浙江高考數(shù)學(xué)理二輪專題訓(xùn)練：第1部分 專題二 第3講 平面向量選擇、填空題型

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 考 點(diǎn)考 情平面向量的概念及線性運(yùn)算1.對(duì)平面向量的概念及線性運(yùn)算主要考查線性運(yùn)算法則及其幾何意義以及兩個(gè)向量共線的條件，或以向量為載體求參數(shù)的值，如遼寧T3等2.對(duì)平面向量的基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算的考查主要側(cè)重以下兩點(diǎn)：(1)以平面向量的基本定理為基石，利用一組基底表示相關(guān)向量；(2)利用坐標(biāo)運(yùn)算解決平行、垂直問題，如山東T15等3.數(shù)量積的運(yùn)算是每年必考的內(nèi)容，主要涉及：(1)向量數(shù)量積的運(yùn)算；(2)求向量的模；(3)求向量的夾角，如浙江T17等.平面向量基本定理及坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積平面向量的應(yīng)用1(20xx遼寧高考)已知點(diǎn)A(1,3)，B(4，1)，則與向量同方向的單位向量為()A.B.C. D.解析：選A由已知，得(3，4)，所以|5，因此與同方向的單位向量是.2(20xx湖北高考)已知點(diǎn)A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影為()A. B.C D解析：選A(2,1)，(5,5)，向量(2,1)在(5,5)上的投影為|cos，|.3(20xx浙江高考)設(shè)e1，e2為單位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR.若e1，e2的夾角為，則的最大值等于_解析：因?yàn)?，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故的最大值為2.答案：24(20xx山東高考)已知向量與的夾角為120，且|3，|2.若 ，且，則實(shí)數(shù)的值為_解析：，由于，所以0，即()()(1)94(1)320，解得.答案：5(20xx江蘇高考)設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，ADAB，BEBC.若12 (1，2為實(shí)數(shù))，則12的值為_解析：()，所以1，2，即12.答案：1平面向量的兩個(gè)重要定理(1)向量共線定理：向量a(a0)與b共線當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一組基底2兩個(gè)非零向量平行、垂直的充要條件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則：(1)abab(0)x1y2x2y10.(2)abab0x1x2y1y20.3平面向量的三個(gè)性質(zhì)(1)若a(x，y)，則|a| .(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，為a與b的夾角，則cos .熱點(diǎn)一平面向量的概念及線性運(yùn)算例1(1)(20xx廣東高考)設(shè)a是已知的平面向量且a0.關(guān)于向量a的分解，有如下四個(gè)命題：給定向量b，總存在向量c，使abc；給定向量b和c，總存在實(shí)數(shù)和，使abc；給定單位向量b和正數(shù)，總存在單位向量c和實(shí)數(shù)，使abc；給定正數(shù)和，總存在單位向量b和單位向量c，使abc.上述命題中的向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個(gè)數(shù)是()A1B2C3D4(2)(20xx合肥模擬)在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)，若，則_.自主解答(1)顯然正確；對(duì)于，當(dāng)|a|sina，b時(shí)，不存在符合題意的單位向量c和實(shí)數(shù)，錯(cuò)；對(duì)于，當(dāng)1，|a|2時(shí)，易知錯(cuò)(2)依題意得，；又，于是有；又與不共線，因此有由此解得，2，所以.答案(1)B(2)平面向量的線性運(yùn)算應(yīng)注意三點(diǎn)(1)三角形法則和平行四邊形法則的運(yùn)用條件(2)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線(3) (，為實(shí)數(shù))，若A、B、C三點(diǎn)共線，則1.1在矩形ABCD中，AB1，AD，P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且AP.若 (，R)，則的最大值為()A. B.C. D.解析：選B據(jù)已知|2()22232，整理變形可得()22，由均值不等式，可得()222，解得.2在ABC中，A60，A的平分線AD交邊BC于D，已知AB3，且 (R)，則AD的長為()A1 B. C2D3解析：選C如圖所示，因?yàn)锽，D，C三點(diǎn)共線，所以1，即.在AB上取一點(diǎn)E使，在AC上取一點(diǎn)F使，由，可知四邊形AEDF為平行四邊形，又BADCAD30，所以AEDF為菱形因?yàn)?，AB3，所以菱形的邊長為2.在ADF中，所以ADsin 1202.熱點(diǎn)二平面向量的數(shù)量積例2(1)(20xx濟(jì)南模擬)ABC的外接圓半徑為1，圓心為O，且3450，則的值為()A B. C D.(2)(20xx重慶高考)在平面上，|1，.若|<，則|的取值范圍是()A. B.C. D. (3)(20xx浙江高考)設(shè)ABC，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足P0BAB，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有，則()AABC90 BBAC90CABAC DACBC自主解答(1)由已知得435|4|2(35)2，即163430，解得；同理345，兩邊平方得，因此().(2)12，12(1)(2)121220，12122.12，12，12.|1|2|1，21122(1212)222(2)22.|<，0|2|<，022<，<22，即|.(3)設(shè)AB4，以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(2,0)，B(2,0)又P0是邊AB上一定點(diǎn)，P0BAB，所以P0(1,0)設(shè)C(a，b)，P(x,0)，(2x,0)，(ax，b)(1,0)，(a1，b)恒成立(2x)(ax)a1恒成立，即x2(2a)xa10恒成立(2a)24(a1)a20恒成立a0.即點(diǎn)C在線段AB的中垂線上，ACBC.答案(1)A(2)D(3)D在本例(1)中，若0，則BAC的大小是多少？解：由已知可得，由向量加法的平行四邊形法則可知，四邊形OACB是四條邊均為外接圓半徑R的平行四邊形，故OAC為等邊三角形，OAC2BAC60，所以BAC30. 解決數(shù)量積運(yùn)算應(yīng)注意三點(diǎn)(1)ab0未必有a0或b0.(2)|ab|a|b|.(3)a(bc)與(ab)c不一定相等3.如圖所示，P為AOB所在平面內(nèi)一點(diǎn)，向量a，b，且P在線段AB的垂直平分線上，向量c.若|a|3，|b|2，則c(ab)的值為()A5 B3C. D.解析：選C設(shè)AB中點(diǎn)為D，c，所以c(ab)()(ab)(ab)(|a|2|b|2).4設(shè)G為ABC的重心，若ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足220，則的值等于_解析：取BC的中點(diǎn)D，由已知220得2()4，說明P，A，D三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在BC邊中線的延長線上，且|4|.如圖所示，故|，|，因此2.答案：25向量a，b，c，d滿足：|a|1，|b|，b在a方向上的投影為，(ac)(bc)0，|dc|1，則|d|的最大值為_解析：由投影公式可得ba，|ba|2|a|2|b|22ab4，|ba|2.由(ac)(bc)abc(ab)c20，整理得|c|2|c|ab|cos 2|c|(c，ab)，解不等式|c|22|c|0，得|c|1，即|c|的最大值為1.又|dc|1，即d終點(diǎn)的軌跡是以c的終點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓，故|d|的最大值為|c|max12.答案：2熱點(diǎn)三平面向量的綜合應(yīng)用例3(1)(20xx安徽高考)在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)A，B滿足|2，則點(diǎn)集P|，|1，R所表示的區(qū)域的面積是()A2 B2C4 D4(2)已知點(diǎn)R(3,0)，點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，點(diǎn)M(x，y)在直線PQ上，且230，0，則4x2y3的最小值為()A4 B3C3 D4自主解答(1)由|2，可得AOB，又A，B是兩定點(diǎn)，可設(shè)A(，1)，B(0,2)，P(x，y)，由，可得因?yàn)閨1，所以1，當(dāng)，時(shí)，由可行域可得S02，所以由對(duì)稱性可知點(diǎn)P所表示的區(qū)域面積S4S04.(2)由230，得P，Q.由0，得0，即y24x，所以4x2y3y22y3(y1)24，因此，當(dāng)y1時(shí)，4x2y3取得最小值，最小值為4.答案(1)D(2)A兩類平面向量綜合問題的解決方法(1)用向量解決平面幾何問題，主要是通過建立平面直角坐標(biāo)系將問題坐標(biāo)化，然后利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解有關(guān)問題(2)在平面向量與平面解析幾何的綜合問題中，應(yīng)先根據(jù)平面向量知識(shí)把向量表述的解析幾何問題的幾何意義弄明白，再根據(jù)這個(gè)幾何意義用代數(shù)的方法研究解決6對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量和，定義.若兩個(gè)非零的平面向量a，b滿足a與b的夾角，且ab和ba都在集合中，則ab()A. B.C1D.解析：選D根據(jù)新定義，得abcos ，bacos .又因?yàn)閍b和ba都在集合中，設(shè)ab，ba(n1，n2Z)，那么(ab)(ba)cos2，又，所以0<n1n2<2，所以n1，n2的值均為1，故ab.7關(guān)于實(shí)數(shù)x的方程ax2bxc0，其中a，b，c都是非零平面向量，且a，b不共線，則該方程的解的情況是()A至多有一個(gè)解B至少有一個(gè)解C至多有兩個(gè)解D可能有無數(shù)個(gè)解解析：選A由已知，關(guān)于x的方程ax2bxc0(其中a，b，c都是非零平面向量)可化為cx2axb，因?yàn)閍，b不共線且為非零平面向量，由平面向量基本定理，可知存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)(m，n)，使得cmanb，所以即，整理得mn2.顯然，當(dāng)n0且mn2時(shí)，方程組有唯一一組解，即原方程有一個(gè)解；當(dāng)n0或mn2時(shí)，方程組無解，即原方程無解綜上，該方程至多有一個(gè)解.