.故所求t的取值范圍為22，221(2018江蘇)在平面直角坐標系xOy中，A為直線l：y2x上在第一象限內(nèi)的點，B(5,0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D.若0，則點A的橫坐標為_答案3解析設A(a,2a)，則a0.又B(5,0)，故以AB為直徑的圓的方程為(x5)(xa)y(y2a)0.由題意知C.由解得或D(1,2)又0，(5a，2a)，(5a，2a)a25a0，解得a3或a1.又a0，a3.2圓心在直線y4x上，且與直線xy10相切于點P(3，2)的圓的標準方程為_答案(x1)2(y4)28解析方法一設圓心為(a，4a)，則有r，解得a1，r2，則圓的方程為(x1)2(y4)28.方法二過點P(3，2)且垂直于直線xy10的直線方程為xy50，聯(lián)立方程組解得則圓心坐標為(1，4)，半徑為r 2，故圓的方程為(x1)2(y4)28.3(2018江蘇省南京師大附中模擬)已知直線xyb0與圓x2y29交于不同的兩點A，B.若O是坐標原點，且|，則實數(shù)b的取值范圍是_答案(3，3)解析設AB的中點為D，則2，故|，即22，再由直線與圓的弦長公式可得，AB2(d為圓心到直線的距離)，又直線與圓相交，故d<r，得<3，所以3<b<3，根據(jù)22，24得，23，由點到直線的距離公式可得2，即3，所以b或b，綜上可得，b的取值范圍是(3，3)4已知圓M的圓心M在x軸上，半徑為1，直線l：yx被圓M所截的弦長為，且圓心M在直線l的下方(1)求圓M的方程；(2)設A(0，t)，B(0，t6)(5t2)，若圓M是ABC的內(nèi)切圓，求ABC的面積S的最大值和最小值解(1)設圓心M，由已知得M到l：8x6y30的距離為，又M在l的下方，8a3>0，8a35，a1.故圓M的方程為2y21.(2)由已知可設AC的斜率為k1，BC的斜率為k2，則直線AC的方程為yk1xt，直線BC的方程為yk2xt6.由方程組得C點的橫坐標為x0.ABt6t6，S6，圓M與AC相切，1，k1，同理， k2，k1k2，S6，5t2，2t31，8t26t14，Smax6，Smin6，ABC的面積S的最大值為，最小值為.A組專題通關1直線過點(5,4)且與坐標軸正半軸圍成的三角形面積為5，則此直線方程為_答案2x5y100解析設所求直線在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，則直線方程為1，a>0，b>0.依題意有解得故所求直線方程為2x5y100.2已知圓心在x軸上，半徑為的圓O位于y軸左側，且與直線x2y0相切，則圓O的方程是_答案(x5)2y25解析設圓心為(a,0)(a0)，則r，解得a5.所以圓O的方程是(x5)2y25.3在平面直角坐標系xOy中，直線x2y30被圓(x2)2(y1)24截得的弦長為_答案解析圓心為點(2，1)，半徑r2.圓心到直線的距離d，所以弦長為22 .4已知點P(t,2t)(t0)是圓O：x2y21內(nèi)一點，直線tx2tym與圓O相切，則直線xym0與圓O的位置關系是_答案相交解析由點P(t,2t)(t0)是圓O：x2y21內(nèi)一點，得|t|<1.因為直線 tx2tym圓O相切，所以1，所以|m|<1.又圓O：x2y21的圓心O(0,0)到直線xym0的距離d<1r.所以位置關系為“相交”5過原點O作圓x2y26x8y200的兩條切線，設切點分別為P，Q，則線段PQ的長為_答案4解析圓的標準方程為(x3)2(y4)25，可知圓心為C(3,4)，半徑為.如圖可知，CO5，OP2.設OC與PQ的交點為M，在RtPOC中，OCPMOPPC，PM2.PQ2PM4.6(2018無錫期末)過圓x2y216內(nèi)一點P(2,3)作兩條相互垂直的弦AB和CD，且ABCD，則四邊形ACBD的面積為_答案19解析根據(jù)題意畫圖，連結OP，OA ，過O 作OEAB ，OFCD ，E 為AB 的中點，F(xiàn) 為CD 的中點，又ABCD ，ABCD ，四邊形EPFO 為正方形，由圓的方程得圓心O(0,0)，半徑r4 ，OP223213，OE2 AE2OA2OE216，AE，ABCD，S四邊形ACBDABCD19.7若O1：x2y25與O2：(xm)2y220(mR)相交于A，B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是_答案4解析由題意知O1(0,0)，O2(m,0)，且|m|3，又O1AAO2，m2()2(2)225，m5，AB24.8已知圓C1：(x2)2(y3)21，圓C2：(x3)2(y4)29，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則PMPN的最小值為_答案54解析由條件可知，兩圓的圓心均在第一象限，先求PC1PC2的最小值，作點C1關于x軸的對稱點C1(2，3)，則(PC1PC2)minC1C25.所以(PMPN)min54.9已知圓C過點(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上，直線l：yx1被圓C所截得的弦長為2，則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為_答案xy30解析由題意，設所求的直線方程為xym0，設圓心坐標為(a,0)，則由題意知，22(a1)2，解得a3或1，又因為圓心在x軸的正半軸上，所以a3，故圓心坐標為(3,0)因為圓心(3,0)在所求的直線上，所以30m0，即m3，故所求的直線方程為xy30.10已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x2)2(y3)21交于M，N兩點(1)求k的取值范圍；(2)若12，其中O為坐標原點，求MN.解(1)由題設可知，直線l的方程為ykx1，因為l與C交于兩點，所以<1.解得<k<.所以k的取值范圍為.(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)將ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.x1,2，x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由題設可得812，解得k1，所以l的方程為yx1.故圓心C在l上，所以MN2.B組能力提高11圓心M在曲線y218x上，圓M與y軸相切且與圓C：(x2)2(y3)21外切，則圓M的方程為_答案2(y3)2或(x2)2(y6)24解析設圓M：(xa)2(yb)2r2，b218a，r|a|，a，r，圓心C(2,3)，rc1，又圓M與圓C外切，則MCrrc，即r1，即 1，解得b3或b6.圓M的方程為2(y3)2或(x2)2(y6)24.12已知以O為圓心的圓與直線l：ymx(34m)(mR)恒有公共點，且要求圓O的面積最小，則圓O的方程為_答案x2y225解析因為直線l：ymx(34m)過定點T(4,3)，由題意知，要使圓O的面積最小， 定點T(4,3)在圓上，所以圓O的方程為x2y225.13已知圓O的半徑為1，PA，PB為該圓的兩條切線，A，B為兩切點，那么的最小值為_答案32解析如圖所示，設PAPBx(x0)，APO，則APB2，PO，sin .|cos 2x2(12sin2)，令y，則y，即x4(1y)x2y0.因為x2是實數(shù)，所以(1y)241(y)0，y26y10，解得y32或y32.又因為x20，所以所以y.故()min32.14(2018江蘇省如皋中學月考)已知圓O：x2y24.(1)直線l1：xy20與圓O相交于A，B兩點，求弦AB的長度；(2)如圖，設M， P是圓O上的兩個動點，點M關于原點的對稱點為M1，點M關于x軸的對稱點為M2，如果直線PM1，PM2與y軸分別交于和，問mn是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由解(1)由于圓心到直線l1：xy20的距離d.圓的半徑r2，所以AB22.(2)由于M(x1，y1)，點M關于原點的對稱點為M1，點M關于x軸的對稱點為M2，可得M1，M2，由M(x1，y1)，P(x2，y2)是圓O上的兩個動點，可得xy4, xy4.直線PM1的方程為，令x0，求得ym.直線PM2的方程為，令x0，求得yn.mn 4.故mn為定值