【人教A版】高中數(shù)學 3.3.3簡單的線性規(guī)劃練習 新人教A版必修5

人教版高中數(shù)學必修精品教學資料 高中數(shù)學 3.3.3 簡單的線性規(guī)劃練習 新人教 A 版必修 5 基礎梳理 1用圖解法求目標函數(shù)的最大最小值 當 x、y 滿足不等式組|x1|1，y0，yx1時,目標函數(shù) txy 的最大值是( ) A1 B2 C3 D5 2確定在某點取最優(yōu)解的條件 如圖所示,已知 A(2,4)、B(1,1)、C(4,2),動點 P(x,y)所在的區(qū)域為ABC(包括邊界),若使目標函數(shù) zaxy(a0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個,則 a 的值等于( ) A1 B.13 C6 D3 基礎梳理 1D 2A 自測自評 1已知變量 x,y 滿足不等式組x4y30，3x5y25，x1，則目標函數(shù) z2xy 取得最大值時的最優(yōu)解是( ) A(1,1) B(5,2) C.1，225 C(9,3) 2目標函數(shù) zxy,在下圖所示的可行域內(nèi)(陰影部分且包括邊界),使 z 取得最小值的點的坐標為( ) A(1,1) B(3,2) C(5,2) D(4,1) 3若實數(shù) x,y 滿足xy10，x0，則yx的取值范圍是( ) A(0,1) B(0,1 C(1,) D1,) 自測自評 1解析：點(9,3)不是可行解在其余的三個可行解中,當x2xy經(jīng)過點(5,2)時,z最大,故選 B. 答案：B 2解析：對直線yxb進行平移,注意b越大,z越小 答案：A 3解析：xy10，x0所表示的可行域如右圖所示,而yx表示可行域內(nèi)任一點與坐標原點連線的斜率,過點O與直線AB平行的直線l的斜率為 1,l繞點O逆時針轉動必與AB相交,直線OB的傾角為 90,因此yx的范圍為(1,) 答案：C 基礎達標 1設 x,y 滿足條件：x0，yx，4x3y12，則x2y3x1的取值范圍是( ) A1,5 B2,6 C2,10 D3,11 1 解析：x2y3x112y1x1,令y1x1k,則k表示兩點P(x,y)和A(1,1)連線的斜率不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示： 由圖可知：1k5,312k11.故選 D. 答案：D 2(2014新課標全國卷)設 x,y 滿足約束條件xy70，x3y10，3xy50，則 z2xy 的最大值為( ) A10 B8 C3 D2 2解析：畫出可行域后利用直線在y軸上的截距的幾何意義可求得最值 畫出可行域如圖所示 由z2xy,得y2xz,欲求z的最大值,可將直線y2x向下平移,當經(jīng)過區(qū)域內(nèi)的點,且滿足在y軸上的截距z最小時,即得z的最大值,如圖,可知當過點A時z最大,由xy70，x3y10，得x5，y2，即A(5,2),則zmax2528. 答案：B 3不等式(x2y1)(xy3)0 表示的平面區(qū)域是( ) 3解析：將(0,0)代入知不等式成立,又區(qū)域不含邊界,故選 C. 答案：C 4某廠擬用集裝箱托運甲、乙兩種貨物,每箱貨物的體積、重量、可獲利潤如下表. 貨物 體積/m3 重量/t 利潤/元 甲 5 2 2 000 乙 4 5 1 000 若托運貨物的總量體積不超過 24 m3,重量不超過 13 t,為了獲得最大利潤,則甲、乙兩種貨物應各托運的箱數(shù)為( ) A4,1 B3,2 C1,4 D2,4 4解析：設甲、乙兩種貨物各托運x,y箱, 則5x4y24，2x5y13，z2 000 x1 000y.x，yN， 由5x4y24，2x5y13，得M(4,1) 作出可行域,當z2 000 x1 000y經(jīng)過點M時,zmax9 000.故選 A. 答案：A 5(2014浙江卷)當實數(shù) x,y 滿足x2y40，xy10，x1時,1axy4 恒成立,則實數(shù) a的取值范圍是_ 5解析：先畫出可行域,然后利用數(shù)形結合確定出最值,進一步求出a的值 畫可行域如圖所示,設目標函數(shù)zaxy,即yaxz,要使 1z4 恒成立,則a0,數(shù)形結合知,滿足12a14，1a4即可,解得 1a32. 所以a的取值范圍是1，32. 答案：1，32 鞏固提高 6當 x,y 滿足條件|x|y|1 時,變量 uxy3的取值范圍是( ) A(3,3) B.13，13 C.13，13 D.13，0 0，13 6解析：不等式|x|y|1 表示的平面區(qū)域如右圖所示： 令ky3x,則k表示區(qū)域內(nèi)的點P(x,y)與A(0,3)的連線的斜率,|k|3,1|k|13. 又x0 時,u0,|u|1313u13.故選 B. 答案：B 7設動點坐標(x,y)滿足（xy1）（xy4）0，x3，y1，則 x2y2的最小值為( ) A. 5 B. 10 C.172 D10 7D 8在坐標平面內(nèi),求不等式組yx1，y3|x|1所表示的平面區(qū)域的面積 8解析：畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示 在yx1 中,令x0,得y1,D(0,1) 在y3|x|1 中,令x0,得y1,C(0,1) 由yx1，y3x1，得A12，12. 由yx1，y3x1，得B(1,2) SCDA2121212,SCDB21121. 所求區(qū)域面積為SABCSCDASCDB32. 9 某商場為使銷售空調(diào)和冰箱獲得的總利潤達到最大,對即將出售的空調(diào)和冰箱相關數(shù)據(jù)進行調(diào)查,得出下表： 資金 每臺空調(diào)或 冰箱所需資金/百元 空調(diào) 冰箱 月資金供應數(shù)量 /百元 成本 30 20 300 工人工資 5 10 110 每臺利潤 6 8 問：該商場怎樣確定空調(diào)或冰箱的月供應量,才能使總利潤最大？最大利潤是多少？ 9解析：設空調(diào)和冰箱的月供應量分別為x,y臺,月總利潤為z百元,則30 x20y300，5x10y110，x，yN*， z6x8y,作出可行域(如圖所示) y34xz8,表示縱截距為z8,斜率為k34的直線,當z最大時z8最大,此時,直線y34xz8必過四邊形區(qū)域的頂點 由30 x20y300，5x10y110得交點(4,9)x,y分別為 4,9 時,zmax6x8y96(百元) 空調(diào)和冰箱的月供應量分別為 4 臺、9 臺時,月總利潤最大,最大值為 96 百元 10某紡紗廠生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗,已知生產(chǎn)甲種棉紗 1 噸需耗一級子棉 2 噸、二級子棉 1 噸； 生產(chǎn)乙種棉紗需耗一級子棉 1 噸、 二級子棉 2 噸,每 1 噸甲種棉紗的利潤是 600 元,每 1 噸乙種棉紗的利潤是 900 元,工廠在生產(chǎn)這兩種棉紗的計劃中要求消耗一級子棉不超過300 噸、二級子棉不超過 250 噸甲、乙兩種棉紗應各生產(chǎn)多少(精確到噸),能使利潤總額最大？ 10解析：將已知數(shù)據(jù)列成下表,設生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗分別為x噸、y噸,利潤總額為z元, 那么2xy300，x2y250，x0，y0， z600 x900y.作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域(如下圖),即可行域 作直線l： 600 x900y0,即直線l： 2x3y0,把直線l向右上方平移至l1的位置時,直線經(jīng)過可行域上的點M,且與原點距離最大,此時z600 x900y取最大值解方程組2xy300，x2y250得M的坐標為x3503117,y200367. 故應生產(chǎn)甲種棉紗 117 噸,乙種棉紗 67 噸,能使利潤總額達到最大 要完成一項確定的任務,如何統(tǒng)籌安排,盡量做到用最少的資源去完成它,這是線性規(guī)劃中最常見的問題之一；資源數(shù)量一定,如何安排使用它們,使得效益最好,這是線性規(guī)劃中常見的問題之二解決這類問題的思路和方法為： 1 準確建立數(shù)學模型,根據(jù)實際問題中的已知條件,找出約束條件和目標函數(shù),應分清已知條件中,哪些屬于約束條件,哪些與目標函數(shù)有關,并列出正確的不等式組 2由二元一次不等式表示的平面區(qū)域畫出可行域 3在可行域內(nèi)求目標函數(shù)的最優(yōu)解 4根據(jù)實際意義將數(shù)學模型的解轉化為實際問題的解,即結合實際情況求得最優(yōu)解 另外,線性目標函數(shù)的最大值、 最小值一般在可行域的頂點處取得,也可能在可行域的邊界上取得,即滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個要準確理解 z 的幾何意義