浙江高考數(shù)學(xué)理二輪專題訓(xùn)練：第1部分 專題六 第4講 高考中的概率解答題型

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5考 點(diǎn) 考 情 超幾何分布1.高考對(duì)本節(jié)的考查，一般借助實(shí)際生活背景進(jìn)行考查，相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和二項(xiàng)分布的概率模型，離散型隨機(jī)變量的分布列及其性質(zhì)，均值與方差是高考熱點(diǎn)，如重慶T18,福建T16.2試題難度中檔，涉及概率問(wèn)題時(shí)主要是古典概型、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及條件的相互獨(dú)立性，與頻率分布直方圖和莖葉圖等交匯的超幾何分布是近幾年高考熱點(diǎn)，如廣東T17.事件的相互獨(dú)立性獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布均值與方差的實(shí)際應(yīng)用 1(20xx廣東高考)某車間共有12名工人，隨機(jī)抽取6名，他們某日加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個(gè)位數(shù)(1)根據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本均值；(2)日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人根據(jù)莖葉圖推斷該車間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人？(3)從該車間12名工人中，任取2人，求恰有1名優(yōu)秀工人的概率解：(1)樣本均值為22.(2)由(1)知樣本中優(yōu)秀工人占的比例為，故推斷該車間12名工人中有124名優(yōu)秀工人(3)設(shè)事件A：從該車間12名工人中，任取2人，恰有1名優(yōu)秀工人，則P(A).2(20xx福建高考)某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可以獲得2分；方案乙的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可以獲得3分；未中獎(jiǎng)則不得分每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品(1)若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為X，求X3的概率；(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問(wèn)：他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大？解：法一：(1)由已知得，小明中獎(jiǎng)的概率為，小紅中獎(jiǎng)的概率為，且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響記“這兩人的累計(jì)得分X3”的事件為A，則事件A的對(duì)立事件為“X5”，因?yàn)镻(X5)，所以P(A)1P(X5)，即這兩人的累計(jì)得分X3的概率為.(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X1，都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X2，則這兩人選擇方案甲抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(2X1)，選擇方案乙抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(3X2)由已知可得，X1B，X2B，所以E(X1)2，E(X2)2，從而E(2X1)2E(X1)，E(3X2)3E(X2).因?yàn)镋(2X1)>E(3X2)，所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大法二：(1)由已知得，小明中獎(jiǎng)的概率為，小紅中獎(jiǎng)的概率為，且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響記“這兩人的累計(jì)得分X3”的事件為A，則事件A包含有“X0”“X2”“X3”三個(gè)兩兩互斥的事件，因?yàn)镻(X0)，P(X2)，P(X3)，所以P(A)P(X0)P(X2)P(X3)，即這兩人的累計(jì)得分X3的概率為.(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計(jì)得分為X1，都選擇方案乙所獲得的累計(jì)得分為X2，則X1，X2的分布列如下：X1024PX2036P所以E(X1)024，E(X2)036.因?yàn)镋(X1)>E(X2)，所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大1獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式Pn(k)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.2超幾何分布的概率一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件(Xk)發(fā)生的概率為P(xk)(k0,1,2，m)(mM，mn，MN)3離散型隨機(jī)變量的均值、方差(1)均值E(X)x1p1x2p2xipixnpn；(2)方差D(X)xiE(x)2pi.4兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)p，D(X)p(1p)；(2)若XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p)5均值與方差的性質(zhì)(1)E(axb)aE(x)b；(2)D(axb)a2D(x)熱點(diǎn)一超幾何分布問(wèn)題例1(20xx浙江高考)已知箱中裝有4個(gè)白球和5個(gè)黑球，且規(guī)定：取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分現(xiàn)從該箱中任取(無(wú)放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)3個(gè)球，記隨機(jī)變量X為取出此3球所得分?jǐn)?shù)之和(1)求X的分布列； (2)求X的數(shù)學(xué)期望E(X)自主解答(1)由題意得X取3,4,5,6，且P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).所以X的分布列為X3456P(2)由(1)知E(X)3P(X3)4P(X4)5P(X5)6P(X6).規(guī)律總結(jié)在超幾何分布中，隨機(jī)變量X取每一個(gè)值的概率是用古典概型計(jì)算的，明確每一個(gè)基本事件的性質(zhì)是正確解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵1某學(xué)校為了調(diào)查本校學(xué)生9月份“健康上網(wǎng)”(健康上網(wǎng)是指每天上網(wǎng)不超過(guò)兩個(gè)小時(shí))的天數(shù)情況，隨機(jī)抽取了40名本校學(xué)生作為樣本，統(tǒng)計(jì)他們?cè)谠撛?0天內(nèi)健康上網(wǎng)的天數(shù)，并將所得的數(shù)據(jù)分成以下六組：0,5，(5,10，(10,15，(25,30，由此畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這40名學(xué)生中健康上網(wǎng)天數(shù)超過(guò)20天的人數(shù)；(2)現(xiàn)從這40名學(xué)生中任取2名，設(shè)Y為取出的2名學(xué)生中健康上網(wǎng)天數(shù)超過(guò)20天的人數(shù)，求Y的分布列及數(shù)學(xué)期望E(Y)解：(1)由圖可知，健康上網(wǎng)天數(shù)未超過(guò)20天的頻率為(0.010.020.030.09)50.1550.75，健康上網(wǎng)天數(shù)超過(guò)20天的學(xué)生人數(shù)是40(10.75)400.2510.(2)隨機(jī)變量Y的所有可能取值為0,1,2.P(Y0)，P(Y1)，P(Y2).Y的分布列為Y012PE(Y)012.熱點(diǎn)二事件的相互獨(dú)立性例2(20xx陜西高考)在一場(chǎng)娛樂(lè)晚會(huì)上，有5位民間歌手(1至5號(hào))登臺(tái)演唱，由現(xiàn)場(chǎng)數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手各位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷，他必選1號(hào)，不選2號(hào)，另在3至5號(hào)中隨機(jī)選2名觀眾乙和丙對(duì)5位歌手的演唱沒(méi)有偏愛(ài)，因此在1至5號(hào)中隨機(jī)選3名歌手(1)求觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率；(2)X表示3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望自主解答(1)設(shè)A表示事件“觀眾甲選中3號(hào)歌手”，B表示事件“觀眾乙選中3號(hào)歌手”，則P(A)，P(B).事件A與B相互獨(dú)立，觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率為P(A)P(A)P()P(A)1P(B).(2)設(shè)C表示事件“觀眾丙選中3號(hào)歌手”，則P(C).X可能的取值為0,1,2,3，則P(X0)P( )，P(X1)P(A )P( B )P( C)，P(X2)P(AB )P(A C)P( B C)，P(X3)P(ABC)，X的分布列為X0123PX的數(shù)學(xué)期望E(X)0123.規(guī)律總結(jié)(1)求復(fù)雜事件的概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，看復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥事件的和事件，還是能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件，然后用概率公式求解(2)一個(gè)復(fù)雜事件若正面情況比較多，反面情況較少，則一般利用對(duì)立事件進(jìn)行求解對(duì)于“至少”“至多”等問(wèn)題往往用這種方法求解2某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，回答問(wèn)題正確者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問(wèn)題的概率分別為、，且各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響(1)求該選手被淘汰的概率；(2)記該選手在考核中回答問(wèn)題的個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望解：記“該選手能正確回答第i輪的問(wèn)題”為事件Ai(i1,2,3)，則P(A1)，P(A2)，P(A3).該選手被淘汰的概率P1P(A1A2A3)1P(A1)P(A2)P(A3)1.(2)的所有可能取值為1,2,3.則P(1)P(1)，P(2)P(A12)P(A1)P(2)，P(3)P(A1A2)P(A1)P(A2)，的分布列為123PE()123.熱點(diǎn)三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布例3(20xx遼寧高考)現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學(xué)從中任取3道題解答(1)求張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率；(2)已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題設(shè)張同學(xué)答對(duì)每道甲類題的概率都是，答對(duì)每道乙類題的概率都是，且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立用X表示張同學(xué)答對(duì)題的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望自主解答(1)設(shè)事件A“張同學(xué)所取的3道題至少有1道乙類題”，則有“張同學(xué)所取的3道題都是甲類題”因?yàn)镻()，所以P(A)1P().(2)X所有的可能取值為0,1,2,3.P(X0)C02；P(X1)C11C02；P(X2)C20C11；P(X3)C20.所以X的分布列為X0123P所以E(X)01232.規(guī)律總結(jié)1注意辨別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征：(1)在每次試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；(2)在每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同2牢記公式Pn(k)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n，并深刻理解其含義3甲、乙兩人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績(jī)中隨機(jī)抽取8次，畫出莖葉圖如下：(1)指出學(xué)生乙成績(jī)的中位數(shù)，并說(shuō)明如何確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，你認(rèn)為派哪位學(xué)生參加，成績(jī)比較穩(wěn)定？(3)若將頻率視為概率，對(duì)學(xué)生甲在今后三次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)，記這三次成績(jī)高于80分的次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望E()解：(1)依題意得84，則學(xué)生乙成績(jī)的中位數(shù)是84.它是這組數(shù)據(jù)中最中間位置的一個(gè)數(shù)或最中間位置兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，中位數(shù)可能在所給的數(shù)據(jù)中，也可能不在所給數(shù)據(jù)中(2)派甲參加比較合適，理由如下：甲(70280490298842153)85.乙(70180490353525)85.s35.5，s41，甲乙，且s<s，甲的成績(jī)比較穩(wěn)定(3)記“甲在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中成績(jī)高于80分”為事件A，則P(A).依題意，得B.P(k)Ck3k，k0,1,2,3.的分布列為0123PE()0123.熱點(diǎn)四均值與方差的實(shí)際應(yīng)用例4某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理(1)若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：枝，nN)的函數(shù)解析式；(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝？請(qǐng)說(shuō)明理由自主解答(1)當(dāng)日需求量n16時(shí)，利潤(rùn)y80.當(dāng)日需求量n16時(shí)，利潤(rùn)y10n80.所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為y(nN)(2)X可能的取值為60,70,80，并且P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X的分布列為X607080P0.10.20.7X的數(shù)學(xué)期望為E(X)600.1700.2800.776.X的方差為D(X)(6076)20.1(7076)20.2(8076)20.744.答案一：花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花理由如下：若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)，那么Y的分布列為Y55657585P0.10.20.160.54Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.Y的方差為D(Y)(5576.4)20.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54112.04.由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，D(X)D(Y)，即購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花時(shí)利潤(rùn)波動(dòng)相對(duì)較小另外，雖然E(X)E(Y)，但兩者相差不大故花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花答案二：花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花理由如下：若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)，那么Y的分布列為Y55657585P0.10.20.160.54Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，E(X)<E(Y)，即購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花時(shí)的平均利潤(rùn)大于購(gòu)進(jìn)16枝時(shí)的平均利潤(rùn)故花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花規(guī)律總結(jié)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的方法先根據(jù)隨機(jī)變量的意義，確定隨機(jī)變量可以取哪些值，然后根據(jù)隨機(jī)變量取這些值的意義求出取這些值的概率，列出分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望和方差的公式計(jì)算若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則可以直接使用E()np，D()np(1p)求解4根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的降水量X()對(duì)工期的影響如下表：降水量XX300300X700700X900X900工期延誤天數(shù)Y02610歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差；(2)在降水量X至少是300的條件下，工期延誤不超過(guò)6天的概率解：(1)由已知條件和概率的加法公式有：P(X300)0.3，P(300X700)P(X700)P(X300)0.70.30.4，P(700X900)P(X900)P(X700)0.90.70.2.P(X900)1P(X900)10.90.1.所以Y的分布列為Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)00.320.460.2100.13，D(Y)(03)20.3(23)20.4(63)20.2(103)20.19.8.故工期延誤天數(shù)Y的均值為3，方差為9.8.(2)由概率的加法公式，得P(X300)1P(X300)0.7，又因?yàn)镻(300X900)P(X900)P(X300)0.90.30.6.由條件概率，得P(Y6|X300)P(X900|X300).故在降水量X至少是300的條件下，工期延誤不超過(guò)6天的概率是.