一輪優(yōu)化探究理數蘇教版練習：第九章 第七節(jié)　雙曲線 Word版含解析

高考數學精品復習資料 2019.5 一、填空題 1．已知點M(－2,0)、N(2,0)，動點P滿足條件|PM|－|PN|＝2，則動點P的軌跡方程為________． 解析：因為|MN|＝4,2<4，所以動點P的軌跡是以M、N為焦點，實軸長為2的雙曲線靠近點N的一支，即x2－y2＝2，x≥2. 答案：x2－y2＝2(x≥2) 2．雙曲線－＝1的焦點到漸近線的距離為________． 解析：雙曲線－＝1的漸近線為y＝x，c＝＝4，其焦點坐標為(4,0)，由點到直線的距離公式可得焦點到漸近線的距離為＝2. 答案：2 3．與雙曲線－＝1有公共漸近線且經過點A(－3,2)的雙曲線的方程是________． 解析：由條件可設所求雙曲線方程為－＝k(k>0)，將點A(－3,2)代入得k＝－＝，所以所求雙曲線方程為－＝1. 答案：－＝1 4．在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC的頂點A(－5,0)和C(5,0)，頂點B在雙曲線－＝1上，則為________． 解析：由題意得a＝4，b＝3，c＝5. A、C為雙曲線的焦點， ∴||BC|－|BA||＝8，|AC|＝10. 由正弦定理得 ＝ ＝＝. 答案： 5．已知F1、F2為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60，則|PF1||PF2|＝________. 解析：如圖，設|PF1|＝m，|PF2|＝n.則 ∴∴mn＝4. 即|PF1||PF2|＝4. 答案：4 6．已知點F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的兩個焦點，P為該曲線上一點，若△PF1F2為等腰直角三角形，則該雙曲線的離心率為________． 解析：不妨設P點在雙曲線的右支上， 則|PF1|－|PF2|＝2a. ∵△PF1F2是等腰直角三角形， ∴只能是∠PF2F1＝90， ∴|PF2|＝|F1F2|＝2c， ∴|PF1|＝2a＋|PF2|＝2a＋2c， ∴(2a＋2c)2＝2(2c)2， 即c2－2ac－a2＝0， 兩邊同除以a2，得e2－2e－1＝0. ∵e>1，∴e＝＋1. 答案：＋1 7．若雙曲線－＝1(a>0)的離心率為2，則a等于________． 解析：由離心率公式，得＝22(a>0)，解得a＝1. 答案：1 8．A、F分別是雙曲線9x2－3y2＝1的左頂點和右焦點，P是雙曲線右支上任一點，若∠PFA＝λ∠PAF，則λ＝________. 解析：特殊值法，取點P為(，1)，得∠PFA＝2∠PAF，故λ＝2. 答案：2 9．若雙曲線－＝1 (b＞0) 的漸近線方程為y＝x ，則b等于________． 解析：雙曲線－＝1的漸近線方程為－＝0，即y＝x(b>0)，∴b＝1. 答案：1 二、解答題 10.如圖所示，雙曲線的中心在坐標原點，焦點在x軸上，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，雙曲線的左支上有一點P，∠F1PF2＝，且△PF1F2的面積為2，又雙曲線的離心率為2，求該雙曲線的方程． 解析：設雙曲線方程為：－＝1(a>0，b>0)， F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P(x0，y0)． 在△PF1F2中，由余弦定理，得： |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos ＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1||PF2|， 即4c2＝4a2＋|PF1||PF2|. 又∵S△PF1F2＝2， ∴|PF1||PF2|sin ＝2. ∴|PF1||PF2|＝8. ∴4c2＝4a2＋8，即b2＝2. 又∵e＝＝2， ∴a2＝. ∴雙曲線的方程為：－＝1. 11．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率e＝，直線l過A(a,0)，B(0，－b)兩點，原點O到直線l的距離是. (1)求雙曲線的方程； (2)過點B作直線m交雙曲線于M、N兩點，若＝－23，求直線m的方程． 解析：(1)依題意，l的方程為＋＝1， 即bx－ay－ab＝0， 由原點O到l的距離為， 得＝＝， 又e＝＝， ∴b＝1，a＝. 故所求雙曲線方程為－y2＝1. (2)顯然直線m不與x軸垂直，設m方程為y＝kx－1，則點M、N坐標(x1，y1)，(x2，y2)是方程組的解， 消去y，得(1－3k2)x2＋6kx－6＝0.① 依題意，1－3k2≠0，由根與系數關系， 知x1＋x2＝，x1x2＝. ＝(x1，y1)(x2，y2)＝x1x2＋y1y2 ＝x1x2＋(kx1－1)(kx2－1) ＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋1 ＝－＋1 ＝＋1. 又∵＝－23， ∴＋1＝－23，k＝， 經檢驗知，當k＝時，方程①有兩個不相等的實數根， ∴方程為y＝x－1或y＝－x－1. 12．A，B，C是我方三個炮兵陣地，A在B正東6 km，C在B的北偏西30，相距4 km，P為敵炮陣地，某時刻A處發(fā)現(xiàn)敵炮陣地的某種信號，由于B，C兩地比A距P地遠，因此4 s后，B，C才同時發(fā)現(xiàn)這一信號，此信號的傳播速度為1 km/s，A若炮擊P地，求炮擊的方位角． 解析：如圖所示，以直線BA為x軸、線段BA的中垂線為y軸建立直角坐標系，則B(－3,0)，A(3,0)，C(－5,2)． ∵|PB|＝|PC|.∴點P在線段BC的垂直平分線上． ∵kBC＝－，BC中點為D(－4，)， ∴直線PD的方程為y－＝(x＋4)．① 又|PB|－|PA|＝4，故P在以A、B為焦點的雙曲線的右支上． 設P(x，y)，則雙曲線方程為－＝1(x≥0)．② 由①、②解得x＝8，y＝5，所以P(8,5)． 因此kPA＝＝. 故炮擊的方位角為北偏東30.