陜西省石泉縣高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 1.4 數(shù)學(xué)歸納法（1）教案 北師大版選修2-2.doc

4 數(shù)學(xué)歸納法(1)課標(biāo)要求使學(xué)生了解歸納法,理解數(shù)學(xué)歸納的原理與實(shí)質(zhì)三維目標(biāo)（1）知識(shí)與技能：理解“歸納法”和“數(shù)學(xué)歸納法”的含意和本質(zhì)；掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟一個(gè)結(jié)論；會(huì)用“數(shù)學(xué)歸納法”證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。（2）過程與方法：初步掌握歸納與推理的方法；培養(yǎng)大膽猜想，小心求證的辯證思維素質(zhì)。（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)內(nèi)在美的感悟能力。學(xué)情分析數(shù)學(xué)歸納法是一種特殊的直接證明的方法，在證明一些與正整數(shù)n（n取無限多個(gè)值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題時(shí)，數(shù)學(xué)歸納法往往是非常有用的研究工具，它通過有限個(gè)步驟的推理，證明n取無限多個(gè)正整數(shù)的情形。教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】：借助具體實(shí)例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟(特別要注意遞推步驟中歸納假設(shè)的運(yùn)用和恒等變換的運(yùn)用)，運(yùn)用它證明一些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】： 如何理解數(shù)學(xué)歸納法證題的有效性；遞推步驟中如何利用歸納假設(shè)。提煉的課題如何理解數(shù)學(xué)歸納法證題的有效性教學(xué)手段運(yùn)用教學(xué)資源選擇多媒體輔助課堂教學(xué)教 學(xué) 過 程環(huán)節(jié)學(xué)生要解決的問題或任務(wù)教師教與學(xué)生學(xué)設(shè)計(jì)意圖一、提出問題二、數(shù)學(xué)歸納法原理問題1：考察部分對(duì)象，得到一般結(jié)論的方法，叫做不完全歸納法。不完全歸納法得到的結(jié)論不一定正確。舉2個(gè)小例子說明不完全歸納法不一定正確。例如：小明的爸爸有3個(gè)兒子，老大說：“我叫1毛”，老二說：“我叫2毛”，老三說？問題2：請(qǐng)大家回憶，課本是如何得出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的？問題4：很多時(shí)候用完全歸納法證明結(jié)論是否正確是不合適的，我們借助不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)或猜想結(jié)論，那么如何解決不完全歸納法存在的問題呢？ （只有經(jīng)過嚴(yán)格的證明，不完全歸納得出的結(jié)論才是正確的。）1 由多米諾骨牌引入數(shù)學(xué)歸納法提出兩個(gè)問題：若第一塊不倒，出現(xiàn)什么情況？若中間某塊倒下，不能使其下一塊倒下，出現(xiàn)什么情況？所以多米諾骨牌游戲能進(jìn)行下去要滿足兩個(gè)條件。 （1）第一塊骨牌倒下； （2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。2參照多米諾骨牌的原理，我們?cè)O(shè)想：在證明某些與正整數(shù)有關(guān)問題時(shí)，先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0 (例如n0 =1或2)時(shí)，命題成立（即骨牌的第一塊能倒），然后假設(shè)只要由n=k ( kN* ，k n0 )時(shí)命題成立，就能推出n=k+1時(shí)命題也成立（即只要某一塊倒下，就能使其下一塊也倒下），那么就證明這個(gè)命題成立（所有骨牌都能倒下）。我們稱這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。（嚴(yán)謹(jǐn)，一而二，二而三，以至無窮）數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍、原理問題3：對(duì)于數(shù)列an，已知（n=1,2,），求出，我們猜想其通項(xiàng)公式為。這個(gè)結(jié)論正確嗎？生：討論、交流。給出問題3的數(shù)學(xué)歸納法的證明，將每一步驟標(biāo)號(hào)。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出數(shù)學(xué)歸納法的證題思路和步驟。數(shù)列an中，已知（n=1,2,），則猜想其通項(xiàng)公式為。證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，猜想式成立（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，即， 那么當(dāng)n=k+1時(shí)，根據(jù)已知及假設(shè)，所以即當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立。由（1）（2）可以斷定，等式對(duì)一切nN*都成立強(qiáng)調(diào):要用到歸納假設(shè)；列出證明n=k+1成立時(shí)的目標(biāo)明確數(shù)學(xué)歸納法的“起動(dòng)步驟”和“遞推步驟”這“兩個(gè)步驟”以及“一個(gè)結(jié)論”。用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的具體步驟是：(1)（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一值n0 (例如n0=1，n0=2等)時(shí)命題成立；(2)（歸納遞推）假設(shè)n=k(kN* 且kn0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。在完成了這兩個(gè)步驟以后，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有的自然數(shù)n都正確。通過實(shí)際例子了解不完全歸納法與完全歸納法的概念復(fù)習(xí)回顧提出問題，引發(fā)思考通過此例引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟。詳細(xì)的板書推導(dǎo)利于學(xué)生總結(jié)歸納出數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟及更進(jìn)一步地理解原理培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力培養(yǎng)閱讀習(xí)慣強(qiáng)調(diào)：（1）上面的證明第一步是遞推基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，兩者缺一不可。（2）第一步要證明，n=k+1時(shí)也要證明，且過程中一定要用到假設(shè)。閱讀課本：P16