高考數(shù)學(xué)文復(fù)習(xí)檢測(cè)：第六章 不等式、推理與證明 課時(shí)作業(yè)39 Word版含答案

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 課時(shí)作業(yè)39　基本不等式 一、選擇題 1．已知a，b∈R＋且a≠b，x＝，y＝，則x，y的大小關(guān)系是(　　) A．x<y B．x>y C．x＝y(tǒng) D．視a，b的值而定 解析：由不等式≥2，可得≥，又因?yàn)?<，所以可得<，即x<y. 答案：A 2．設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋，當(dāng)x>1時(shí)，不等式f(x)≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，3] B．[3，＋∞) C. D. 解析：當(dāng)x>1時(shí)，x－1>0，則f(x)＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝2時(shí)等號(hào)成立，函數(shù)f(x)有最小值3.由不等式f(x)≥a恒成立，得實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，3]． 答案：A 3．點(diǎn)(a，b)在直線x＋2y＝3上移動(dòng)，則2a＋4b的最小值是(　　) A．8 B．6 C．4 D．3 解析：由題可得a＋2b＝3，因?yàn)?a＋4b＝2a＋22b≥2＝2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b，即a＝，b＝時(shí)等號(hào)成立． 答案：C 4．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是(　　) A．3 B．4 C. D. 解析：∵2xy＝x2y≤2，∴8＝x＋2y＋2xy≤(x＋2y)＋2，令x＋2y＝t，則t2＋4t－32≥0，解得t≥4或t≤－8(舍去)，∴x＋2y的最小值為4. 答案：B 5．已知關(guān)于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，則x1＋x2＋的最小值是(　　) A. B. C. D. 解析：∵關(guān)于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，∴Δ＝16a2－12a2＝4a2，又a>0，∴Δ>0，∴x1＋x2＝4a，x1x2＝3a2，∴x1＋x2＋＝4a＋＝4a＋≥2＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝時(shí)取等號(hào)．故x1＋x2＋的最小值是. 答案：D 6．若正數(shù)a，b滿(mǎn)足＋＝1，則＋的最小值為(　　) A．1 B．6 C．9 D．16 解析：∵正數(shù)a，b滿(mǎn)足＋＝1，∴b＝>0，解得a>1，同理b>1， ∴＋＝＋＝＋9(a－1)≥2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)＝9(a－1)，即a＝時(shí)等號(hào)成立，∴最小值為6. 答案：B 二、填空題 7．y＝(－6≤a≤3)的最大值為_(kāi)_______． 解析：由－6≤a≤3，得3－a≥0，a＋6≥0.由基本不等式， 得≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)3－a＝a＋6，即a＝－時(shí)，等號(hào)成立，故y的最大值為. 答案： 8．已知直線ax＋by＝1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)，則2a＋4b的取值范圍是________． 解析：由直線ax＋by＝1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)，得a＋2b＝1，則2a＋4b≥2＝2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝4b，即a＝，b＝時(shí)，等號(hào)成立， 所以2a＋4b的取值范圍是[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞) 9．(20xx湖北襄陽(yáng)一調(diào))已知x>－1，y>0且滿(mǎn)足x＋2y＝1，則＋的最小值為_(kāi)_______． 解析：∵x>－1，y>0且滿(mǎn)足x＋2y＝1， ∴x＋1>0，且(x＋1)＋2y＝2， ∴＋＝[(x＋1)＋2y] ＝＋ ≥＋2＝， 當(dāng)且僅當(dāng) 即時(shí)取等號(hào)，故＋的最小值為，所以答案應(yīng)填. 答案： 三、解答題 10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求 (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x>0，y>0，則1＝＋≥2＝， 得xy≥64， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝16，y＝4時(shí)，等號(hào)成立． 所以xy的最小值為64. (2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 則x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝12且y＝6時(shí)等號(hào)成立， ∴x＋y的最小值為18. 11．已知a>0，b>0，＋＝. (1)求a3＋b3的最小值； (2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并說(shuō)明理由． 解：(1)∵a>0，b>0， ∴＋≥2，即≥2， 由此得ab≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)取等號(hào)，又a3＋b3≥2≥2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)取等號(hào)， ∴a3＋b3的最小值是4. (2)由(1)得ab≥2(a＝b＝時(shí)取等號(hào))， ∴2a＋3b≥2＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)2a＝3b時(shí)等號(hào)成立， 故2a＋3b≥2>4>6， 故不存在a，b，使得2a＋3b＝6成立． 1．設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當(dāng)取得最大值時(shí)，＋－的最大值是(　　) A．0 B．1 C. D．3 解析：＝＝ ≤＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)z＝2y2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，當(dāng)且僅當(dāng)y＝1時(shí)等號(hào)成立，故所求的最大值為1. 答案：B 2．(20xx銀川模擬)若直線2ax＋by－2＝0(a>0，b>0)平分圓x2＋y2－2x－4y－6＝0，則＋的最小值是(　　) A．2－ B.－1 C．3＋2 D．3－2 解析：∵圓心為(1,2)在直線2ax＋by－2＝0上，∴a＋b＝1，∴＋＝ (a＋b)＝3＋＋≥3＋2.當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝2－，b＝－1時(shí)等號(hào)成立． 答案：C 3．若實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足ab－4a－b＋1＝0(a>1)，則(a＋1)(b＋2)的最小值為_(kāi)_______． 解析：因?yàn)閍b－4a－b＋1＝0，所以b＝.又a>1，所以b>0，所以(a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2＝6a＋2b＋1＝6a＋8＋＋1＝6(a－1)＋＋15.因?yàn)閍－1>0，所以6(a－1)＋＋15≥2＋15＝27，當(dāng)且僅當(dāng)6(a－1)＝(a>1)，即a＝2時(shí)等號(hào)成立，故(a＋1)(b＋2)的最小值為27. 答案：27 4．某地需要修建一條大型輸油管道通過(guò)240 km寬的沙漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程是在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設(shè)輸油管道和等距離修建增壓站(又稱(chēng)泵站)．經(jīng)預(yù)算，修建一個(gè)增壓站的費(fèi)用為400萬(wàn)元，鋪設(shè)距離為x km的相鄰兩增壓站之間的輸油管道的費(fèi)用為x2＋x萬(wàn)元．設(shè)余下工程的總費(fèi)用為y萬(wàn)元． (1)試將y表示成x的函數(shù)； (2)需要修建多少個(gè)增壓站才能使y最小，其最小值為多少？ 解：(1)設(shè)需要修建k個(gè)增壓站，則(k＋1)x＝240，即k＝－1.所以y＝400k＋(k＋1)(x2＋x)＝400＋(x2＋x)＝＋240x－160. 因?yàn)閤表示相鄰兩增壓站之間的距離，則0<x<240.故y與x的函數(shù)關(guān)系是y＝＋240x－160(0<x<240)． (2)y＝＋240x－160 ≥2－160＝24 800－160 ＝9 440， 當(dāng)且僅當(dāng)＝240x，即x＝20時(shí)等號(hào)成立．此時(shí)k＝－1＝－1＝11. 故需要修建11個(gè)增壓站才能使y最小，其最小值為9 440萬(wàn)元．