高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式單元整合素材 新人教A版選修45

第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式單元整合知識網(wǎng)絡(luò)專題探究專題一正確使用數(shù)學(xué)歸納法同學(xué)們在剛開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法時，常常會遇到兩個困難，一是數(shù)學(xué)歸納法的思想實質(zhì)不容易理解，二是歸納步驟的證明有時感到難以入手本專題將對兩種常見的錯誤進(jìn)行討論、整理，以幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，弄清它的實質(zhì)，從而明確如何正確地使用數(shù)學(xué)歸納法(1)缺少數(shù)學(xué)歸納法的第二步有人覺得如果一個命題對于開頭的一些自然數(shù)都成立，那么由P(k)成立導(dǎo)出P(k1)成立是必然的，因此第二步歸納步驟是流于形式，證與不證似乎一樣，顯然這是不正確的產(chǎn)生這種錯誤想法的原因在于沒有認(rèn)識到歸納步驟所起的遞推作用，如果沒有遞推性，那么一個命題可能對于開頭的許多自然數(shù)都成立，但是一般的并不成立，我們舉幾個例子來看看十七世紀(jì)法國卓越的數(shù)學(xué)家費爾瑪考查了形如的數(shù)，n0,1,2,3,4時，它的值分別為3,5,17,257,65 537.這5個數(shù)都是質(zhì)數(shù)因此費爾瑪就猜想：對于任意的自然數(shù)n，式子22n1的值都是質(zhì)數(shù)但是在十八世紀(jì)另一位卓越的數(shù)學(xué)家歐拉指出n5時，4 294 967 2976416 700 417.是個合數(shù)，費爾瑪?shù)牟孪脲e了這就充分說明我們不能把不完全歸納法當(dāng)成證明，用數(shù)學(xué)歸納法證明時第二步不可缺少(2)缺少數(shù)學(xué)歸納法的第一步也有人覺得既然第二步歸納步驟中有遞推作用，而且k又可以任意取值，這樣就夠了，有沒有第一步P(1)無關(guān)緊要這種認(rèn)識也是錯誤的，它忽視了第一步的奠基作用，因為如果沒有P(1)成立，歸納假設(shè)P(k)成立就沒有了依據(jù)，因此遞推性也就成了無源之水，無本之木，下面我們看一個這樣的例子【例】如果不要奠基步驟，我們就可以證明(n1)2(n2)2一定是偶數(shù)(nN)剖析：假設(shè)nk時命題成立，即(k1)2(k2)2是偶數(shù)當(dāng)nk1時，(k1)12(k1)22(k2)2(k1)24(k1)4(k1)2(k2)24(k2)由假設(shè)(k1)2(k2)2是偶數(shù)，又4(k2)也是偶數(shù)，所以上式是偶數(shù)，這就是說nk1時命題也成立由此，對于任意的正整數(shù)n，(n1)2(n2)2一定是偶數(shù)這個結(jié)論顯然是錯誤的，原因就在于證明中缺少第一步奠基步驟，實際上，n1時，(11)2(12)24913不是偶數(shù)，這說明使用數(shù)學(xué)歸納法時缺第一步不可用數(shù)學(xué)歸納法證明，對于nN，.證明：(1)當(dāng)n1時，左邊，右邊，所以等式成立(2)假設(shè)nk時等式成立，即，當(dāng)nk1時，.由(1)(2)可知，對于任意的nN，所證等式都成立專題二數(shù)學(xué)歸納法證題的幾種技巧在使用數(shù)學(xué)歸納法證明時，一般說來，第一步驗證比較簡明，而第二步歸納步驟情況較復(fù)雜因此，熟悉歸納步驟的證明方法是十分重要的，其實歸納步驟可以看作是一個獨立的證明問題，歸納假設(shè)“P(k)”是問題的條件，而命題P(k1)成立就是所要證明的結(jié)論，因此，合理運用歸納假設(shè)這一條件就成了歸納步驟中的關(guān)鍵，下面簡要分析一些常用技巧1分析綜合法用數(shù)學(xué)歸納法假設(shè)證明關(guān)于正整數(shù)n的不等式，從“P(k)”到“P(k1)”，常?？捎梅治鼍C合法求證：對任意正整數(shù)n，有132333n3(12n)2成立提示：這是一個等式證明問題，它涉及全體正整數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式，關(guān)鍵是第二步要用上假設(shè)，證明nk1時，原等式成立證明：(1)當(dāng)n1時，左邊1，右邊1，左邊右邊，所以原等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，k1)時，等式成立，即1323k3(12k)2.當(dāng)nk1時，1323k3(k1)3(12k)2(k1)32(k1)32k24(k1)212k(k1)2，即當(dāng)nk1時，原等式也成立綜合(1)(2)可知，對任何nN，原等式都成立設(shè)a，b為正數(shù)，nN，求證：n.提示：這是一個不等式證明問題，它涉及全體正整數(shù)n，用數(shù)學(xué)歸納法證明證明：(1)當(dāng)n1時，顯然成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，k1)時，不等式成立，即k.則nk1時，要證明不等式成立，即證明k1.在k的兩邊同時乘以，得k1.要證明k1，只需證明.因為2(ak1bk1)(ab)(akbk)2(ak1bk1)(ak1abkbakbk1)0ak1abkbakbk10(ab)(akbk)0.又ab與(akbk)同正負(fù)(或同時為0)，所以最后一個不等式顯然成立，這就證明了當(dāng)nk1時，不等式成立綜合(1)(2)可知，對任何nN，不等式n成立2放縮法涉及關(guān)于正整數(shù)n的不等式，從“k”過渡到“k1”，有時也考慮用放縮法求證：1(nN)提示：利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式關(guān)鍵是利用放縮、湊假設(shè)、湊結(jié)論但要注意從nk變化到nk1時增加了多少項，減少了多少項，一般用f(k1)f(k)研究增加或減少的項的多少證明：(1)當(dāng)n1時，左邊1，右邊，左邊右邊，不等式成立(2)假設(shè)nk(kN，k1)時，不等式成立，即1.當(dāng)nk1時，12k1.nk1時，不等式成立由(1)(2)可知：1(nN)3遞推法用數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列有關(guān)的問題時，有時要利用an與an1的關(guān)系，實現(xiàn)從“k”到“k1”的過渡設(shè)0a1，定義a11a，an1a，求證：對一切正整數(shù)n，有1an.提示：數(shù)列類問題用數(shù)學(xué)歸納法證明時，一般先用遞推公式，后用歸納假設(shè)證明：(1)當(dāng)n1時，a11，a11a，顯然命題成立(2)假設(shè)nk(kN，k1)時，命題成立，即1ak.當(dāng)nk1時，由遞推公式，知ak1a(1a)a1.同時，ak1a1a，故當(dāng)nk1時，命題也成立，即1ak1.綜合(1)(2)可知，對一切正整數(shù)n，有1an.4拼湊法用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于正整數(shù)的命題(尤其是整除)時，從“k”過渡到“k1”常用拼湊法對于任意正整數(shù)n，求證：anbn能被ab整除(對于多項式A，B，如果存在多項式C，使得ABC，那么稱A能被B整除)提示：用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，關(guān)鍵在于弄清n由k到k1時，問題的變化情況，創(chuàng)造條件一定要用上歸納假設(shè)證明：(1)當(dāng)n1時，anbnab能被ab整除(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，k1)時，akbk能被ab整除，那么當(dāng)nk1時，ak1bk1ak1akbakbbk1ak(ab)b(akbk)因為(ab)和akbk都能被ab整除，所以上面的和ak(ab)b(akbk)也能被ab整除這也就是說當(dāng)nk1時，ak1bk1能被ab整除根據(jù)(1)(2)，由數(shù)學(xué)歸納法知對一切正整數(shù)n，anbn都能被ab整除5幾何法“幾何類”命題的證題關(guān)鍵是先要從證nk1時命題成立的結(jié)論中，分解出nk時命題成立的部分，然后去證余下的部分在同一平面內(nèi)有n條直線，每兩條不平行，任意三條不共點，求證：它們將此平面分成個部分(nN)提示：利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題，關(guān)鍵是找出由nk到nk1時所增加的項證明：設(shè)f(n).(1)當(dāng)n1時，一條直線將平面分成兩部分，f(1)2，故命題成立(2)假設(shè)nk(kN，k1)時，k條直線將平面分成個部分當(dāng)nk1時，第(k1)條直線與前k條直線交于k個點，使平面增加(k1)個部分，即將平面分成k1個部分，所以nk1時命題成立由(1)(2)得原命題成立6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375