一輪優(yōu)化探究理數(shù)蘇教版練習(xí)：第四章 第六節(jié)　正、余弦定理和應(yīng)用舉例 Word版含解析

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 一、填空題 1．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a2＋c2－b2＝ac，則角B的值為________． 解析：由余弦定理cos B＝， 又a2＋c2－b2＝ac，∴cos B＝， 又0<B<π，∴B＝. 答案： 2．已知A、B兩地的距離為10 km，B、C兩地的距離為20 km，現(xiàn)測(cè)得∠ABC＝120，則A，C兩地的距離為________km. 解析：由余弦定理知， AC2＝102＋202－21020cos 120＝700. ∴AC＝10 km. 答案：10 3.如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m、50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為________． 解析：依題意可得AD＝20 (m)，AC＝30 (m)，又CD＝50 (m)， 所以在△ACD中，由余弦定理得 cos∠CAD＝ ＝ ＝＝， 又0<∠CAD<180， 所以∠CAD＝45，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45. 答案：45 4．銳角△ABC的三邊a，b，c和面積S滿足條件S＝，又角C既不是△ABC的最大角也不是△ABC的最小角，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________． 解析：cos C＝，∴c2－a2－b2＝－2abcos C，由S＝，得4kS＝c2－(a－b)2，即4kabsin C＝c2－a2－b2＋2ab， ∴2kabsin C＝－2abcos C＋2ab，即ksin C＝1－cos C， ∴k＝，∴k＝tan，又<C<， ∴－1<k<1. 答案：(－1,1) 5．在△ABC中，cos2＝(a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊)，則△ABC的形狀為________． 解析：∵cos2＝，∴＝， ∴cos B＝， ∴＝， ∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2， ∴△ABC為直角三角形． 答案：直角三角形 6．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2b＝a＋c，則角B的取值范圍是________． 解析：∵cos B＝＝ ＝＝－≥－＝， 即cos B∈[，1)，∴B∈(0，]． 答案：(0，] 7．若△ABC的周長等于20，面積是10，A＝60，則BC邊的長是________． 解析：依題意及面積公式S＝bcsin A， 得10＝bcsin 60，得bc＝40. 又周長為20，故a＋b＋c＝20，b＋c＝20－a， 由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－2bccos 60＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc， 故a2＝(20－a)2－120，解得a＝7. 答案：7 8．在△ABC中，A＝60，b＝1，面積為，則＝________. 解析：S＝bcsin A＝1csin 60＝， ∴c＝4， ∴a2＝b2＋c2－2bccos A ＝1＋42－214cos 60 ＝1＋16－24＝13， ∴a＝. ∴＝＝＝. 答案： 9．如圖，一船在海上由西向東航行，在A處測(cè)得某島M的方位角為北偏東α角，前進(jìn)m km后在B處測(cè)得該島的方位角為北偏東β角，已知該島周圍n km范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行．當(dāng)α與β滿足條件________時(shí)，該船沒有觸礁危險(xiǎn)． 解析：由題可知，在△ABM中，根據(jù)正弦定理得＝，解得BM＝，要使船沒有觸礁危險(xiǎn)需要BMsin(90－β)＝>n，所以α與β的關(guān)系滿足mcos αcos β>nsin(α－β)時(shí)船沒有觸礁危險(xiǎn)． 答案：mcos αcos β>nsin(α－β) 二、解答題 10．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長分別為a，b，c，已知sin A＝. (1)若a2－c2＝b2－mbc，求實(shí)數(shù)m的值； (2)若a＝，求△ABC的面積的最大值． 解析：(1)∵sin A＝，∴2sin2A＝3cos A，即2cos2A＋3cos A－2＝0，解得cos A＝或－2(舍去)，又0<A<π，∴A＝.由余弦定理，知b2＋c2－a2＝2bccos A．又a2－c2＝b2－mbc，可得cos A＝，∴m＝1. (2)由余弦定理及a＝，A＝，可得3＝b2＋c2－bc，再由基本不等式b2＋c2≥2bc，∴bc≤3，∴S△ABC＝bcsin A＝bcsin＝bc≤，故△ABC的面積的最大值為. 11．設(shè)銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長分別為a，b，c，a＝2bsin A. (1)求B的大??； (2)求cos A＋sin C的取值范圍． 解析：(1)由a＝2bsin A及正弦定理＝＝2R，得 sin A2R＝2sin B2Rsin A，即sin B＝， ∵△ABC是銳角三角形，∴B＝. (2)由(1)，知C＝π－A－B＝－A， ∴cos A＋sin C ＝cos A＋sin(－A)＝cos A＋sin A ＝(cos A＋sin A) ＝sin(A＋)． ∵△ABC是銳角三角形， ∴即 則<A<. ∴<A＋<. 則<sin(A＋)<. ∴<sin(A＋)<. ∴cos A＋sin C的取值范圍為(，)． 12．如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營救．甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C處的乙船． (1)求處于C處的乙船和遇險(xiǎn)漁船間的距離； (2)設(shè)乙船沿直線CB方向前往B處救援，其方向與成θ角，求f(x)＝sin2θsin x＋cos2θcos x(x∈R)的值域． 解析：(1)連結(jié)BC，在△ABC中，由余弦定理得 BC2＝202＋102－22010cos 120＝700， BC＝10. 即處于C處和乙船和遇險(xiǎn)漁船間的距離為10海里． (2)∵＝， ∴sin θ＝， ∵θ是銳角，∴cos θ＝， ∴f(x)＝sin2θsin x＋cos2θcos x＝sin x＋cos x ＝sin(x＋φ)， ∴f(x)的值域?yàn)閇－，]．