（全國通用版）2018-2019高中數學 第一章 常用邏輯用語 1.4.1 全稱量詞 1.4.2 存在量詞學案 新人教A版選修2-1.doc

1.4.1 全稱量詞 1.4.2 存在量詞學習目標1.理解全稱量詞與存在量詞的含義.2.理解并掌握全稱命題和特稱命題的概念.3.能判定全稱命題與特稱命題的真假，并掌握其判定方法知識點一全稱量詞、全稱命題思考觀察下面的兩個語句，思考下列問題：P：m5；Q：對所有的mR，m5.上面的兩個語句是命題嗎？二者之間有什么關系？答案語句P無法判斷真假，不是命題；語句Q在語句P的基礎上增加了“所有的”，可以判斷真假，是命題語句P是命題Q中的一部分梳理(1)全稱量詞及全稱命題的概念短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題(2)表示將含有變量x的語句用p(x)，q(x)，r(x)，表示，變量x的取值范圍用M表示那么，全稱命題“對M中任意一個x，有p(x)成立”可用符號簡記為xM，p(x)，讀作“對任意x屬于M，有p(x)成立”(3)全稱命題的真假判定要判定全稱命題是真命題，需要對集合M中每個元素x，證明p(x)成立，但要判定全稱命題是假命題，只需舉出一個x0M，使得p(x0)不成立即可知識點二存在量詞、特稱命題思考找出下列命題的共同特征，并判斷其真假(1)存在x0R，x0；(2)有些三棱錐是正四面體答案所給命題都是真命題，它們都表示“存在”的意思梳理(1)存在量詞及特稱命題的要命短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示含有存在量詞的命題，叫做特稱命題(2)表示特稱命題“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符號簡記為x0M，p(x0)，讀作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”(3)特稱命題的真假判定要判定一個特稱命題是真命題，只需在集合M中找到一個元素x0，使p(x0)成立即可，否則這一特稱命題就是假命題(1)“有些”“某個”“有的”等短語不是存在量詞()(2)全稱量詞的含義是“任意性”，存在量詞的含義是“存在性”()(3)全稱命題中一定含有全稱量詞，特稱命題中一定含有存在量詞()類型一判斷命題的類型例1將下列命題用“”或“”表示(1)實數的平方是非負數；(2)方程ax22x10(a1)至少存在一個負根；(3)若直線l垂直于平面內任一直線，則l.考點量詞與命題題點全稱(特稱)命題的符號表示解(1)xR，x20.(2)x00，ax2x010(a1)(3)若a，la，則l.反思與感悟判斷一個命題是全稱命題還是特稱命題的關鍵是看量詞由于某些全稱命題的量詞可能省略，所以要根據命題表達的意義判斷，同時要會用相應的量詞符號正確表達命題跟蹤訓練1判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題(1)梯形的對角線相等；(2)存在一個四邊形有外接圓；(3)二次函數都存在零點；(4)過兩條平行線有且只有一個平面考點量詞與命題題點全稱(存在)量詞的識別解命題(1)完整的表述應為“所有梯形的對角線相等”，很顯然為全稱命題命題(2)為特稱命題命題(3)完整的表述為“所有的二次函數都存在零點”，故為全稱命題命題(4)是命題“過任意兩條平行線有且只有一個平面”的簡寫，故為全稱命題類型二判斷命題的真假例2判斷下列命題的真假(1)xR，x2x1；(2)，cos()cos cos ；(3)存在一個函數既是偶函數又是奇函數；(4)每一條線段的長度都能用正有理數表示；(5)存在一個實數x0，使等式xx080成立考點特稱(全稱)命題的真假性判斷題點特稱(全稱)命題真假的判斷解(1)真命題，x2x1x2x20，x2x1恒成立(2)真命題，例如，符合題意(3)真命題，函數f(x)0既是偶函數又是奇函數(4)假命題，如：邊長為1的正方形的對角線長為，它的長度就不是有理數(5)假命題，因為該方程的判別式310，故無實數解反思與感悟要判定全稱命題“xM，p(x)”是真命題，需要對集合M中每個元素x，證明p(x)都成立；如果在集合M中找到一個元素x0，使得p(x0)不成立，那么這個全稱命題就是假命題要判定特稱命題“x0M，p(x0)”是真命題，只需在集合M中找到一個元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么這個特稱命題就是假命題跟蹤訓練2判斷下列命題的真假(1)有一些奇函數的圖象過原點；(2)x0R,2xx01<0；(3)xR，sin xcos x.考點特稱(全稱)命題的真假性判斷題點特稱(全稱)命題真假的判斷解(1)該命題中含有“有一些”，是特稱命題如yx是奇函數，其圖象過原點，故該命題是真命題(2)該命題是特稱命題2xx0122>0，不存在x0R，使2xx01<0.故該命題是假命題(3)該命題是全稱命題sin xcos xsin恒成立，對任意實數x，sin xcos x都成立，故該命題是真命題類型三利用全稱命題和特稱命題求參數的值或取值范圍例3已知下列命題p(x)為真命題，求x的取值范圍(1)命題p(x)：x1>x；(2)命題p(x)：x25x6>0；(3)命題p(x)：sin x>cos x.考點全稱命題的真假性判斷題點恒成立求參數的取值范圍解(1)x1>x，1>0(此式恒成立)，xR.(2)x25x6>0，(x2)(x3)>0，x>3或x<2.(3)sin x>cos x，2k<x<2k(kZ)反思與感悟已知含量詞的命題真假求參數的取值范圍，實質上是對命題意義的考查解決此類問題，一定要辨清參數，恰當選取主元，合理確定解題思路解決此類問題的關鍵是根據含量詞命題的真假轉化為相關數學知識，利用函數、方程、不等式等知識求解參數的取值范圍，解題過程中要注意變量取值范圍的限制跟蹤訓練3已知命題p：“x0R，sin x0m”，命題q：“xR，x2mx10恒成立”，若p，q均為真命題，求實數m的取值范圍考點簡單邏輯聯結詞的綜合應用題點由含量詞的復合命題的真假求參數的取值范圍解因為“x0R，sin x0m”是真命題，所以m1.又因為“xR，x2mx10恒成立”是真命題，所以m240，解得2m2.又p，q均為真命題，所以實數m的取值范圍是(1,2).1下列命題中，是正確的全稱命題的是()A對任意的a，bR，都有a2b22a2b20B菱形的兩條對角線相等Cx0，x0D對數函數在定義域上是單調函數考點全稱量詞與全稱命題題點全稱命題的識別答案D2下列命題中，既是真命題又是特稱命題的是()A存在一個，使tan(90)tan B存在實數x0，使sin x0C對一切，sin(180)sin D對任意，sin()sin cos cos sin 考點特稱命題的真假性判斷題點特稱命題真假的判斷答案A3命題“有些負數滿足不等式(1x)(19x)0”用“”或“”可表述為_考點存在量詞與特稱命題題點特稱命題的符號表示答案x00，(1x0)(19x0)04用量詞符號“”“”表述下列命題，并判斷真假(1)所有實數x都能使x2x10成立；(2)對所有實數a，b，方程axb0恰有一個解；(3)一定有整數x，y，使得3x2y10成立；(4)所有的有理數x都能使x2x1是有理數考點量詞與命題題點全稱(特稱)命題的符號表示解(1)xR，x2x10；真命題(2)a，bR，axb0恰有一解；假命題(3)x0，y0Z,3x02y010；真命題(4)xQ，x2x1是有理數；真命題利用含量詞的命題的真假求參數取值范圍的技巧(1)轉化為恒成立問題：含參數的全稱命題為真時，常轉化為不等式的恒成立問題來處理，最終通過構造函數轉化為求函數的最值問題(2)轉化為方程或不等式有解問題：含參數的特稱命題為真時，常轉化為方程或不等式有解問題來處理，最終借助根的判別式或函數等相關知識獲得解決一、選擇題1下列說法正確的個數是()命題“所有的四邊形都是矩形”是特稱命題；命題“xR，x220”是全稱命題；命題“x0R，x4x040”是特稱命題A0 B1 C2 D3考點量詞與命題題點特稱(全稱)命題的識別答案C解析只有正確2以下四個命題既是特稱命題又是真命題的是()A銳角三角形的內角是銳角或鈍角B至少有一個實數x，使x20C兩個無理數的和必是無理數D存在一個負數x，使2考點存在量詞與特稱命題題點特稱命題的真假判斷答案B3已知命題“x0R，使2x(a1)x00”是假命題，則實數a的取值范圍是()A(，1) B(1,3)C(3，) D(3,1)考點特稱命題的真假性判斷題點由特稱命題真假性求參數的取值范圍答案B解析原命題的否定為xR,2x2(a1)x>0，由題意知，原命題的否定為真命題，則(a1)242<0，則2<a1<2，則1<a<3.故選B.4已知命題“x0R，xax04a<0”為假命題，則實數a的取值范圍為()A16,0 B(16,0) C4,0 D(4,0)考點特稱命題的真假性判斷題點由特稱命題真假性求參數的取值范圍答案A解析由題意可知“xR，x2ax4a0”為真命題，a216a0，解得16a0，故選A.5下面命題是真命題的是()AxR，x3xBx0R，x12x0Cxy0，xy2Dx0，y0R，sin(x0y0)sin x0sin y0考點量詞與命題題點全稱(特稱)命題的真假性判斷答案D6若“x，cos xm”是真命題，則實數m的最小值為()A B C. D.考點全稱命題的真假性判斷題點恒成立求參數的取值范圍答案C7下列全稱命題中真命題的個數為()負數沒有對數；對任意的實數a，b，都有a2b22ab；二次函數f(x)x2ax1與x軸恒有交點；xR，yR，都有x2|y|>0.A1 B2 C3 D4考點全稱量詞與全稱命題題點全稱命題的真假性判斷答案C解析為真命題；當xy0時，x2|y|0，為假命題二、填空題8若“x，tan xm”是真命題，則實數m的最小值為_考點全稱命題的真假性判斷題點恒成立求參數的取值范圍答案1解析x，tan x1，m1，故實數m的最小值為1.9已知命題p：c0，y(3c)x在R上為減函數，命題q：xR，x22c30.若p，q均為真命題，則實數c的取值范圍為_考點全稱命題的真假性判斷題點恒成立求參數的取值范圍答案(2,3)解析由于pq為真命題，所以p，q都是真命題，所以解得2c3.故實數c的取值范圍為(2,3)10若命題“x0R，axax010”為假命題，則實數a的取值范圍為_考點特稱命題的真假性判斷題點由特稱命題真假性求參數的取值范圍答案0,4)解析由題意知，xR，ax2ax10恒成立，當a0時，10恒成立，滿足條件；當a0時，若ax2ax10恒成立，則解得0a4.綜上所述a0,4)11有下列四個命題：p1：x0(0，)， ；p2：x0(0,1)，；p3：x(0，)，；p4：x，其中為真命題的是_考點量詞與命題題點全稱(特稱)命題的真假性判斷答案p2，p4解析因為冪函數yx(0)在(0，)上是增函數，所以命題p1是假命題；因為對數函數ylogax(0a1)是減函數，所以當x(0,1)時，0logxlogx，所以0，即，所以命題p2是真命題；因為函數y在(0，)上單調遞減，所以有0y1，當x(0,1時，y0，當x(1，)時，y0，所以命題p3是假命題；因為函數y在上單調遞減，所以有0y1，而函數y在上的函數值y1，所以命題p4是真命題三、解答題12判斷下列命題是否為全稱命題或特稱命題，若是，用符號表示，并判斷其真假(1)存在一條直線，其斜率不存在；(2)對所有的實數a，b，方程axb0都有唯一解；(3)存在實數x0，使得2.考點全稱(特稱)命題的真假性判斷題點全稱(特稱)命題的真假性判斷解(1)是特稱命題，用符號表示為“直線l，l的斜率不存在”，是真命題(2)是全稱命題，用符號表示為“a，bR，方程axb0都有唯一解”，是假命題(3)是特稱命題，用符號表示為“x0R，2”，是假命題13已知命題p：“x1,2，x2a0”，命題q：“x0R，x2ax02a0”，若命題p，q均為真命題，求實數a的取值范圍考點命題的真假性判斷題點由命題真假求參數的取值范圍解若p為真命題，則ax2對于x1,2恒成立，所以a1.若q為真命題，則關于x的方程x22ax2a0有實根，所以4a24(2a)0，即a1或a2.又p，q均為真命題，所以實數a的取值范圍為a2或a1.四、探究與拓展14下列四個命題：沒有一個無理數不是實數；空集是任何一個非空集合的真子集；11<2；至少存在一個整數x，使得x2x1是整數其中是真命題的為()A B C D考點量詞與命題題點特稱(全稱)命題的真假性判斷答案C解析所有無理數都是實數，為真命題；顯然為真命題；顯然不成立，為假命題；取x1，能使x2x11是整數，為真命題15已知f(x)log2t，t，8，若命題“對于函數f(t)值域內的所有實數m，不等式x2mx42m4x恒成立”為真命題，求實數x的取值范圍考點全稱命題的真假性判斷題點恒成立求參數的取值范圍解易知f(t).由題意知，令g(m)(x2)mx24x4(x2)m(x2)2，則g(m)0對任意m恒成立，所以即解得x2或x1.故實數x的取值范圍是(，1)(2，).