全國(guó)通用版高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 3.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算 3.2.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算學(xué)案 新人教A版選修22

3.2.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運(yùn)算.2.理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對(duì)加法的分配律.3.理解共軛復(fù)數(shù)的概念知識(shí)點(diǎn)一復(fù)數(shù)的乘法及其運(yùn)算律思考怎樣進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算？答案兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類(lèi)似于兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，只要把已得結(jié)果中的i2換成1，并且把實(shí)部與虛部分別合并即可梳理(1)復(fù)數(shù)的乘法法則設(shè)z1abi，z2cdi是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.(2)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對(duì)于任意z1，z2，z3C，有交換律z1z2z2z1結(jié)合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法對(duì)加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3知識(shí)點(diǎn)二共軛復(fù)數(shù)當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)，z的共軛復(fù)數(shù)用表示即zabi，則abi.知識(shí)點(diǎn)三復(fù)數(shù)的除法法則思考類(lèi)比根式除法的分母有理化，比如，你能寫(xiě)出復(fù)數(shù)的除法法則嗎？答案設(shè)z1abi，z2cdi(cdi0)，則i.1復(fù)數(shù)加減乘除的混合運(yùn)算法則是先乘除，再加減()2兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的和與積是實(shí)數(shù)()3若z1，z2C，且zz0，則z1z20.(×)類(lèi)型一復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算例1計(jì)算：(1)(1i)；(2)；(3).考點(diǎn)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則題點(diǎn)乘除法的運(yùn)算法則解(1)(1i)(1i)(1i)ii.(2)i.(3)1i.反思與感悟(1)按照復(fù)數(shù)的乘法法則，三個(gè)或三個(gè)以上的復(fù)數(shù)相乘可按從左到右的順序運(yùn)算或利用結(jié)合律運(yùn)算，混合運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一致，在計(jì)算時(shí)，若符合乘法公式，則可直接運(yùn)用公式計(jì)算(2)根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則，通過(guò)分子、分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，使“分母實(shí)數(shù)化”，這個(gè)過(guò)程與“分母有理化”類(lèi)似跟蹤訓(xùn)練1計(jì)算：(1)(4i)(62i)(7i)(43i)；(2)；(3).考點(diǎn)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則題點(diǎn)乘除法的運(yùn)算法則解(1)(4i)(62i)(7i)(43i)(248i6i2)(2821i4i3)(262i)(3117i)515i.(2)ii0.(3)1i.類(lèi)型二i的運(yùn)算性質(zhì)例2計(jì)算：(1)2 016；(2)ii2i2 017.考點(diǎn)虛數(shù)單位i及其性質(zhì)題點(diǎn)虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)解(1)原式1 008i(1i)(i)1 008ii2(1)1 008·i1 008i1i4×252i11i.(2)方法一原式i.方法二因?yàn)閕nin1in2in3in(1ii2i3)0(nN*)，所以原式(ii2i3i4)(i5i6i7i8)(i2 013i2 014i2 015i2 016)i2 017i2 017(i4)504·i1504·ii.反思與感悟(1)等差、等比數(shù)列的求和公式在復(fù)數(shù)集C中仍適用，i的周期性要記熟，即inin1in2in30(nN*)(2)記住以下結(jié)果，可提高運(yùn)算速度(1i)22i，(1i)22i；i，i；i.跟蹤訓(xùn)練2(1)2 017_.考點(diǎn)虛數(shù)單位i及其性質(zhì)題點(diǎn)虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)答案i解析2 0172 0172 017i2 017(i4)504·i1504·ii.(2)化簡(jiǎn)i2i23i3100i100.考點(diǎn)虛數(shù)單位i及其性質(zhì)題點(diǎn)虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)解設(shè)Si2i23i3100i100，所以iSi22i399i100100i101，得(1i)Sii2i3i100100i101100i1010100i100i.所以S5050i.所以i2i23i3100i1005050i.類(lèi)型三共軛復(fù)數(shù)及其應(yīng)用例3把復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)記作，已知(12i)43i，求z.考點(diǎn)共軛復(fù)數(shù)的定義與應(yīng)用題點(diǎn)利用定義求共軛復(fù)數(shù)解設(shè)zabi(a，bR)，則abi，由已知得(12i)(abi)(a2b)(2ab)i43i，由復(fù)數(shù)相等的定義知，得a2，b1，所以z2i.引申探究例3條件改為(z2)43i，求z.解設(shè)zxyi(x，yR)則xyi，由題意知，(xyi)(xyi2)43i.得解得或所以zi或zi.反思與感悟當(dāng)已知條件出現(xiàn)復(fù)數(shù)等式時(shí)，常設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題求解跟蹤訓(xùn)練3已知復(fù)數(shù)z滿足|z|1，且(34i)z是純虛數(shù)，求z的共軛復(fù)數(shù).考點(diǎn)共軛復(fù)數(shù)的定義與應(yīng)用題點(diǎn)利用定義求共軛復(fù)數(shù)解設(shè)zabi(a，bR)，則|z|1，即a2b21.因?yàn)?34i)z(34i)(abi)(3a4b)(3b4a)i是純虛數(shù)，所以3a4b0，且3b4a0.由聯(lián)立，解得或所以i或i.1設(shè)復(fù)數(shù)z滿足iz1，其中i為虛數(shù)單位，則z等于()Ai BiC1 D1考點(diǎn)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則題點(diǎn)利用乘除法求復(fù)數(shù)中的未知數(shù)答案A解析zi.2若z43i(i為虛數(shù)單位)，則等于()A1 B1C.i D.i考點(diǎn)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則題點(diǎn)乘除法的運(yùn)算法則答案D解析z43i，|z|5，i.3已知1i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z等于()A1i B1iC1i D1i考點(diǎn)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的綜合應(yīng)用題點(diǎn)復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算答案D解析因?yàn)?i，所以z1i.4設(shè)i是虛數(shù)單位，是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，若z，則_.考點(diǎn)共軛復(fù)數(shù)的定義與應(yīng)用題點(diǎn)利用定義求共軛復(fù)數(shù)答案1i解析z1i，所以1i.5已知復(fù)數(shù)z滿足：z·2zi86i，求復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部的和考點(diǎn)共軛復(fù)數(shù)的定義與應(yīng)用題點(diǎn)與共軛復(fù)數(shù)有關(guān)系的綜合問(wèn)題解設(shè)zabi(a，bR)，則z·a2b2，a2b22i(abi)86i，即a2b22b2ai86i，解得ab4，復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部的和是4.1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法類(lèi)似于多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及乘法對(duì)加法的分配律(2)在進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算時(shí)，通常先將除法寫(xiě)成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)后可得，類(lèi)似于以前學(xué)習(xí)的分母有理化2共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)可以用來(lái)解決一些復(fù)數(shù)問(wèn)題3復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化思想復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的基本思想方法，其橋梁是設(shè)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化.一、選擇題1i為虛數(shù)單位，等于()A0 B2iC2i D4i考點(diǎn)虛數(shù)單位i及其性質(zhì)題點(diǎn)虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)答案A解析i，i，i，i，0.2復(fù)數(shù)(1i)2(23i)的值為()A64i B64iC64i D64i考點(diǎn)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則題點(diǎn)乘除法的運(yùn)算法則答案D解析(1i)2(23i)2i(23i)64i.3已知復(fù)數(shù)z滿足(z1)i1i，則z等于()A2i B2iC2i D2i考點(diǎn)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則題點(diǎn)利用乘除法求復(fù)數(shù)中的未知數(shù)答案C解析由(z1)i1i，兩邊同乘以i，則有z11i，所以z2i.4已知復(fù)數(shù)z13bi，z212i，若是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)b等于()A6 B6C0 D.考點(diǎn)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則題點(diǎn)利用乘除法求復(fù)數(shù)中的未知數(shù)答案A解析是實(shí)數(shù)，6b0，實(shí)數(shù)b的值為6，故選A.5已知i為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z，則表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是()AM BNCP DQ考點(diǎn)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則題點(diǎn)運(yùn)算結(jié)果與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系答案D解析由圖可知z3i，所以復(fù)數(shù)2i表示的點(diǎn)是Q(2，1)故選D.6設(shè)復(fù)數(shù)z滿足i，則|z|等于()A1 B.C. D2考點(diǎn)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則題點(diǎn)利用乘除法求復(fù)數(shù)中的未知數(shù)答案A解析由i，得zi，|z|i|1.7若z6，z·10，則z等于()A1±3i B3±iC3i D3i考點(diǎn)共軛復(fù)數(shù)的定義與應(yīng)用題點(diǎn)與共軛復(fù)數(shù)有關(guān)的綜合問(wèn)題答案B解析設(shè)zabi(a，bR)，則abi，所以解得則z3±i.8計(jì)算的值是()A0 B1C2i Di考點(diǎn)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的綜合應(yīng)用題點(diǎn)復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算答案C解析原式iii2i.二、填空題9已知a，bR，i是虛數(shù)單位，若(1i)(1bi)a，則的值為_(kāi)考點(diǎn)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則題點(diǎn)利用乘除法求復(fù)數(shù)中的未知數(shù)答案2解析因?yàn)?1i)(1bi)1b(1b)ia，又a，bR，所以1ba且1b0，得a2，b1，所以2.10若復(fù)數(shù)z滿足(34i)z43i(i是虛數(shù)單位)，則|z|_.考點(diǎn)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則題點(diǎn)利用乘除法求復(fù)數(shù)中的未知數(shù)答案1解析因?yàn)?34i)z43i，所以zi.則|z|1.11定義一種運(yùn)算：adbc.則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是_考點(diǎn)共軛復(fù)數(shù)的定義與應(yīng)用題點(diǎn)利用定義求共軛復(fù)數(shù)答案13i解析3i(1i)213i，其共軛復(fù)數(shù)為13i.三、解答題12已知z，為復(fù)數(shù)，(13i)z為純虛數(shù)，且|5，求.考點(diǎn)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則題點(diǎn)乘除法的綜合應(yīng)用解設(shè)zabi(a，bR)，則(13i)za3b(3ab)i.由題意得a3b0,3ab.因?yàn)閨5，所以|z|5，將a3b代入，解得a15，b5或a15，b5，故±±(7i)13已知復(fù)數(shù)z1i.(1)設(shè)z234，求；(2)若1i，求實(shí)數(shù)a，b的值考點(diǎn)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的綜合應(yīng)用題點(diǎn)與混合運(yùn)算有關(guān)的未知數(shù)求解解(1)因?yàn)閦1i，所以z234(1i)23(1i)41i.(2)因?yàn)閦1i，所以1i，即1i，所以(ab)(a2)i(1i)i1i，所以解得四、探究與拓展14投擲兩顆骰子，得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，則復(fù)數(shù)(mni)(nmi)為實(shí)數(shù)的概率為_(kāi)考點(diǎn)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則題點(diǎn)乘除法的綜合應(yīng)用答案解析易知(mni)(nmi)mnm2in2imn2mn(n2m2)i.若復(fù)數(shù)(mni)(nmi)為實(shí)數(shù)，則m2n2，即(m，n)共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，6種情況，所以所求概率為.15設(shè)z是虛數(shù)，z是實(shí)數(shù)，且1<<2.(1)求|z|的值及z的實(shí)部的取值范圍；(2)設(shè)，求證：為純虛數(shù)考點(diǎn)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的綜合應(yīng)用題點(diǎn)與四則運(yùn)算有關(guān)的問(wèn)題(1)解因?yàn)閦是虛數(shù)，所以可設(shè)zxyi(x，yR，且y0)，則z(xyi)xyii.因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，且y0，所以y0，即x2y21.所以|z|1，此時(shí)2x.又1<<2，所以1<2x<2.所以<x<1，即z的實(shí)部的取值范圍是.(2)證明.又x2y21，所以i.因?yàn)閥0，所以為純虛數(shù)6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375