專(zhuān)題57 利用三角恒等變換解決三角函數(shù)問(wèn)題(解析版)

專(zhuān)題57 利用三角恒等變換解決三角函數(shù)問(wèn)題 一、單選題 1．已知銳角滿足．若要得到函數(shù)的圖象，則可以將函數(shù)的圖象（ ）． A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 【答案】A 【分析】 由可得，代入化簡(jiǎn)得，即可知如何平移得到. 【詳解】 由知：，即， ∴銳角，故， 又， ∴，故是將向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到， 故選：A 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由輔助角公式化簡(jiǎn)已知條件求銳角，根據(jù)的函數(shù)式，應(yīng)用二倍角、誘導(dǎo)公式將化為正弦型函數(shù)，即可判斷圖象的平移方式. 2．函數(shù)，若，則的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 化簡(jiǎn)得，由可知在，處取到最大值和最小值，不妨設(shè)在處有最大值，處取到最小值，可得,，,即可求出的最小值. 【詳解】 ， ∴函數(shù)的最大值為3，最小值為﹣1， 又，∴在，處取到最大值和最小值， 不妨設(shè)在處有最大值，則，即， 處取到最小值，則，即， 所以，,， 所以當(dāng)時(shí)，的最小值為. 【點(diǎn)睛】 結(jié)論點(diǎn)睛：正弦型函數(shù)最值： ① ，當(dāng)， 時(shí)取最大值； ② ，當(dāng)， 時(shí)取最小值. 3．若動(dòng)直線與函數(shù)與的圖象分別交于、兩點(diǎn)，則的最大值為（ ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】 令，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到結(jié)論． 【詳解】 令 求的最大值即求函數(shù)的最大值 函數(shù) 的最大值為2 故選:C. 【點(diǎn)睛】 本題主要考查函數(shù)最值的求解，根據(jù)輔助角公式以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題． 4．已知函數(shù)，，則的值域?yàn)椋? ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本題首先通過(guò)三角恒等變換將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，然后通過(guò)得出，最后通過(guò)正弦函數(shù)性質(zhì)即可得出結(jié)果. 【詳解】 ， 因?yàn)?，所以? 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，， 即函數(shù)的值域?yàn)椋? 故選：B. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)值域的求法，能否根據(jù)三角恒等變換將函數(shù)轉(zhuǎn)化為是解決本題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，是中檔題. 5．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 首先利用二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn) ，再根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則求出的解析式，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心； 【詳解】 解： 將向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到， ， ∴的對(duì)稱(chēng)中心為， 當(dāng)時(shí)為. 故選：B. 6．已知函數(shù)在上恰有5個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先根據(jù)二倍角三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)解析式，再把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有五個(gè)根，借助于正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解． 【詳解】 依題意，；令，即，故， 而，且，故，，要使得函數(shù)在上恰有5個(gè)零點(diǎn)， 則方程在上有5個(gè)實(shí)數(shù)根，故，解得. 故選：C 【點(diǎn)睛】 思路點(diǎn)睛： （1）先根據(jù)兩角和與差的三角函數(shù)個(gè)數(shù)化簡(jiǎn)解析式，轉(zhuǎn)化為有解問(wèn)題； （2）根據(jù)角的范圍，求出整體角的范圍； （3）利用正弦函數(shù)的圖象判斷得出結(jié)果. 二、多選題 7．已知函數(shù)，，則（ ） A． B．在區(qū)間上只有1個(gè)零點(diǎn) C．的最小正周期為 D．為圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸 【答案】AC 【分析】 根據(jù)二倍角的余弦公式、輔助角公式，把函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)成正弦型函數(shù)解析式的形式，再結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可. 【詳解】 . A：因?yàn)?，所以，因此本選項(xiàng)說(shuō)法正確； B：當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，因此在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)，因此本選項(xiàng)說(shuō)法不正確； C：的最小正周期為：，因此本選項(xiàng)說(shuō)法正確； D：當(dāng)時(shí)，，顯然不是最值， 因此本選項(xiàng)說(shuō)法不正確； 故選：AC 8．已知函數(shù)，若，，使得成立，且在區(qū)間上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值可能是（ ） A． B． C．1 D． 【答案】CD 【分析】 根據(jù)，，使得成立， 結(jié)合解析式，得到，求得，得到，再結(jié)合題意，列出不等式，即可求解. 【詳解】 因?yàn)?，，使得成立? 所以，即， 又由在區(qū)間上的值域?yàn)椋? 則， 綜上，解得 此時(shí)， 因?yàn)樵趨^(qū)間上的值域?yàn)椋? 所以，即， 當(dāng)時(shí)，， 所以，即. 故選：CD. 【點(diǎn)睛】 解答三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基本方法： 1、根據(jù)已知條件化簡(jiǎn)得出三角函數(shù)的解析式為的形式； 2、熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合法的思想研究函數(shù)的性質(zhì)（如：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、周期性與最值等），進(jìn)而加深理解函數(shù)的極值點(diǎn)、最值點(diǎn)、零點(diǎn)及有界性等概念與性質(zhì)，但解答中主要角的范圍的判定，防止錯(cuò)解. 9．若函數(shù)滿足：對(duì)任意一個(gè)三角形，只要它的三邊長(zhǎng)都在函數(shù)的定義域內(nèi)，就有函數(shù)值，，也是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱(chēng)函數(shù)為“保三角形函數(shù)”，下面四個(gè)函數(shù)中保三角形函數(shù)有（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】 欲判斷函數(shù)是不是“保三角形函數(shù)”，只需要任給三角形，設(shè)它的三邊長(zhǎng)分別為，則，不妨設(shè)，，判斷，，是否滿足任意兩數(shù)之和大于第三個(gè)數(shù)，即任意兩邊之和大于第三邊即可. 【詳解】 解：任給三角形，設(shè)它的三邊長(zhǎng)分別為，則，不妨假設(shè)，， 對(duì)于，可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，但， 所以不存在三角形以為三邊長(zhǎng)，故A不是“保三角形函數(shù)”； 對(duì)于，由于所以B是“保三角形函數(shù)”； 對(duì)于，，，所以C是“保三角形函數(shù)”； 對(duì)于，若, 由， 所以D不是“保三角形函數(shù)”. 故選：BC. 10．已知函數(shù)，關(guān)于下列說(shuō)法正確的是（ ） A．為奇函數(shù) B．為的周期 C．的值域?yàn)?D．的單調(diào)增區(qū)間為 【答案】BC 【分析】 根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合奇函數(shù)定義、周期函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可. 【詳解】 A：因?yàn)椋? 所以不是奇函數(shù)，故本選項(xiàng)不正確； B： ， 因此的周期為，所以本選項(xiàng)正確； C：， 顯然的值域?yàn)椋员具x項(xiàng)正確； D：當(dāng)且時(shí)， 函數(shù)單調(diào)遞增，解得且， 化簡(jiǎn)得：或，所以本選項(xiàng)不正確. 故選：BC. 三、解答題 11．設(shè)函數(shù). （1）求的最小正周期和值域； （2）在，角??的對(duì)邊長(zhǎng)分別為?，.若，，，求的面積. 【答案】（1），值域?yàn)? （2） 【分析】 （1）利用倍角公式降冪，輔助角公式化簡(jiǎn)即可求解. （2）代角求值，利用余弦定理求出邊，用三角形面積公式求解. 【詳解】 （1） ，值域?yàn)? （2）由已知得 ，或 或 ，，， 由余弦定理得，即 解得 【點(diǎn)睛】 在解三角形的問(wèn)題時(shí)，若已知兩邊和其中一邊所對(duì)的角，求第三邊時(shí)，可用余弦定理建立一個(gè)一元二次方程求解. 12．已知函數(shù)，. （1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間； （2）求在區(qū)間上的最大值和最小值. 【答案】（1）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）最大值為，最小值為. 【分析】 （1）先將函數(shù)恒等變換，化為，由得最小正周期為，再利用整體代換的方法，解不等式，求得單調(diào)遞增區(qū)間； （2）由（1）可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，即可求得在該區(qū)間的最小值為，再求出兩個(gè)端點(diǎn)值和，經(jīng)過(guò)比較可知最大值為. 【詳解】 解： （1），所以的最小正周期為. 由， 可得， 的單調(diào)遞增區(qū)間為； （2）因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減， 在區(qū)間上單調(diào)遞增， 又，，. 所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為-1. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對(duì)所給函數(shù)進(jìn)行恒等變換，得到，再利用整體代換的思想求得單調(diào)區(qū)間. 13．已知函數(shù). （1）求函數(shù)在區(qū)間上的值域； （2）若方程在區(qū)間上至少有兩個(gè)不同的解，求的取值范圍. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用及二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)整理為，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)求出函數(shù)的值域； （2）由已知得由，得，且或，結(jié)合方程在區(qū)間上至少有兩個(gè)不同的解，可得，解不等式可得解. 【詳解】 （1）， 令，， 由的圖像知，，即，， 所以函數(shù)的值域?yàn)? （2） ，，即 ，，且或 由于方程在區(qū)間上至少有兩個(gè)不同的解， 所以，解得， 所以的取值范圍為. 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：考查三角函數(shù)的值域時(shí)，常用的方法： （1）將函數(shù)化簡(jiǎn)整理為，再利用三角函數(shù)性質(zhì)求值域； （2）利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值. 14．已知函數(shù)． （1）求的單調(diào)遞增區(qū)間 （2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）利用二倍角的余弦公式以及輔助角公式將函數(shù)化為，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間整體代入即可求解. （2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為或共有三個(gè)不同實(shí)根，從而可得或共有三個(gè)不同交點(diǎn)，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解. 【詳解】 （1） 所以增區(qū)間為：， （2）因， 所以或共有三個(gè)不同實(shí)根， 即或共有三個(gè)不同交點(diǎn)， 因 由圖可得：且不合題意． 或且，即， 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，由方程的根求參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵是得出且，考查了計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化能力以及數(shù)形結(jié)合的思想. 15．已知函數(shù)，. （1）求的值； （2）求函數(shù)的最小正周期； （3）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】 （1）本題將代入中進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)果； （2）本題首先可通過(guò)兩角和的正弦公式將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，然后通過(guò)周期計(jì)算公式即可得出結(jié)果； （3）本題首先可根據(jù)得出，然后通過(guò)正弦函數(shù)性質(zhì)即可求出值域. 【詳解】 （1），即. （2）， 故的最小正周期. （3）因?yàn)?，所以? 當(dāng)，即時(shí)，； 當(dāng)，即時(shí)，， 故在上的值域?yàn)? 16．已知函數(shù)的最大值為1 （1）求常數(shù)m的值； （2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間． 【答案】（1）；（2），． 【分析】 （1）利用二倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)化為，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解. （2）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，解不等式即可求解. 【詳解】 （1） ， ． （2） 設(shè)， 又，與集合取交集可得. 的單調(diào)遞增區(qū)間為， 17．設(shè)a＝sinxcosx，b＝sinx+cosx. （1）求a，b的關(guān)系式； （2）若x∈（0，），求y＝sinxcosx+sinx+cosx的最大值. 【答案】（1）b2＝1+2a；（2）. 【分析】 （1）將b＝sinx+cosx兩邊平方可得結(jié)果； （2）轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)可求得結(jié)果. 【詳解】 （1）∵b＝sinx+cosx， ∴b2＝（sinx+cosx）2＝1+2sinxcosx＝1+2a； （2）由（1）， 因?yàn)閤∈（0，），所以. 所以y＝a+b＝， ∴b＝時(shí)，y＝sinxcosx+sinx+cosx的最大值為. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)求解是解題關(guān)鍵. 18．已知函數(shù)，. （1）簡(jiǎn)述將函數(shù)的圖象變換到函數(shù)的圖象的步驟方法； （2）求的單調(diào)遞增區(qū)間、單調(diào)遞減區(qū)間和的圖象在軸右側(cè)第二個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo). 【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間，；. 【分析】 （1）將的解析式化為，然后根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換可得答案； （2）解出不等式，可得單調(diào)區(qū)間，解出方程可得第二個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo). 【詳解】 （1） ， 第一步：圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，變?yōu)椋? 第二步：圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，變?yōu)椋? 第三步：圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，橫坐標(biāo)不變， 變?yōu)椋? 第四步：圖象上所有點(diǎn)向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，變?yōu)椋? （2）由，，解得，， 由，，解得，， ∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間，， 令()，得()，令，得， ∴的圖象在軸右側(cè)第二個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)是 19．設(shè)函數(shù)． （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域； （2）已知的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，，求角的值． 【答案】（1）函數(shù)的值域?yàn)?；?）． 【分析】 （1）結(jié)合三角恒等變化化簡(jiǎn)整理得，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)值域即可； （2）由（1）得，由于，故，再結(jié)合正弦定理即可得. 【詳解】 （1） ∵，∴，∴ ，∴ ∴函數(shù)的值域?yàn)椋? （2）∵，∴ ∵，∴， ∴，即 由正弦定理，∵，∴， ∴，∵，∴． 【點(diǎn)睛】 本題解題的關(guān)鍵在于結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)得，其中第二問(wèn)題的求解要注意角的范圍的討論，避免忽視角的范圍討論出錯(cuò).本題考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力，是中檔題. 20．已知函數(shù). （1）求的最小正周期和值域； （2）若對(duì)任意，的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】（1）最小正周期，值域?yàn)椋唬?）. 【分析】 （1）利用三角恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可求得周期與值域； （2）設(shè)，由（1）得，轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立問(wèn)題，分離參數(shù)，求取值范圍. 【詳解】 解：（1） ∴的為最小正周期， 值域?yàn)椋? （2）記，則， 由恒成立， 知恒成立，即恒成立， ∵∴. ∵在時(shí)單調(diào)遞增 ∴k的取值范圍是 21．已知函數(shù)，，圖象上相鄰兩個(gè)最低點(diǎn)的距離為． （1）若函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)為，求的值； （2）若存在，使得（a）（b）（c）成立，求的取值范圍． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，根據(jù)周期計(jì)算，根據(jù)零點(diǎn)計(jì)算； （2）求出在，上的最值，解不等式得出的范圍． 【詳解】 （1）， 的圖象上相鄰兩個(gè)最低點(diǎn)的距離為， 的最小正周期為：，故． 是的一個(gè)零點(diǎn)， ，， （2）， 若，，則，， ， 故在，上的最大值為，最小值為， 若存在，使得（a）（b）（c）成立， 則， ． 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)屬于存在，使不等式成立，即轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值. 22．已知函數(shù). （1）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)和正整數(shù)，使得函數(shù)在上恰有個(gè)零點(diǎn)?若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的和的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】（1）；（2）存在，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 【分析】 （1）利用三角恒等變換思想得出，令，，由題意可知對(duì)任意的，可得出，進(jìn)而可解得實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）由題意可知，函數(shù)與直線在上恰有個(gè)交點(diǎn)，然后對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，考查實(shí)數(shù)在不同取值下兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由此可得出結(jié)論. 【詳解】 （1）， 當(dāng)時(shí)，，，則， 要使對(duì)任意恒成立， 令，則，對(duì)任意恒成立， 只需，解得， 實(shí)數(shù)的取值范圍為； （2）假設(shè)同時(shí)存在實(shí)數(shù)和正整數(shù)滿足條件， 函數(shù)在上恰有個(gè)零點(diǎn)， 即函數(shù)與直線在上恰有個(gè)交點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象如下圖所示： ①當(dāng)或時(shí)，函數(shù)與直線在上無(wú)交點(diǎn)； ②當(dāng)或時(shí)，函數(shù)與直線在上僅有一個(gè)交點(diǎn)， 此時(shí)要使函數(shù)與直線在上有個(gè)交點(diǎn)，則； ③當(dāng)或時(shí)，函數(shù)直線在上有兩個(gè)交點(diǎn)， 此時(shí)函數(shù)與直線在上有偶數(shù)個(gè)交點(diǎn)，不可能有個(gè)交點(diǎn)，不符合； ④當(dāng)時(shí)，函數(shù)與直線在上有個(gè)交點(diǎn)， 此時(shí)要使函數(shù)與直線在上恰有個(gè)交點(diǎn)，則. 綜上所述，存在實(shí)數(shù)和正整數(shù)滿足條件： 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)，利用函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)，解本題第（2）問(wèn)的關(guān)鍵就是要注意到函數(shù)與直線的圖象在區(qū)間上的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合周期性求解. 23．已知向量，，(其中，) 函數(shù)圖像的相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是，且過(guò)點(diǎn). （1）求函數(shù)的解析式； （2）若對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)得，利用周期和點(diǎn)可求出和； （2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，即可求出. 【詳解】 （1） ， 由題可得，即，解得， 又函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則，解得， ； （2），， ， 即在的最小值為2， 若對(duì)任意的恒成立，則， 所以. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)三角恒等變換求解析式，考查不等式的恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確利用二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，解不等式恒成立問(wèn)題只需求出的最小值即可. 24．已知函數(shù). （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域. 【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為：，；單調(diào)遞減區(qū)間為：，；（2）. 【分析】 （1）利用三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解. （2）由題意可求范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解其值域. 【詳解】 解：（1） ， 令，，解得，， 令，，解得，， 故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，， 單調(diào)遞減區(qū)間為：，. （2）當(dāng)時(shí)，， 可得， 可得，故函數(shù)的值域?yàn)? 25．已知向量，，函數(shù). （1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）在中，三內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，成等差數(shù)列，且，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得答案； （2）由（1）可求得角，再由向量數(shù)量積運(yùn)算的定義和余弦定理可求得邊a. 【詳解】 （1）由題得 ， ∴當(dāng)單調(diào)增時(shí)，則，， ， ∴的單調(diào)增區(qū)間為. （2）由題得，即：， 由題可知，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∴，∴， ， 又∵，∴有，∴. 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更合適，或是兩個(gè)定理都要用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時(shí)，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到． 26．已知函數(shù). （1）求函數(shù)的最小正周期，及函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值. （2）若，，求的值. 【答案】（1），最大值為0，最小值為；（2）. 【分析】 （1）由二倍角公式和兩角差正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解； （2）由（1）知，，求得的范圍后求得，然后利用兩角和的余弦公式求得． 【詳解】 （1）， 故的最小正周期為， 當(dāng)，，， ∴， ， ∴的最大值為0，最小值為. （2） ， ∵，，， ∴， 故. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查兩角和與差的正弦、余弦公式，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)．解題方法是利用三角恒等變換公式化函數(shù)的一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式（一次的）：，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解的性質(zhì)．三角函數(shù)求值時(shí)要注意已知角和未知角之間的關(guān)系，以確定先用什么公式及選用公式的順序計(jì)算． 27．已知函數(shù)已知函數(shù)． （1）求函數(shù)的最小值及取最小值時(shí)的x的集合； （2）求函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間． 【答案】（1）最小值，；（2），． 【分析】 （1）化簡(jiǎn)，令,，進(jìn)而求解即可； （2）令,，結(jié)果與求交集即可. 【詳解】 （1）由題 故當(dāng),，即,時(shí)，取得最小值，且 所以函數(shù)的最小值是，此時(shí)x的集合為； （2）由（1）令,，則,, 所以在上單調(diào)遞增, 當(dāng)時(shí),單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時(shí),單調(diào)增區(qū)間為； 所以在中的單調(diào)增區(qū)間為和 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)： (1) . (2)周期 (3)由 求對(duì)稱(chēng)軸 (4)由求增區(qū)間;由求減區(qū)間. 28．已知函數(shù)，將的圖像向左平移個(gè)單位后得到的圖像，且在區(qū)間內(nèi)的最大值為． （Ⅰ）求函數(shù)的解析式； （Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減. 【分析】 （Ⅰ）由題設(shè)根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)，再利用圖象的平移得函數(shù)，由函數(shù)的最大值求得，從而得函數(shù)的解析式； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，由正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可求得答案. 【詳解】 解：（Ⅰ）由題設(shè)得， ， 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，， 所以由已知得，即時(shí)，，解得， 故所求函數(shù)的解析式為； （Ⅱ）由（Ⅰ）， 解不等式，，得，， 所以函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間，單調(diào)遞減． 當(dāng)時(shí)，，就是，相對(duì)區(qū)間，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減. 【點(diǎn)睛】 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于三角函數(shù)左右平移時(shí)，注意平移的對(duì)象是，不是.如本題中將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后得到的圖像，，而就是錯(cuò)誤的. 29．已知函數(shù)，其中． （1）若，是否存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)為偶函數(shù)，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （2）若為函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間． 【答案】（1）不存在，理由見(jiàn)解析；（2）時(shí)，單調(diào)增區(qū)間是，，時(shí)，單調(diào)增區(qū)間是，． 【分析】 （1）利用函數(shù)奇偶性的定義可得答案； （2）由條件結(jié)合輔助角公式可得，化簡(jiǎn)可得，，然后分、兩種情況討論. 【詳解】 （1）當(dāng)時(shí)， 若存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)為偶函數(shù)，則恒成立， 即恒成立， 整理得恒成立，所以，與矛盾， 故不存在； （2）結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)知，三角函數(shù)在對(duì)稱(chēng)軸處取最值， 又由輔助角公式知的最值為， 所以， 兩邊平方，得，所以， 即，所以， 所以， 當(dāng)時(shí)，令，， 解得，， 所以單調(diào)增區(qū)間是，， 當(dāng)時(shí)，令，， 解得，， 所以單調(diào)增區(qū)間是，． 30．已知函數(shù)的周期為，其中； （1）求的值，并寫(xiě)出函數(shù)的解析式； （2）設(shè)的三邊，，依次成等比數(shù)列，角的取值范圍為集合，則當(dāng)時(shí)求函數(shù)的值域. 【答案】（1），；（2）. 【分析】 （1）先逆用兩角差的正弦公式化成正弦型函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，然后利用周期公式求的值，進(jìn)而寫(xiě)出函數(shù)的解析式； （2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出的范圍，再根據(jù)為三角形的內(nèi)角求出的范圍，得出的定義域，從而求出的值域. 【詳解】 解：（1） ； 由，解得， 所以函數(shù)的解析式為； （2）因?yàn)? 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”； 又為三角形內(nèi)角，所以，即,所以, 所以，所以， 即函數(shù)的值域是. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：運(yùn)用三角恒等變換將函數(shù)化成正弦型函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，利用余弦定理和基本不等式將三角形的邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的范圍. 31．已知函數(shù). （1）求的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間； （2）求證：當(dāng)時(shí)，. 【答案】（1）最小正周期，單調(diào)減區(qū)間為，；（2）證明見(jiàn)解析. 【分析】 （1）利用兩角差余弦公式、正弦倍角公式及輔助角公式可得，即可求最小正周期，整體代入求單調(diào)減區(qū)間； （2）由得，即可得的值域，進(jìn)而判斷是否成立. 【詳解】 解：（1）， ∴的最小正周期. 令，，解得，， ∴單調(diào)減區(qū)間為，. （2）由，知：，則有的值域?yàn)椋? ∴，即當(dāng)時(shí)，得證. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛： （1）利用三角恒等變換：兩角和差公式、輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，并確定函數(shù)性質(zhì). （2）根據(jù)（1）的三角函數(shù)解析式結(jié)合已知定義域范圍確定值域，判斷函數(shù)不等式是否成立. 32．已知函數(shù)． （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍得函數(shù)的圖象，求函數(shù)在得的值域． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【分析】 （Ⅰ）先將函數(shù)解析式整理，得到，由題中條件，結(jié)合三角恒等變換，即可得出結(jié)果； （Ⅱ）先根據(jù)三角函數(shù)的伸縮變換，得到的解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果. 【詳解】 解：（Ⅰ） ， 因?yàn)椋裕? 即，所以，所以； （Ⅱ）圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍得到函數(shù)的圖象， 所以的解析式為， 因?yàn)?，所以，則， 所以 故在上的值域?yàn)? 33．已知函數(shù). （1）求函數(shù)的最小正周期； （2）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位得到函數(shù)圖象，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間. 【答案】（1）最小正周期；（2）單調(diào)增區(qū)間是. 【分析】 （1）利用三角恒等思想化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期； （2）利用三角函數(shù)圖象變換法則得出，然后解不等式，即可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間. 【詳解】 （1）， 所以函數(shù)的最小正周期為； （2）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到， 再向左移動(dòng)個(gè)單位得， 由，解得. 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是. 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：求解正弦函數(shù)的基本性質(zhì)問(wèn)題，首先要利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為，求解該函數(shù)的基本性質(zhì)問(wèn)題應(yīng)對(duì)應(yīng)正弦函數(shù)的基本性質(zhì).