高中新創(chuàng)新一輪復(fù)習(xí)理數(shù)通用版：課時達標(biāo)檢測五十六 離散型隨機變量的分布列、均值與方差 Word版含解析

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 課時達標(biāo)檢測（五十六）課時達標(biāo)檢測（五十六） 離散型隨機變量的分布列、均值離散型隨機變量的分布列、均值 與方差與方差 一般難度題一般難度題全員必做全員必做 1某同學(xué)在籃球場上進行投籃訓(xùn)練，先投某同學(xué)在籃球場上進行投籃訓(xùn)練，先投“2 分的籃分的籃”2 次，每次投中的概率為次，每次投中的概率為45，每，每投中一次得投中一次得 2 分，不中得分，不中得 0 分；再投分；再投“3 分的籃分的籃”1 次，投中的概率為次，投中的概率為23，投中得，投中得 3 分，不分，不中得中得 0 分該同學(xué)每次投籃的結(jié)果相互獨立，假設(shè)該同學(xué)要完成以上分該同學(xué)每次投籃的結(jié)果相互獨立，假設(shè)該同學(xué)要完成以上 3 次投籃次投籃 (1)求該同學(xué)恰有求該同學(xué)恰有 2 次投中的概率；次投中的概率； (2)求該同學(xué)所得分求該同學(xué)所得分 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望的分布列和數(shù)學(xué)期望 解：解：(1)由題可知總共有由題可知總共有 3 次投籃，每次投不中記為次投籃，每次投不中記為 0，投中記為，投中記為 1，共有，共有 238 種情況，種情況，其中恰有其中恰有2次投中的有次投中的有(1,1,0)， (1,0,1)， (0,1,1)， 共， 共3種情況， 其發(fā)生的概率為種情況， 其發(fā)生的概率為P4545 12345 14523 14545233275. (2)由題可知得分共有由題可知得分共有 6 種情況，種情況，X 的所有可能取值為的所有可能取值為 0,2,3,4,5,7. X0 的情況為的情況為(0,0,0)，P(X0)151513175； X2 的情況為的情況為(1,0,0)，(0,1,0)， P(X2)4515132875； X3 的情況為的情況為(0,0,1)， P(X3)151523275； X4 的情況為的情況為(1,1,0)，P(X4)4545131675； X5 的情況為的情況為(1,0,1)(0,1,1)， P(X5)21545231675； X7 的情況為的情況為(1,1,1)，P(X7)4545233275. 得分得分 X 的分布列為的分布列為 X 0 2 3 4 5 7 P 175 875 275 1675 1675 3275 E(X)017528753275416755167573275265. 2為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加現(xiàn)有來為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員自甲協(xié)會的運動員 3 名，其中種子選手名，其中種子選手 2 名；乙協(xié)會的運動員名；乙協(xié)會的運動員 5 名，其中種子選手名，其中種子選手 3 名從名從這這 8 名運動員中隨機選擇名運動員中隨機選擇 4 人參加比賽人參加比賽 (1)設(shè)設(shè)A為事件為事件“選出的選出的4人中恰有人中恰有2名種子選手， 且這名種子選手， 且這2名種子選手來自同一個協(xié)會名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件求事件 A 發(fā)生的概率；發(fā)生的概率； (2)設(shè)設(shè) X 為選出的為選出的 4 人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量 X 的分布列及均值的分布列及均值 E(X) 解：解：(1)由已知得，由已知得，P(A)C22C23C23C23C48635. 所以事件所以事件 A 發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為635. (2)隨機變量隨機變量 X 的所有可能取值為的所有可能取值為 1,2,3,4. P(Xk)Ck5C4k3C48(k1,2,3,4) 所以，隨機變量所以，隨機變量 X 的分布列為的分布列為 X 1 2 3 4 P 114 37 37 114 E(X)1114237337411452. 3(20 xx 湖南湘中名校聯(lián)考湖南湘中名校聯(lián)考)某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期數(shù)期數(shù) 的分布列為的分布列為 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商場經(jīng)銷一件該商品，采用商場經(jīng)銷一件該商品，采用 1 期付款，其利潤為期付款，其利潤為 200 元；分元；分 2 期或期或 3 期付款，其利潤期付款，其利潤為為 250 元；分元；分 4 期或期或 5 期付款，其利潤為期付款，其利潤為 300 元元 表示經(jīng)銷一件該商品的利潤表示經(jīng)銷一件該商品的利潤 (1)求事件求事件 A：“購買該商品的購買該商品的 3 位顧客中，至少有位顧客中，至少有 1 位采用位采用 1 期付款期付款”的概率的概率 P(A)； (2)求求 的分布列及期望的分布列及期望 E() 解：解：(1)由由 A 表示事件表示事件“購買該商品的購買該商品的 3 位顧客中，至少有位顧客中，至少有 1 位采用位采用 1 期付款期付款”， 可得可得A表示事件表示事件“購買該商品的購買該商品的 3 位顧客中，無人采用位顧客中，無人采用 1 期付款期付款” 又又 P(A)(10.4)30.216， 故故 P(A)1P(A)10.2160.784. (2) 的可能取值為的可能取值為 200,250,300. P(200)P(1)0.4， P(250)P(2)P(3)0.20.20.4， P(300)P(4)P(5)0.10.10.2. 的分布列為的分布列為 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 E()2000.42500.43000.2240. 中檔難度題中檔難度題學(xué)優(yōu)生做學(xué)優(yōu)生做 1拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻且六個面上分別標(biāo)有拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻且六個面上分別標(biāo)有 1,2,3,4,5,6 的正方體，記上底面上的的正方體，記上底面上的數(shù)字分別為數(shù)字分別為 x，y.若若a表示表示 a 的整數(shù)部分，如：的整數(shù)部分，如：2.62，設(shè)，設(shè) 為隨機變量，且為隨機變量，且 xy. (1)求求 P(0)； (2)求求 的分布列，并求其均值的分布列，并求其均值 E() 解：解：(1)依題意，實數(shù)對依題意，實數(shù)對(x，y)共有共有 36 種情況，使種情況，使 xy0 的實數(shù)對的實數(shù)對(x，y)有以下有以下15 種情況：種情況：(1,2)，(1,3)，(2,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(1,6)，(2,6)，(3,6)，(4,6)，(5,6)， 所以所以 P(0)1536512. (2)隨機變量隨機變量 的所有可能取值為的所有可能取值為 0,1,2. 1 的情況有以下的情況有以下 18 種：種：(1,1)，(2,1)，(3,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(6,5)，(6,6)， 所以所以 P(1)183612. 2 的情況有以下的情況有以下 3 種：種：(4,1)，(5,1)，(6,1)，所以，所以 P(2)336112. 所以所以 的分布列為的分布列為 0 1 2 P 512 12 112 均值均值 E()0512112211223. 2(20 xx 合肥質(zhì)檢合肥質(zhì)檢)某公司在迎新年晚會上舉行抽獎活動，有甲、乙兩個抽獎方案供員某公司在迎新年晚會上舉行抽獎活動，有甲、乙兩個抽獎方案供員工選擇工選擇 方案甲：員工最多有兩次抽獎機會，每次抽獎的中獎率均為方案甲：員工最多有兩次抽獎機會，每次抽獎的中獎率均為45.第一次抽獎，若未中獎，第一次抽獎，若未中獎，則抽獎結(jié)束若中獎，則通過拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，決定是否繼續(xù)進行第二次抽獎規(guī)則抽獎結(jié)束若中獎，則通過拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，決定是否繼續(xù)進行第二次抽獎規(guī)定：若拋出硬幣定：若拋出硬幣，反面朝上，員工則獲得，反面朝上，員工則獲得 500 元獎金，不進行第二次抽獎；若正面朝上，元獎金，不進行第二次抽獎；若正面朝上，員工則須進行第二次抽獎，且在第二次抽獎中，若中獎，則獲得獎金員工則須進行第二次抽獎，且在第二次抽獎中，若中獎，則獲得獎金 1 000 元；若未中獎，元；若未中獎，則所獲得的獎金為則所獲得的獎金為 0 元元 方案乙：員工連續(xù)三次抽獎，每次中獎率均為方案乙：員工連續(xù)三次抽獎，每次中獎率均為25，每次中獎均可獲得獎金，每次中獎均可獲得獎金 400 元元 (1)求某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金求某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金 X(元元)的分布列；的分布列； (2)試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進行抽獎，哪個方案更劃算？試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進行抽獎，哪個方案更劃算？ 解：解：(1)所獲資金所獲資金 X 的所有可能取值為的所有可能取值為 0,500,1 000. P(X0)15451215725，P(X500)451225，P(X1 000)451245825， 某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金 X(元元)的分布列為的分布列為 X 0 500 1 000 P 725 25 825 (2)由由(1)可知， 選擇方案甲進行抽獎所獲獎金可知， 選擇方案甲進行抽獎所獲獎金 X 的期望的期望 E(X)500251 000825520， 若選擇方案乙進行抽獎，中獎次數(shù)若選擇方案乙進行抽獎，中獎次數(shù) B 3，25，則則 E()32565，抽獎所獲獎抽獎所獲獎金金 X的期望的期望 E(X)400E()480，故選擇方案甲較劃算故選擇方案甲較劃算 較高難度題較高難度題學(xué)霸做學(xué)霸做 1某牛奶廠要將一批牛奶用汽車從所在城市甲運某牛奶廠要將一批牛奶用汽車從所在城市甲運至城市乙，已知從城市甲到城市乙只至城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，且運費由廠商承擔(dān)若廠商恰能在約定日期有兩條公路，且運費由廠商承擔(dān)若廠商恰能在約定日期(月月日日)將牛奶送到，則城市乙將牛奶送到，則城市乙的銷售商一次性支付給牛奶廠的銷售商一次性支付給牛奶廠 20 萬元；若在約定日期前送到，每提前一天銷售商將多支付萬元；若在約定日期前送到，每提前一天銷售商將多支付給牛奶廠給牛奶廠 1 萬元；若在約定日期后送到，每遲到一天銷售商將少支付給牛奶廠萬元；若在約定日期后送到，每遲到一天銷售商將少支付給牛奶廠 1 萬元為萬元為保證牛奶新鮮度，汽車只能在約定日期的前兩天出發(fā)，且只能選擇其中的一條公路運送牛保證牛奶新鮮度，汽車只能在約定日期的前兩天出發(fā)，且只能選擇其中的一條公路運送牛奶，已知下表內(nèi)的信息：奶，已知下表內(nèi)的信息： 統(tǒng)計信息統(tǒng)計信息 汽車行汽車行 駛路線駛路線 在不堵車的情況下到達城市在不堵車的情況下到達城市乙所需時間乙所需時間(天天) 在堵車的情況下在堵車的情況下到達城市乙所需到達城市乙所需時間時間(天天) 堵車堵車的概的概率率 運費運費(萬元萬元) 公路公路 1 2 3 110 1.6 公路公路 2 1 4 12 0.8 (1)記汽車選擇公路記汽車選擇公路 1 運送牛奶時牛奶廠獲得的毛收入為運送牛奶時牛奶廠獲得的毛收入為 (單位：萬元單位：萬元)，求，求 的分布列的分布列和均值和均值 E()； (2)選擇哪條公路運送牛奶有可能讓牛奶廠獲得的毛收入更多？選擇哪條公路運送牛奶有可能讓牛奶廠獲得的毛收入更多？ (注：毛收入銷售商支付給牛奶廠的費用運費注：毛收入銷售商支付給牛奶廠的費用運費) 解：解：(1)若汽車走公路若汽車走公路 1， 不堵車時牛奶廠獲得的毛收入不堵車時牛奶廠獲得的毛收入 201.618.4(萬元萬元)； 堵車時牛奶廠獲得的毛收入堵車時牛奶廠獲得的毛收入 201.6117.4(萬元萬元)， 汽車走公路汽車走公路 1 時牛奶廠獲得的毛收時牛奶廠獲得的毛收入入 的分布列為的分布列為 18.4 17.4 P 910 110 E()18.491017.411018.3(萬元萬元) (2)設(shè)汽車走公路設(shè)汽車走公路 2 時牛奶廠獲得的毛收入為時牛奶廠獲得的毛收入為 ， 則不堵車時牛奶廠獲得的毛收入， 則不堵車時牛奶廠獲得的毛收入 200.8120.2(萬元萬元)； 堵車時牛奶廠獲得的毛收入堵車時牛奶廠獲得的毛收入 200.8217.2(萬元萬元) 汽車走公路汽車走公路 2 時牛奶廠獲得的毛收入時牛奶廠獲得的毛收入 的分布列為的分布列為 20.2 17.2 P 12 12 E()20.21217.21218.7(萬元萬元) E()E()，選擇公路選擇公路 2 運送牛奶有可能讓牛奶廠獲得的毛收入更多運送牛奶有可能讓牛奶廠獲得的毛收入更多 2(20 xx 江蘇高考江蘇高考)已知一個口袋中有已知一個口袋中有 m 個白球，個白球，n 個黑球個黑球(m，nN*，n2)，這些球，這些球除顏色外完全相同現(xiàn)將口袋中的球隨機地逐個取出，并放入如圖所示的編號為除顏色外完全相同現(xiàn)將口袋中的球隨機地逐個取出，并放入如圖所示的編號為 1,2,3，mn 的抽屜內(nèi)，其中第的抽屜內(nèi)，其中第 k 次取出的球放入編號為次取出的球放入編號為 k 的抽屜的抽屜(k1,2,3，mn). 1 2 3 mn (1)試求編號試求編號為為 2 的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率 p； (2)隨機變量隨機變量 X 表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù)，表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù)，E(X)是是 X 的數(shù)學(xué)期望，的數(shù)學(xué)期望，證明：證明：E(X)n mn n1 . 解：解：(1)編號為編號為 2 的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率 p 為：為： pCn1mn1Cnmnnmn. (2)證明：隨機變量證明：隨機變量 X 的概率分布為：的概率分布為： X 1n 1n1 1n2 1k 1mn P Cn1n1Cnmn Cn1nCnmn Cn1n1Cnmn Cn1k1Cnmn Cn1nm1Cnmn 隨機變量隨機變量 X 的期望為：的期望為：