（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題9 平面解析幾何 第76練 高考大題突破練—直線與圓錐曲線的位置關(guān)系練習(xí)（含解析）.docx

第76練 高考大題突破練—直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 [基礎(chǔ)保分練] 1.(2019金華十校聯(lián)考)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的焦距為2，且過(guò)點(diǎn)Q. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為直線l：x＝2上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l′與橢圓相切于點(diǎn)A，若△POA的面積S為，求直線l′的方程. 2.已知拋物線C：y2＝2px(p>0)過(guò)點(diǎn)A(1，－2). (1)求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程； (2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 3.(2019溫州模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)焦點(diǎn)F的直線交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，y1y2＝－4. (1)求拋物線方程； (2)點(diǎn)B在準(zhǔn)線l上的投影為E，D是C上一點(diǎn)，且AD⊥EF，求△ABD面積的最小值及此時(shí)直線AD的方程. [能力提升練] 4.已知拋物線C1：x2＝4y的焦點(diǎn)F也是橢圓C2：＋＝1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，C1與C2的公共弦的長(zhǎng)為2.過(guò)點(diǎn)F的直線l與C1相交于A，B兩點(diǎn)，與C2相交于C，D兩點(diǎn)，且與同向. (1)求C2的方程； (2)若|AC|＝|BD|，求直線l的斜率. 答案精析 基礎(chǔ)保分練 1．解　(1)由題意得2c＝2，∴c＝1. ∵橢圓C過(guò)點(diǎn)Q， ∴＋＝1. ∵c2＝a2－b2，解得a2＝2，b2＝1. ∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. (2)設(shè)A(x0，y0)，當(dāng)x0＝0時(shí)，y0＝1，S△POA≠， 當(dāng)x0≠0時(shí)，切線l′的方程為＋yy0＝1， 即y＝－x，則直線l′與x軸交于點(diǎn)B，∵P， ∴S△POA＝＝， 即＝， ∴＝， 即 或 解得x0＝1，y0＝－或x0＝1，y0＝(x0＝0，y0＝1不合題意舍)， ∴直線l′的方程為x＋y－2＝0或x－y－2＝0. 2．解　(1)將(1，－2)代入y2＝2px， 得(－2)2＝2p1，所以p＝2. 故所求的拋物線C的方程為y2＝4x，其準(zhǔn)線方程為x＝－1. (2)假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為y＝－2x＋t. 由得y2＋2y－2t＝0. 因?yàn)橹本€l與拋物線C有公共點(diǎn)， 所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－. 又由直線OA與l的距離d＝， 可得＝，解得t＝1. 因?yàn)椋??， 1∈， 所以符合題意的直線l存在， 其方程為2x＋y－1＝0. 3．解　(1)依題意F， 當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，|y1|＝|y2|＝2，|AB|＝2p＝4，解得p＝2； 當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB： y＝k，由 化簡(jiǎn)得y2－y－p2＝0， 由y1y2＝－4得p2＝4，解得p＝2(舍負(fù))，所以拋物線方程為y2＝4x. (2)設(shè)D(x0，y0)，B， 則E(－1，t)，由y1y2＝－4， 可得A， 因?yàn)閗EF＝－，AD⊥EF， 所以kAD＝， 故直線AD：y＋＝， 即2x－ty－4－＝0. 由 化簡(jiǎn)得y2－2ty－8－＝0， 所以y1＋y0＝2t，y1y0＝－8－. 所以|AD|＝|y1－y0| ＝ ＝， 設(shè)點(diǎn)B到直線AD的距離為d， 則d＝＝， 所以S△ABD＝|AD|d ＝≥16， 當(dāng)且僅當(dāng)t4＝16，即t＝2時(shí)，等號(hào)成立，所以△ABD面積的最小值為16. 當(dāng)t＝2時(shí)，直線AD的方程為x－y－3＝0； 當(dāng)t＝－2時(shí)，直線AD的方程為x＋y－3＝0. 能力提升練 4．解　(1)由C1：x2＝4y知，其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,1)． 因?yàn)镕也是橢圓C2的一個(gè)焦點(diǎn)， 所以a2－b2＝1.① 又C1與C2的公共弦的長(zhǎng)為2，C1與C2都關(guān)于y軸對(duì)稱，且C1的方程為x2＝4y， 由此易知C1與C2的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以＋＝1.② 聯(lián)立①②，得a2＝9，b2＝8. 故C2的方程為＋＝1. (2)如圖，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)． 因?yàn)榕c同向，且|AC|＝|BD|，所以＝，從而x3－x1＝x4－x2， 即x1－x2＝x3－x4， 于是(x1＋x2)2－4x1x2 ＝(x3＋x4)2－4x3x4.③ 設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為y＝kx＋1. 由 得x2－4kx－4＝0. 而x1，x2是這個(gè)方程的兩根， 所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④ 由 得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0. 而x3，x4是這個(gè)方程的兩根， 所以x3＋x4＝－，x3x4＝－.⑤ 將④⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋， 即16(k2＋1)＝， 所以(9＋8k2)2＝169，解得k＝， 即直線l的斜率為.