高考數學文二輪復習教師用書：第1部分 技法篇 數學思想專練1 Word版含答案

高考數學精品復習資料 2019.5 數學思想專練(一)　函數與方程思想 題組1　運用函數與方程思想解決數列、不等式等問題 1．已知{an}是等差數列，a1＝1，公差d≠0，Sn是其前n項和，若a1，a2，a5成等比數列，則S8的值為(　　) A．16　　　 B．32　　　 C．64　　　　 D．62 C　[由題意可知a＝a1a5，即(1＋d)2＝1(1＋4d)， 解得d＝2，所以an＝1＋(n－1)2＝2n－1. ∴S8＝＝4(1＋15)＝64.] 2．若2x＋5y≤2－y＋5－x，則有(　　) 【導學號：04024004】 A．x＋y≥0 B．x＋y≤0 C．x－y≤0 D．x－y≥0 B　[原不等式可化為2x－5－x≤2－y－5y，構造函數y＝2x－5－x，其為R上的增函數，所以有x≤－y，即x＋y≤0.] 3．若關于x的方程x2＋2kx－1＝0的兩根x1，x2滿足－1≤x1＜0＜x2＜2，則k的取值范圍是(　　) A. B. C. D. B　[構造函數f(x)＝x2＋2kx－1，因為關于x的方程x2＋2kx－1＝0的兩根x1，x2滿足－1≤x1＜0＜x2＜2， 所以即 所以－＜k≤0，所以k的取值范圍是.] 4．(20xx南昌三模)已知α是銳角三角形的最小內角，向量a＝(sin α，1)，b＝(1，cos α)，則ab的取值范圍是________. 【導學號：04024005】 (1，]　[ab＝sin α＋cos α＝sin， 由0＜α≤得＜α＋≤π， 所以＜sin≤1， 所以1＜ab≤.] 5．(20xx鄭州模擬)已知函數f(x)＝xln x＋a，g(x)＝x2＋ax，其中a≥0. (1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與曲線y＝g(x)也相切，求a的值； (2)證明：x＞1時，f(x)＋＜g(x)恒成立． 【導學號：04024006】 [解]　(1)由f(x)＝xln x＋a，得f(1)＝a， f′(x)＝ln x＋1，所以f′(1)＝1． 1分 所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線為y＝x＋a－1.因為直線y＝x＋a－1與曲線y＝g(x)也相切， 所以兩方程聯立消元得x2＋ax＝a＋x－1， 即x2＋(a－1)x＋1－a＝0，3分 所以Δ＝(a－1)2－4(1－a)＝0，得a2＝1. 因為a≥0，所以a＝1． 6分 (2)證明：x＞1時，f(x)＋＜g(x)恒成立，等價于x2＋ax－xln x－a－＞0恒成立． 令h(x)＝x2＋ax－xln x－a－， 則h(1)＝0且h′(x)＝x＋a－ln x－1． 6分 令φ(x)＝x－ln x－1，則φ(1)＝0且φ′(x)＝1－＝， 8分 所以x＞1時，φ′(x)＞0，φ(x)單調遞增， 所以φ(x)＞φ(1)＝0. 又因為a≥0，所以h′(x)＞0，h(x)單調遞增，所以h(x)＞h(1)＝0， 所以x＞1時，x2＋ax－xln x－a－＞0恒成立， 11分 即x＞1時，f(x)＋＜g(x)恒成立． 12分 題組2　利用函數與方程思想解決幾何問題 6．設拋物線C：y2＝3px(p＞0)的焦點為F，點M在C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則C的方程為(　　) A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x C　[由拋物線的定義可知MF＝xM＋＝5，∴xM＝5－，y＝15p－，故以MF為直徑的圓的方程為(x－xM)(x－xF)＋(y－yM)(y－yF)＝0， 即＋(2－yM)(2－0)＝0. ∴yM＝2＋－＝2＋?yM＝4，p＝或. ∴C的方程為y2＝4x或y2＝16x.] 7．已知正四棱錐的體積為，則正四棱錐側棱長的最小值為(　　) A．2　　 B．2　　 C．2　　 D．4 A　[設正四棱錐的底面邊長為a，側棱長為x，高為h， 由題意知a2h＝，得a2h＝32，從而a2＝， 又x2＝h2＋a2＝h2＋， 令g(h)＝h2＋，則g′(h)＝2h－＝， 當0＜h＜2時，g′(h)＜0； 當h＞2時，g′(h)＞0. 從而g(h)在h＝2時有最小值，即g(h)min＝12. 從而x有最小值2，故選A.] 8．已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的離心率e＝，并且經過定點P. (1)求橢圓E的方程； (2)問：是否存在直線y＝－x＋m，使直線與橢圓交于A，B兩點，且滿足＝？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由. 【導學號：04024007】 [解]　(1)由e＝＝且＋＝1，c2＝a2－b2， 解得a2＝4，b2＝1，即橢圓E的方程為＋y2＝1． 6分 (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由?x2＋4(m－x)2－4＝0? 5x2－8mx＋4m2－4＝0.(*) 所以x1＋x2＝，x1x2＝，8分 y1y2＝(m－x1)(m－x2)＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＝m2－m2＋＝， 由＝得(x1，y1)(x2，y2)＝， 即x1x2＋y1y2＝，＋＝，m＝2. 又方程(*)要有兩個不等實根，所以Δ＝(－8m)2－45(4m2－4)＞0，解得－＜m＜，所以m＝2． 12分 9．如圖1，直三棱柱ABCA′B′C′中，AC＝BC＝5，AA′＝AB＝6，D，E分別為AB和BB′上的點，且＝＝λ. 圖1 (1)求證：當λ＝1時，A′B⊥CE； (2)當λ為何值時，三棱錐A′CDE的體積最小，并求出最小體積． [解]　(1)證明：∵λ＝1，∴D，E分別為AB和BB′的中點． 1分 又AA′＝AB，且三棱柱ABCA′B′C′為直三棱柱， ∴平行四邊形ABB′A′為正方形，∴DE⊥A′B． 2分 ∵AC＝BC，D為AB的中點，∴CD⊥AB.3分 ∴CD⊥平面ABB′A′，∴CD⊥A′B，4分 又CD∩DE＝D，∴A′B⊥平面CDE. ∵CE?平面CDE，∴A′B⊥CE． 6分 (2)設BE＝x，則AD＝x，DB＝6－x，B′E＝6－x.由已知可得C到平面A′DE的距離即為△ABC的邊AB所對應的高h＝＝4，8分 ∴VA′CDE＝VCA′DE＝(S四邊形ABB′A－S△AA′D－S△DBE－S△A′B′E)h ＝h ＝(x2－6x＋36)＝[(x－3)2＋27](0＜x＜6)，11分 ∴當x＝3，即λ＝1時，VA′CDE有最小值18． 12分