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高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測 新人教A版選修12

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高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測 新人教A版選修12

第二章 推理與證明時間120分鐘,滿分150分。一、選擇題(本大題共12個小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1命題“所有有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù),整數(shù)是有理數(shù),所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題,推理錯誤的原因是(C)A使用了歸納推理B使用了類比推理C使用了“三段論”,但大前提錯誤D使用了“三段論”,但小前提錯誤解析大前提是錯誤的,故選C2已知a<b<0,下列不等式中成立的是(C)Aa2<b2B<1Ca<4bD<解析令a2,b1,滿足a<b<0,則a2>b2,2>1,>,故A、B、D都不成立,排除A、B、D,選C3用火柴棒擺“金魚”,如圖所示:按照上面的規(guī)律,第n個“金魚”圖形需要火柴棒的根數(shù)為(C)A6n2B8n2C6n2D8n2解析歸納“金魚”圖形的構(gòu)成規(guī)律知,后面“金魚”都比它前面的“金魚”多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚頭部分,故各“金魚”圖形所用火柴棒的根數(shù)構(gòu)成一首項為8,公差是6的等差數(shù)列,通項公式為an6n2.4已知數(shù)列an的前n項和Snn2an(n2),而a11,通過計算a2、a3、a4,猜想an(B)ABCD解析a2S2S122a21,a2,a3S3S232a322a29a34,a3.a4S4S342a432a316a49,a4.由此猜想an.5分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明“設(shè)a>b>c,且abc0,求證<”,索的因應(yīng)是(C)Aab>0Bac<0C(ab)(ac)>0D(ab)(ac)<0解析<a,即證b2ac<3a2.abc0,b(ac)只需證(ac)2ac<3a2,即證2a2c2ac>0,即證a2c2a2ac>0,即證(ac)(ac)a(ac)>0,即證(ac)(ac)a>0.又b(ac),即證(ac)(ab)>0.故選C6已知圓x2y2r2(r>0)的面積為Sr2,由此類比橢圓1(a>b>0)的面積最有可能是(C)Aa2Bb2CabD(ab)2解析圓的方程可以看作是橢圓方程1(a>b>0)中,ab時的情形,S圓r2,類比出橢圓的面積為Sab.7(2017全國文,9)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績老師說:你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績,給乙看丙的成績,給丁看甲的成績看后甲對大家說:我還是不知道我的成績根據(jù)以上信息,則(D)A乙可以知道四人的成績B丁可以知道四人的成績C乙、丁可以知道對方的成績D乙、丁可以知道自己的成績解析由甲說:“我還是不知道我的成績”可推知甲看到乙、丙的成績?yōu)椤?個優(yōu)秀,1個良好”乙看丙的成績,結(jié)合甲的說法,丙為“優(yōu)秀”時,乙為“良好”;丙為“良好”時,乙為“優(yōu)秀”,可得乙可以知道自己的成績丁看甲的成績,結(jié)合甲的說法,甲為“優(yōu)秀”時,丁為“良好”;甲為“良好”時,丁為“優(yōu)秀”,可得丁可以知道自己的成績故選D8已知f1(x)cos x,f2(x)f1(x),f3(x)f2(x),f4(x)f3(x),fn(x)fn1(x),則f2016(x)等于(A)Asin xBsin xCcos xDcos x解析由已知,有f1(x)cos x,f2(x)sin x,f3(x)cos x,f4(x)sin x,f5(x)cos x,可以歸納出:f4n(x)sin x,f4n1(x)cos x,f4n2(x)sin x,f4n3(x)cos x(nN*)所以f2016(x)f4(x)sin x.9已知各項均不為零的數(shù)列an,定義向量cn(an,an1),bn(n,n1),nN*.下列命題中真命題是(A)A若nN*總有cnbn成立,則數(shù)列an是等差數(shù)列B若nN*總有cnbn成立,則數(shù)列an是等比數(shù)列C若nN*總有cnbn成立,則數(shù)列an是等差數(shù)列D若nN*總有cnbn成立,則數(shù)列an是等比數(shù)列解析對nN*總有cnbn,則存在實數(shù)0,使cnbn,ann,an是等差數(shù)列10下列函數(shù)f(x)中,滿足“對任意x1、x2(0,),當(dāng)x1<x2時,都有f(x1)>f(x2)”的是(A)Af(x)Bf(x)(x1)2Cf(x)exDf(x)ln(x1)解析若滿足題目中的條件,則f(x)在(0,)上為減函數(shù),在A、B、C、D四選項中,由基本函數(shù)性質(zhì)知,A是減函數(shù),故選A11已知函數(shù)f(x)lg,若f(a)b,則f(a)等于(B)AbBbCD解析f(x)定義域為(1,1),f(a)lglg()1lgf(a)b.12已知f(x)x3x,a、b、cR,且ab>0,ac>0,bc>0,則f(a)f(b)f(c)的值(A)A一定大于零B一定等于零C一定小于零D正負(fù)都有可能解析f(x)x3x是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù),由ab>0得a>b,所以f(a)>f(b),即f(a)f(b)>0,同理f(a)f(c)>0,f(b)f(c)>0,所以f(a)f(b)f(c)>0.二、填空題(本大題共4個小題,每小題5分,共20分,將正確答案填在題中橫線上)13“因為AC、BD是菱形ABCD的對角線,所以AC、BD互相垂直且平分”以上推理的大前提是_菱形對角線互相垂直且平分_.14設(shè)函數(shù)f(x)(x>0),觀察:f1(x)f(x),f2(x)f(f1(x),f3(x)f(f2(x),f4(x)f(f3(x),根據(jù)以上事實,由歸納推理可得:當(dāng)nN*且n2時,fn(x)f(fn1(x).解析由已知可歸納如下:f1(x),f2(x),f3(x),f4(x),fn(x).15由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運算法則:“mnnm”類比得到“abba”;“(mn)tmtnt”類比得到“(ab)cacbc”;“t0,mtntmn”類比得到“c0,acbcab”;“|mn|m|n|”類比得到“|ab|a|b|”;“(mn)tm(nt)”類比得到“(ab)ca(bc)”;“”類比得到“”以上類比得到的結(jié)論正確的是_.解析都正確;錯誤,因為向量不能相除;可由數(shù)量積定義判斷,所以錯誤;向量中結(jié)合律不成立,所以錯誤16觀察下列等式:11131123 132391236 13233336123410 132333431001234515 1323334353225 可以推測:132333n3.(nN*,用含有n的代數(shù)式表示)解析由條件可知:1312,1323932(12)2,1323333662(123)2,不難得出132333n3(123n)22.三、解答題(本大題共6個小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(本題滿分10分)已知a、b、cR,求證:.解析分析法:要證,只需證:()2,只需證:3(a2b2c2)a2b2c22ab2bc2ca,只需證:2(a2b2c2)2ab2bc2ca,只需證:(ab)2(bc)2(ca)20,而這是顯然成立的,所以成立綜合法:a、b、cR,(ab)2(bc)2(ca)20,2(a2b2c2)2(abbcac),3(a2b2c2)a2b2c22ab2bc2ac,3(a2b2c2)(abc)2,.18(本題滿分12分)(1)類比“等差數(shù)列”給出“等和數(shù)列”的定義;(2)探索等和數(shù)列an的奇數(shù)項與偶數(shù)項各有什么特點,并加以說明解析(1)如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的和等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等和數(shù)列(2)由(1)知anan1an1an2,an2an.等和數(shù)列的奇數(shù)項相等,偶數(shù)項也相等19(本題滿分12分)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個式子的值都等于同一個常數(shù).(1)sin2 13cos2 17sin 13cos 17.(2)sin2 15cos2 15sin 15cos 15.(3)sin2 18cos2 12sin 18cos 12.(4)sin2 (18)cos2 48sin (18)cos 48.(5)sin2 (25)cos2 55sin (25)cos 55.試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數(shù);根據(jù)的計算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論解析選擇(2)式計算如下sin2 15cos2 15sin 15cos 151sin2 30.三角恒等式為sin2 cos2 (30)sin cos (30).證明如下:sin2 cos2 (30)sin cos (30)sin2 (cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2 cos2 sin cos sin2 sin cos sin2 sin2 cos2 .20(本題滿分12分)已知ABC的三個內(nèi)角A、B、C為等差數(shù)列,且a,b,c分別為角A、B、C的對邊.求證:(ab)1(bc)13(abc)1.分析利用分析法得出c2a2b2ac,再利用綜合法證明其成立解析要證(ab)1(bc)13(abc)1,即證,只需證3.化簡,得1,即c(bc)(ab)a(ab)(bc),所以只需證c2a2b2ac.因為ABC的三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,所以B60,所以cosB,即a2c2b2ac成立(ab)1(bc)13(abc)1成立21(本題滿分12分)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,a11,S393.(1)求數(shù)列an的通項an與前n項和Sn;(2)設(shè)bn(nN),求證:數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列解析(1)設(shè)等差數(shù)列公差為d,則3a1d93,解得d2,an1(n1)22n1,Snnn(n)(2)bnn.用反證法證明設(shè)bn,bm,bk成等比數(shù)列(m、n、k互不相等),則bnbkb,即(n)(k)(m)2,整理得:nkm2(2mnk),左邊為有理數(shù),右邊是無理數(shù),矛盾,故任何不同三項都不可能成等比數(shù)列22(本題滿分12分)(2017哈六中期中)已知函數(shù)f(x)(x2)exx2x2.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)證明:當(dāng)x1時,f(x)>x3x.解析(1)f (x)(x1)(ex1),當(dāng)x0或x1時,f (x)0,當(dāng)0x1時,f (x)0,f(x)在(,0),(1,)上單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減,當(dāng)x0時,f(x)有極大值f(0)0,當(dāng)x1時,f(x)有極小值f(1)e.(2)設(shè)g(x)f(x)x3x,則g(x)(x1)(ex),令u(x)ex,則u(x)ex,當(dāng)x1時,u(x)ex>0,u(x)在1,)上單調(diào)遞增,u(x)u(1)e2>0,所以g(x)(x1)(ex)0,g(x)f(x)x3x在1,)上單調(diào)遞增g(x)f(x)x3xg(1)e>0,所以f(x)>x3x.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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