高三數學 第33練 平面向量的數量積練習

高考數學精品復習資料 2019.5 第33練 平面向量的數量積 訓練目標 (1)平面向量數量積的概念；(2)數量積的應用． 訓練題型 (1)向量數量積的運算；(2)求向量的夾角；(3)求向量的模． 解題策略 (1)數量積計算的三種方法：定義、坐標運算、數量積的幾何意義；(2)求兩向量的夾角時，要注意夾角θ為銳角和cos θ>0的區(qū)別，不能漏解或增解；(3)求向量的模的基本思想是利用|a|2＝aa，靈活運用數量積的運算律. 一、選擇題 1．(20xx玉溪月考)若向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a＋b)，則a與b的夾角為(　　) A. B. C. D. 2．(20xx淄博月考)已知矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，則等于(　　) A．1 B．－1 C. D．2 3．已知平面上A，B，C三點不共線，O是不同于A，B，C的任意一點，若(－)(＋)＝0，則△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形 4．(20xx安徽)△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足＝2a，＝2a＋b，則下列結論正確的是(　　) A．|b|＝1 B．a⊥b C．ab＝1 D．(4a＋b)⊥ 5．已知向量a，b，c滿足|a|＝2，|b|＝ab＝3，若(c－2a)(c－b)＝0，則|b－c|的最小值是(　　) A．2－ B．2＋ C．1 D．2 6．(20xx太原五中模擬)已知△DEF的外接圓的圓心為O，半徑R＝4，如果＋＋＝0，且||＝||，則向量在方向上的投影為(　　) A．6 B．－6 C．2 D．－2 7．(20xx延邊期中)點O在△ABC所在平面內，給出下列關系式：①＋＋＝0； ②＝＝；③＝；④(＋)＝(＋)＝0.則點O依次為△ABC的(　　) A．內心、外心、重心、垂心 B．重心、外心、內心、垂心 C．重心、垂心、內心、外心 D．外心、內心、垂心、重心 8．已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120，點E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若＝1，＝－，則λ＋μ等于(　　) A. B. C. D. 二、填空題 9．(20xx高安段考)已知向量a，b滿足a＋b＝(5，－10)，a－b＝(3,6)，則b在a方向上的投影為________． 10．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，－1)，則|2a－b|的最大值與最小值的和為________． 11．(20xx開封沖刺模擬)若等邊△ABC的邊長為2，平面內一點M滿足＝＋，則＝________. 12．已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，當2x＋y＝t(t>0)時，|x＋y|≥t恒成立，則△ABC的面積為______，在上述條件下，對于△ABC內一點P，(＋)的最小值是________.  答案精析 1．C　[由題意，得a(a＋b)＝0， 即a2＋ab＝0，∴1＋cos〈a，b〉＝0， 解得cos〈a，b〉＝－. 再由〈a，b〉∈[0，π]，可得〈a，b〉＝.] 2．A　[方法一　如圖，以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標系，則A(0,0)，B(，0)，C(，1)，D(0,1)，∴＝(，1)，＝(，－1)， 則＝2－1＝1. 方法二　記＝a，＝b，則ab＝0，∵|a|＝，|b|＝1， ∴＝(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝2－1＝1.故選A.] 3．A　[(－)(＋)＝0?(＋)＝0?⊥(＋)，所以△ABC是等腰三角形，故選A.] 4．D　[如圖，在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2. 又|a|＝1，所以ab＝|a||b|cos 120＝－1，所以(4a＋b)＝(4a＋b)b＝4ab＋|b|2＝4(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，故選D.] 5．A　[由題意得，〈a，b〉＝，故如圖所示建立平面直角坐標系，設a＝(1，)，b＝(3,0)，c＝(x，y)，∴(c－2a)(c－b)＝0?(x－2)2＋y(y－2)＝0?(x－2)2＋(y－)2＝3，其幾何意義為以點(2，)為圓心，為半徑的圓，故其到點(3,0)的距離的最小值是2－，故選A.] 6．B　[由＋＋＝0得，＝＋.∴DO經過邊EF的中點， ∴DO⊥EF.連接OF，∵||＝||＝||＝4， ∴△DOF為等邊三角形， ∴∠ODF＝60.∴∠DFE＝30，且EF＝4sin 602＝4. ∴向量在方向上的投影為 ||cos〈，〉＝4cos 150＝－6，故選B.] 7．C　[由三角形“五心”的定義，我們可得：①當＋＋＝0時，O為△ABC的重心；②當＝＝時，O為△ABC的垂心；③當＝ 時，O為△ABC的內心；④當(＋)＝(＋)＝0時，O為△ABC的外心．故選C.] 8．C　[建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(－1,0)，B(0，－)，C(1,0)，D(0，)．設E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)．由＝λ，得(x1，y1＋)＝λ(1，)，解得 即點E(λ，(λ－1))．由＝μ，得(x2，y2－)＝μ(1，－)， 解得即點F(μ，(1－μ))． 又＝(λ＋1，(λ－1))(μ＋1，(1－μ))＝1，① ＝(λ－1，(λ－1))(μ－1，(1－μ))＝－，② 由①－②，得λ＋μ＝.] 9．2 解析　根據a＋b＝(5，－10)，a－b＝(3,6)，求得a＝(4，－2)，b＝(1，－8)，根據投影公式可得b在a方向上的投影為＝＝2. 10．4 解析　由題意可得ab＝cos θ－sin θ＝2cos， 則|2a－b|＝＝ ＝∈[0,4]， 所以|2a－b|的最大值與最小值的和為4. 11．－ 解析　由于＝－＝－＋，＝－＝－， 故＝＝－2－2＋ ＝－22－22＋22cos 60＝－. 12．1?。? 解析　因為|x＋y|＝ ＝≥t恒成立，則由兩邊平方， 得x22＋y22＋2xy≥t2，又t＝2x＋y， 則4x2＋y2＋4xy(2cos A－1)≥0， 則Δ＝16y2(2cos A－1)2－16y2≤0， 則cos A(cos A－1)≤0，則cos A≥0，A的最大值為. 當cos A＝0時，|x＋y|＝≥(2x＋y)滿足題意，所以此時S△ABC＝ABAC＝1； 在Rt△ABC中，取BC的中點D，連接PD， 則＋＝2，即(＋)＝2， 當A，P，D三點共線時，<0，又此時AD＝BC＝， 即有2＝－2||||≥－22＝－，即有最小值為－.